ピタゴラス数といいます。 (3, 4, 5)(5, 12, 13)(8, 15, 17)(7, 24, 25)(20, 21, 29) (12, 35, 37)(9, 40, 41)
の第1章に掲載されている。
(ややむずかしい) (1) 「 −, +, 」 2 4 8 Help ( −) 2 +( +) 2 =5+3−2 +5+3+2 =16 =4 2 (2) 「 3 −1, 3 +1, 2 +1, 6 「 −, 9 (3 −1) 2 +(3 +1) 2 =27+1−6 +27+1+6 =56 =(2) 2 =7+2−2 +7+2+2 =18 =(3) 2 (3) 「 2 +2, 2 +2, 5 +2, 3 (2 −) 2 +( +2) 2 =12+2−4 +3+8+4 =25 =5 2 ■ ピタゴラス数の問題 ○ 次の式の m, n に適当な正の整数(ただし m>n)を入れれば, 「三辺の長さが整数となる直角三角形」ができます. 整数問題 | 高校数学の美しい物語. (正の整数で三平方の定理を満たすものは, ピタゴラス数 と呼ばれます.) (2mn) 2 +(m 2 -n 2) 2 =(m 2 +n 2) 2 左辺は 4m 2 n 2 +m 4 -2m 2 n 2 +n 4 右辺は m 4 +2m 2 n 2 +n 4 だから等しい 例 m=2, n=1 を代入すると 4 2 +3 2 =5 2 となります. (このとき, 3, 4, 5 の組がピタゴラス数) ■ 問題 左の式を利用して, 三辺の長さが整数となる直角三角形を1組見つけなさい. (上の問題にないもので答えなさい・・・ただし,このホームページでは, あまり大きな数字の計算はできないので, どの辺の長さも100以下で答えなさい.) 2 + 2 = 2 ピタゴラス数の例(小さい方から幾つか) (ただし, 朱色 で示した組は公約数があり,より小さな組の整数倍となっている)
+\! (2p_2\! +\! 1)(2q_1\! +\! 1) \\ &=\! 4(p_1q_2\! +\! p_2q_1) \\ &\qquad +\! 2(p_1\! +\! p_2\! +\! q_1\! +\! q_2\! +\! 1) を $4$ で割った余りはいずれも $2(p_1\! +\! p_2\! +\! q_1\! +\! 三 平方 の 定理 整数. q_2\! +\! 1)$ を $4$ で割った余りに等しい. (i)~(iv) から, $\dfrac{a_1b_1+5a_2b_2}{2}, $ $\dfrac{a_1b_2+a_2b_1}{2}$ は偶奇の等しい整数であるので, $\alpha\beta$ もまた $O$ の要素である. (3) \[ N(\alpha) = \frac{a_1+a_2\sqrt 5}{2}\cdot\frac{a_1-a_2\sqrt 5}{2} = \frac{a_1{}^2-5a_2{}^2}{4}\] (i) $a_1, $ $a_2$ が偶数のとき. $4$ の倍数の差 $a_1{}^2-5a_2{}^2$ は $4$ の倍数である. (ii) $a_1, $ $a_2$ が奇数のとき. a_1{}^2-5a_2{}^2 &= (4p_1{}^2+4p_1+1)-5(4p_2{}^2+4p_2+1) \\ &= 4(p_1{}^2+p_1-5p_2{}^2-5p_2-1) となるから, $a_1{}^2-5a_2{}^2$ は $4$ の倍数である. (i), (ii) から, $N(\alpha)$ は整数である. (4) $\varepsilon = \dfrac{e_1+e_2\sqrt 5}{2}$ ($e_1, $ $e_2$: 偶奇の等しい整数)とおく. $\varepsilon ^{-1} \in O$ であるとすると, \[ N(\varepsilon)N(\varepsilon ^{-1}) = N(\varepsilon\varepsilon ^{-1}) = N(1) = 1\] が成り立ち, $N(\varepsilon), $ $N(\varepsilon ^{-1})$ は整数であるから, $N(\varepsilon) = \pm 1$ となる. $N(\varepsilon) = \pm 1$ であるとすると, $\varepsilon\tilde\varepsilon = \pm 1$ であり, $\pm e_1, $ $\mp e_2$ は偶奇が等しいから, \[\varepsilon ^{-1} = \pm\tilde\varepsilon = \pm\frac{e_1-e_2\sqrt 5}{2} = \frac{\pm e_1\mp e_2\sqrt 5}{2} \in O\] となる.
