数学IAIIB 2020. 07. 31 ここでは剰余の定理と恒等式に関する問題について説明します。 割り算の基本は「割られる式」「割る式」「商」「余り」の関係式です。 この関係式から導かれるのが「剰余の定理」です。 大学入試では,剰余の定理と恒等式の考え方を利用する問題が出題されることがよくあります。 様々な問題を解くことで,数学力をアップさせましょう。 剰余の定理 ヒロ まずは剰余の定理を知ることから始めよう。 剰余の定理 多項式 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。 ヒロ 剰余の定理の証明をしておこう。 【証明】 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの商を $Q(x)$,余りを $r$ とおくと, \begin{align*} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align*} と表すことができる。$x=a$ を代入すると \begin{align*} &f(a)=(a-a)Q(a)+r \\[4pt]&r=f(a) \end{align*} よって,$f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。
剰余の定理を利用する問題 それでは、剰余の定理を利用する問題に挑戦してみましょう。 3. 1 例題1 【解答】 \( P(x) \) が\( x+3 \) で割り切れるので、剰余の定理より \( P(-3)=0 \) すなわち \( 3a-b=0 \ \cdots ① \) \( P(x) \) が\( x-1 \) で割ると3余るので、剰余の定理より \( P(1)=3 \) すなわち \( a+b=-25 \ \cdots ② \) ①,②を連立して解くと \( \displaystyle \color{red}{ a = – \frac{45}{4}, \ b = – \frac{75}{4} \ \cdots 【答】} \) 3. 整式の割り算，剰余定理 | 数学入試問題. 2 例題2 \( x^2 – 3x – 4 = (x-4)(x+1) \) なので、\( P(x) \) を \( (x-4)(x+1) \) で割ったときの余りを考えればよい。 また、 2 次式で割ったときの余りは1 次式以下になる ( これ重要なポイントです )。 よって、余りは \( \color{red}{ ax+b} \) とおける。 この2つの方針で考えていきます。 \( P(x) \) を \( x^2 – 3x – 4 \),すなわち\( (x-4)(x+1) \) で割ったときの商を \( Q(x) \),余りを \( ax+b \) とすると \( \color{red}{ P(x) = (x-4)(x+1) Q(x) + ax + b} \) 条件から、剰余の定理より \( P(4) = 10 \) すなわち \( 4a+b=10 \ \cdots ① \) また、条件から、剰余の定理より \( P(-1) = 5 \) すなわち \( -a+b=5 \ \cdots ② \) \( a=1, \ b=6 \) よって、求める余りは \( \color{red}{ x+6 \ \cdots 【答】} \) 今回の例題2ように、 剰余の定理の問題の基本は「まず割り算の等式をたてる」ことです 。 4. 剰余の定理まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 剰余の定理まとめ 整式 \( P(x) \) を1次式 \( (a- \alpha) \) で割ったときの余りは \( \color{red}{ P(\alpha)} \) ・剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができる。 ・剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理。 以上が剰余の定理についての解説です。 この記事があなたの勉強の手助けになることを願っています!
今日15日(火)は、岐阜行きを中止して、孫のランドセルと学習机の購入を決めるために大垣市のイオンモール等へ出かけることになった。 通信課題も完成させて明日投函するだけなので、今日の岐阜学習センター行きは中止した。なお、17日(木)は、予定通り。
剰余の定理(重要問題)①/ブリリアンス数学 - YouTube
【入試問題】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 −2x−1 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ. (京大2013年理系) (解説) 一般に n の値ごとに商と余りは異なるので,これらを Q n (x), a n x+b n とおく. 以下,数学的帰納法によって示す. (Ⅰ) n=1 のとき x 1 を整式 x 2 −2x−1 で割った余りは x だから a 1 =1, b 1 =0 これらは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない. 剰余の定理（重要問題）①／ブリリアンス数学 - YouTube. (Ⅱ) n=k (k≧1) のとき, a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないと仮定すると x k =(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x+b k ( a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない)とおける 両辺に x を掛けると x k+1 =x(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x 2 +b k x この式を x 2 −2x−1 で割ったとき第1項は割り切れるから,余りは残りの項を割ったものになる. a k x 2 −2x−1) a k x 2 +b k x a k x 2 −2a k x−a k (2a k +b k)x+a k したがって a k+1 =2a k +b k b k+1 =a k このとき, a k, b k は整数であるから, a k+1, b k+1 も整数になる. もし, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数 p が存在すれば a k+1 =2a k +b k =A 1 p b k+1 =a k =B 1 p となり a k =B 1 p b k =A 1 p−2B 1 p=(A 1 −2B 1)p となって, a k, b k をともに割り切る素数は存在しないという仮定に反する. したがって, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数は存在しない. (Ⅰ)(Ⅱ)から,数学的帰納法により示された. 【類題4. 1】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 +2x+3 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり, a を3で割った余りは1になり, b は3で割り切れることを示せ.
11月13日のページごとのアクセス ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 閲覧数 1438 PV 訪問者数 396 IP 順位 1347位 /2628456ブログ 1位 微分法を用いて不等式を証明する2016年度の神戸大学理系の入試問題 ~ある有名な無限級数の発散の証明 2016-11-13 60 PV 2位 岐阜県北方町教育委員会の組み体操中止決定への経過について(追加)~町議会会議録からみる 2016-11-14 54 PV 3位 岐阜ふれあい会館から北方向を眺めながら、11月10日を振り返る ~来年度への思い 2016-11-12 45 PV 4位 算数教育では、算数教育「学」者の主張も小学校教員の素朴な主張も重みは同 程度 2016-11-05 45 PV 5位 トップページ 42 PV 6位 任期付き採用職員、特任講師 ~岐阜県独特の教員採用制度に一言 2014-07-08 38 PV 7位 閲覧数150万PVを達成! ~そしてMさんらは?
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