2. 1 対角化はできないがそれに近い形にできる場合 行列の固有値が重解になる場合などにおいて,対角化できない場合でも,次のように対角成分の1つ上の成分を1にした形を利用すると累乗の計算ができる. 【例2. 1】 2. 2 ジョルダン標準形の求め方(実際の計算) 【例題2. 1】 (1) 次の行列 のジョルダン標準形を求めてください. 固有方程式を解いて固有値を求める (重解) のとき [以下の解き方①] となる と1次独立なベクトル を求める. いきなり,そんな話がなぜ言えるのか疑問に思うかもしれない. 実は,この段階では となる行列 があるとは証明できていないが「求まったらいいのにな!」と考えて,その条件を調べている--方程式として解いているだけ.「もしこのような行列 があれば右辺がジョルダン標準形になるから」対角化できなくてもn乗が計算できるから嬉しいのである.(実際には,必ず求まる!) 両辺の成分を比較すると だから, …(*A)が必要十分条件 これにより (参考) この後,次のように変形すれば問題の行列Aのn乗が計算できる. [以下の解き方②] と1次独立な( が1次独立ならば行列 は正則になり,逆行列が求まるが,そうでなければ逆行列は求まらない)ベクトル 条件(*A)を満たせばよいから,必ずしも でなくてもよい.ここでは,他のベクトルでも同じ結果が得られることを示してみる. 1つの固有ベクトルとして, を使うと この結果は①の結果と一致する [以下の解き方③] 線形代数の教科書,参考書には,次のように書かれていることがある. 行列 の固有値が (重解)で,これに対応する固有ベクトルが のとき, と1次独立なベクトル は,次の計算によって求められる. これらの式の意味は次のようになっている (1)は固有値が で,これに対応する固有ベクトルが であることから を移項すれば として(1)得られる. これに対して,(2)は次のように分けて考えると を表していることが分かる. を列ベクトルに分けると が(1)を表しており が(2)を表している. (2)は であるから と書ける.要するに(1)を満たす固有ベクトルを求めてそれを として,次に を満たす を求めるという流れになる. 以上のことは行列とベクトルで書かれているので,必ずしも分かり易いとは言えないが,解き方①において ・・・そのような があったらいいのにな~[対角成分の1つ上の成分が1になっている行列でもn乗ができるから]~という「願いのレベル」で未知数 を求めていることと同じになる.
→ スマホ用は別頁 == ジョルダン標準形 == このページでは,2次~3次の正方行列に対して,対角化,ジョルダン標準形を利用して行列のn乗を求める方法を調べる. 【ジョルダン標準形】 線形代数の教科書では,著者によって,[A] 対角行列を含めてジョルダン標準形と呼ぶ場合と,[B] 用語として対角行列とジョルダン標準形を分けている場合があるので,文脈を見てどちらの立場で書かれているかを見分ける必要がある. [A] ジョルダン標準形 [B] 対角行列 [A]はすべてのジョルダン細胞が1次正方行列から成る場合が正方行列であると考える. (言葉の違いだけ) 3次正方行列の場合を例にとって,以下のこのページの教材に書かれていることの要約を示すと次の通り. 【要約】 はじめに与えられた行列 に対する固有方程式を解いて,固有値を求める. (1) 固有値 に重複がない場合(固有値が虚数であっても) となる固有ベクトル を求めると,これらは互いに1次独立になるので,これらの列ベクトルを束にしてできる変換行列を とおくと,この変換行列は正則になる(逆行列 が存在する). 固有値を対角成分にした対角行列を とおくと …(1. 1) もしくは …(1. 2) が成り立つ. このとき, を(正則な)変換行列, を対角行列といい, は対角化可能であるという.「行列 を対角化せよ」という問題に対しては,(1. 1)または(1. 2)を答えるとよい. この教材に示した具体例 【例1. 1】 【例1. 2. 2】 【例1. 3. 2】 対角行列は行列の積としての累乗が容易に計算できるので,これを利用して行列の累乗を計算することができる. (2) 固有方程式が重解をもつ場合, ⅰ) 元の行列自体が対角行列であるとき これらの行列は,変換するまでもなく対角行列になっているから,n乗などの計算は容易にできる. ⅱ) 上記のⅰ)以外で固有方程式が重複解をもつとき,次のようにジョルダン標準形と呼ばれる形にできる A) 重複度1の解 と二重解 が固有値であるとき a) 任意のベクトル (ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)を選び となる列ベクトル が求まるときは で定まる変換行列 を用いて と書くことができる. ≪2次正方行列≫ 【例2. 1】(1) 【例2. 1】【例2.