$x, $ $y$ のすべての「対称式」は, $s = x+y, $ $t = xy$ の多項式として表されることが知られている. $L_1 = 1, $ $L_2 = 3, $ $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}$ で定まる数 $L_1, $ $L_2, $ $L_3, $ $\cdots, $ $L_n, $ $\cdots$ を 「リュカ数」 (Lucas number)と呼ぶ. 一般に, $L_n$ は \[ L_n = \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\] と表されることが知られている. 定義により $L_n$ は整数であり, 本問では $L_2, $ $L_4$ の値を求めた.
連続するn個の整数の積と二項係数 整数論の有名な公式: 連続する n n 個の整数の積は n! n! 三平方の定理の逆. の倍数である。 上記の公式について,3通りの証明を紹介します。 → 連続するn個の整数の積と二項係数 ルジャンドルの定理(階乗が持つ素因数のべき数) ルジャンドルの定理: n! n! に含まれる素因数 p p の数は以下の式で計算できる: ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ = ⌊ n p ⌋ + ⌊ n p 2 ⌋ + ⌊ n p 3 ⌋ + ⋯ {\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor \dfrac{n}{p^i} \Big\rfloor}=\Big\lfloor \dfrac{n}{p} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^2} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^3} \Big\rfloor+\cdots ただし, ⌊ x ⌋ \lfloor x \rfloor は x x を超えない最大の整数を表す。 → ルジャンドルの定理(階乗が持つ素因数のべき数) 入試数学コンテスト 成績上位者(Z) 無限降下法の整数問題への応用例 このページでは,無限降下法について解説します。 無限降下法とは何か?
水石山 photo by 福島県観光物産交流協会 水石山は標高735mの山で、山頂には広大な芝生が広がる水石山公園があります。展望台からはいわき市、太平洋まで見渡せる大パノラマが広がります。 名称 水石山(すいしやま) 住所 福島県いわき市三和町合戸地内 アクセス 赤井駅より車で約10分 地図 Googleマップ 28. 満照寺 photo by 東北観光推進機構 江戸時代初期から残る総ケヤキ造りの三間四面堂で、別名「黒田不動堂」と呼ばれ、県の重要文化財に指定されています。お堂内には、弘法大師作といわれる不動明王坐像と矜羯羅(こんがら)・せいたかの両童子が祀られています。福島八十八ヶ所霊場の第14番札所でもあります。 名称 満照寺 住所 福島県いわき市田人町黒田字別当50 アクセス 植田駅・いわき勿来ICより車で約30分 地図 Googleマップ 29. いわき市のおすすめ観光スポット クチコミ人気ランキングTOP20(2ページ)【フォートラベル】|福島県. 道の駅「よつくら港」 photo by 福島県観光物産交流協会 福島県いわき市で初めての道の駅。いわき市の新鮮な農水産物の販売所、地元産の食材を使った囲炉裏のあるフードコート、野菜果物のドライフルーツづくり体験などが出来る体験交流スペースなどを併設しています。 名称 道の駅「よつくら港」 住所 福島県いわき市四倉町五丁目218-1 電話 0246-32-8075 営業時間 (直販所)9時~18時/(フードコート)10時~18時 定休日 毎週火曜日 アクセス 四ツ倉駅より徒歩約20分/いわき四倉ICより車で約10分 HP 道の駅「よつくら港」 地図 Googleマップ 30. 仏具山 photo by 福島県観光物産交流協会 かつては修験者の修行の場であった山で、山中には観音堂があり、菊多観音の一つで徳一大師の手刻といわれています。山頂からの眺めは特に素晴らしく、太平洋や阿武隈山地の山々が一望できます。5月末頃にはヤマツツジ、6月から7月にかけては、コアジサイの群生を楽しむことができます。 名称 仏具山 住所 福島県いわき市田人町 アクセス 勿来駅より車で約40分 地図 Googleマップ いわき市のご当地グルメや名産もどうぞ 31. あんこう鍋 photo by 福島県観光物産交流協会 いわき市の冬の味覚といえば「あんこう鍋」は外せません。肝をつぶして鍋汁のコクを出し、あんこうの7つ道具と野菜を味噌ベースで仕上げます。身と皮はプリプリした食感があり、肝が溶け込んだスープは濃厚で深みのあるコクと旨味が楽しめます。 32.
夏井川渓谷 photo by 福島県観光物産交流協会 約16kmにわたり多くの滝や急端を随所に見せる峡谷で、中でも「籠場(かごば)の滝」がみどころです。昭和28年3月に夏井川渓谷県立自然公園に設定され、特に秋の渓流と紅葉のコントラストは見事です。 photo by 福島県観光物産交流協会 名称 夏井川渓谷 住所 福島県いわき市川前町 アクセス 江田駅より車で約5分/いわき中央ICより車で約30分 地図 Googleマップ 19. いわき市観光サイト - いわき市の観光・旅行情報が満載！. 二ツ箭山 photo by いわき観光まちづくりビューロー 山の形が両峯高くそびえたち、男岩と女岩がそびえる姿が弓矢の矢尻を思わせ、二ツの箭をたてたような姿から二ツ箭山と名付けられました。4月はアカヤシオ、5月はシロヤシオ、10月下旬から11月上旬の紅葉は大変見事で、多くの登山客で賑わいます。 名称 二ツ箭山(ふたつやさん) 住所 福島県いわき市小川町上小川地内 アクセス いわき中央ICより車で約30分 地図 Googleマップ 20. フタバスズキリュウ発掘地 photo by 東北観光推進機構 約8500万年前に日本近海に生息していた首長竜の化石が発掘された地です。1968年に発見された全長約7mの化石は、日本国内で初めて発見された首長竜として大変有名です。発見された双葉層群という地層名と発見者・鈴木氏の名前から「フタバスズキリュウ」と命名されました。 photo by wikipedia 名称 フタバスズキリュウ発掘地 住所 福島県いわき市大久町大久字板木沢 アクセス 久ノ浜駅より車で約10分/いわき四倉ICより車で約20分 地図 Googleマップ 21. 波立寺(波立薬師) photo by 福島県観光物産交流協会 大同元年(806年)、徳一上人が海上鎮護を念じ、天竺渡来の阿弥陀如来を安置して創建した伝わり、いわき三薬師の1つに数えられています。6月中旬~7月中旬には、参道の両側など一帯にアジサイが咲き誇り、アジサイ寺とも呼ばれ親しまれています。 photo by 福島県観光物産交流協会 名称 波立寺(波立薬師) 住所 福島県いわき市久之浜町田之網字横内89 アクセス いわき四倉ICより車で約10分 地図 Googleマップ 22. 湯ノ岳 photo by いわき観光まちづくりビューロー 湯ノ岳は阿武隈山系に連なる霊山で、湯ノ岳パノラマラインからは阿武隈山系の山々、太平洋の大パノラマを望むことができます。夜になるといわきの町並みが照らす夜景も素晴らしい眺めです。 photo by 東北観光推進機構 名称 湯ノ岳(ゆのたけ) 住所 福島県いわき市常磐藤原町 アクセス いわき湯本ICより車で約10分 地図 Googleマップ 23.
願成寺(がんじょうじ) 出典: かめきちでぃすたごんさんの投稿 ひっそりとしているのに、凛々しい佇まいです。 白水阿弥陀堂(しらみずあみだどう)と呼ばれ、平安時代に創建した真言宗のお寺。このお堂はなんと国宝なんです!福島県の建造物で国宝指定されているのはここだけで、東北地方で数えても3箇所しかないのだとか。平安末期に広まった、浄土式庭園(池が中心になる庭園)が堪能できる、日本でも数少ない貴重な場所です。 出典: Tateさんの投稿 ライトアップが幻想的です 国宝 白水阿弥陀堂の詳細情報 国宝 白水阿弥陀堂 住所 福島県いわき市内郷白水町広畑219 アクセス いわき駅からバスで20分 - あみだ堂から徒歩で5分 営業時間 [4月〜10月] 8:30〜16:00 受付時間は15分前まで [11月〜3月] 9:00〜15:30 受付時間は15分前まで 定休日 毎月第4水曜、節分、春・秋彼岸、8月12〜16日、12月25〜31日、12月の第2水曜日、木曜日 料金 大人 500円 子供 300円 団体割引:20名から1割引、100名から2割引 学生団体料金:小学生100円、中学生150円、高校生200円 (学生団体料金は学校行事のみ。学校長の事前申し込みが必要) データ提供 7. スパリゾートハワイアンズ 出典: 楽園の入り口です 言わずと知れた、福島県、いや東北地方でも一押しのリゾートアミューズメントスポット。旧称「常磐ハワイアンセンター」と言えば、もう大抵の方は名前くらいはご存知のはず!フラガールが映画化されたことでも知られていますが、実は思いっきり「和」の温泉施設があったりと、バラエティに事欠かない癒しスポットです。いわき市であちこち観光して、ここで疲れを癒して、心身大満足して帰途につく。というのは福島旅の理想形ではないでしょうか。 出典: ショーは必見ですよね! ■こちらも合わせてチェックしよう! スパリゾートハワイアンズ(テーマパーク)の詳細情報 スパリゾートハワイアンズ(テーマパーク) 住所 福島県いわき市常磐藤原町蕨平50 アクセス 1) 湯本駅からバスで15分 2) いわき湯本ICから車で3分 営業時間 [月火水木金] 10:00〜22:15 ※季節によって異なる [日土祝] 9:00〜22:15 ※季節によって異なる 料金 大人 3570円 中学生以上 子供 2250円 小学生以上 幼児 1640円 3歳以上 団体や障碍者割引有り。詳細はHPにてご確認ください。 データ提供 いわきで味わいたい名物グルメ!
40 4. 30 4. 60 満足度の高いクチコミ(4件) 国際的な書道家金澤翔子の作品を優雅な館で観る。 4. 5 旅行時期:2021/01(約7ヶ月前) NHK大河ドラマの題字や、東大寺・春日大社や中尊寺さらにニューヨークなど海外でも個展を開いた金... 常磐自動車道「湯元IC」より車で15分 10:00~16:00 毎週水曜日 年末年始 3. 72 4. 06 2. 50 福島県いわき市 5. 00 市立美術館としては日本有数の規模。いわき出身、ゆかりの作家の作品やいわきを題材にした作品で戦後美術品を中心に800点前後を収蔵。1階の常設展示室の奥には音響効果の良いギャラリースペースを持つ。官庁街で誰でも気軽に立ち寄れる美術館。 満足度の高いクチコミ(2件) Next World-夢見るチカラ展 旅行時期:2021/06(約2ヶ月前) コロナ禍で開催が中断されていた「Next World-夢見るチカラ」展の会期が延長されて再開し... 天橋 さん(男性) 1) いわき駅から徒歩で15分 2) いわき中央ICから車で10分 9:30~17:00 7月・8月の毎週金曜日9:30~20:00 [月] 月曜日が祝日等の場合は開館し翌日休館 [12月28日~1月4日] 大人 220円 常設展のみ 高校生 150円 常設展のみ 中学生 70円 常設展のみ 小学生 70円 常設展のみ 市内に通学している学生、65歳以上の高齢者、身障者は無料、団体割引20名から。 福島県いわき市勿来町関田長沢6-1 3. 28 4. 67 満足度の高いクチコミ(3件) 異形の紅葉。中釜戸の枝垂れモミジ 5. 0 高さ6mのイロハカエデ種の突然変異種。国指定天然記念物。 枝がねじれながら四方に広がるさまは... 福島県いわき市渡辺町中釜戸字猿田21 3. 29 3. 86 勿来駅より車で約5分 毎月第3水曜日 (祝日の場合はその翌日)、元旦 3. 92 薄磯と豊間の海水浴場を分けて突出す岬。その岬の上に白亜の灯台がある。 いわき駅/江名・小名浜行きバス/30分灯台入口下車 ※施設情報については、時間の経過による変化などにより、必ずしも正確でない情報が当サイトに掲載されている可能性もあります。