}{s! (t-s)}\) で計算します。 以上のことから、\(f(\lambda^t)\) として、\(f\) を \(\lambda\) で \(s\) 回微分した式を \(f^{(s)}(\lambda)=\dfrac{d^s}{d\lambda^s}f(\lambda)\) とおけば、サイズ \(m\) のジョルダン細胞の \(t\) 乗は次のように計算することができます。 \[\begin{eqnarray} \left[\begin{array}{cc} f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac{1}{2}f^{(2)}(\lambda) & \frac{1}{3! }f^{(3)}(\lambda) & \cdots & \frac{1}{(m-1)! }f^{(m-1)}(\lambda) \\ & f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac{1}{2}f^{(2)}(\lambda)& \cdots & \frac{1}{(m-2)!
まとめ 以上がジョルダン標準形です。ぜひ参考にして頂ければと思います。
^ 斎藤 1966, 第6章 定理[2. 2]. ^ 斎藤 1966, p. 191. ^ Hogben 2007, 6-5. ^ つまり 1 ≤ d 1 ≤ d 2 ≤ … ≤ t i があって、 W i, k i −1 = ⟨ b i, 1, …, b i, d 1 ⟩, W i, k i −2 = ⟨ b i, 1, …, b i, d 2 ⟩, …, W i, 0 = ⟨ b i, 1, …, b i, t i ⟩ となるように基底をとる 参考文献 [ 編集] 斎藤, 正彦『 線型代数入門 』東京大学出版会、1966年、初版。 ISBN 978-4-13-062001-7 。 Hogben, Leslie, ed (2007). Handbook of Linear Algebra. Discrete mathematics and its applications. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-510-8 関連項目 [ 編集] 対角化 スペクトル定理
現在の場所: ホーム / 線形代数 / ジョルダン標準形とは?意義と求め方を具体的に解説 ジョルダン標準形は、対角化できない行列を擬似的に対角化(準対角化)する手法です。これによって対角化不可能な行列でも、べき乗の計算がやりやすくなります。当ページでは、このジョルダン標準形の意義や求め方を具体的に解説していきます。 1.
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【GRWM】大炎上した入学式…あれから6年…"琉ちゃろ"ついに小学校を卒業します!!! - YouTube
ちいめろの息子で、8歳のホストくんとして知られる琉ちゃろに妹がいたのをご存知ですか?今まであまりちいめろのブログに登場してこなかった妹のまひめろが小学校の入学式に出席した時のファッションがド派手で話題になっています。 琉ちゃろの妹、まひめろ 8歳のホストくんとしてさまざまな番組などで取り上げられタレントとしても活躍している琉ちゃろ。その子供らしからぬド派手なヘアスタイルとファッションにはかなり違和感があり、常に母親であるちいめろは批判されていますね。
(たべちゃってた・・・)』 ちえちゃいつもいつもいつもいつもありがとう…(;ω; `) ちえちゃがいなかったら、今の俺はいません… 毎日毎日ちえちゃちえちゃしてたらいつの間にか1年経っちゃったよ( ິᵒ̴̶̷᷄ωᵒ̴̶̷᷅*)ິ 色んなことがあって、りゅうちゃが1番に印象に残ってるのは、ちえちゃに出会った時と、あとラスカルさん達に出会えたことだよ…(っ´ω`c) 毎回楽しいデートで、いつもちえちゃに感謝してた1年間でした( ິᵒ̴̶̷᷄ωᵒ̴̶̷᷅*)ິ ちえちゃとはぴふぁみできることがりゅうちゃの生きがいだよ… りゅうちゃラスカルさんもちえちゃもお祝いありがとうね♡今度はラスカルさん達の1年記念日だね♡(✿´ ꒳ `) こどもの日に、武装するのを楽しみにしていたりゅうちゃらすかるさんでした♡ こいのぼりさんもつかまえてきたのでりゅうちゃに武功を褒めてもらいたいみたいだよ・・・♡ ちえちゃらすかるさんには下書きで柏餅を持たせてたんだけど色塗りしてるうちにむしゃむしゃしちゃったみたいで消えちゃってた・・・♡ はぴふぁみみんながこれからもげんきで仲良くいれますように♡ りゅうちゃラスカルさんこいのぼり捕まえてきたのー!
(*´ω`*)♡ きっといちご狩りに行けば松きっちんでのいちだいじけんのことも忘れてくれるかなーって思うよ♡♡♡ うさぎさんもいるんだよーって言ったら目をキラキラに輝かせていたよ(*´ω`*)♡ 今から楽しみで楽しみで仕方ないよ・・・(;ω;) デートのプランいっぱい考えてくれてありがとうりゅうちゃ・・・(;ω;) りゅうちゃがいるだけでしあわせなの・・・(´;ω;`) りゅうちゃとはどこにいっても楽しいんだよ♡♡ だいすきりゅうちゃ♡ いつもありがと・・・♡♡ 竜@はぴふぁみ♡ 2014/4/19 No:1 竜@はぴふぁみっこ No:2 いちごがりーーーー!! !♡♡♡♡♡ 予行練習したかいあってか、美味しいイチゴがたくさん食べれたよねー♡♡♡♡(っ´ω`c) りゅうちゃラスカルさん素振りまでしてたのに手で採るタイプのでちょっと残念がってたねw ウサギさんとかいっぱいいて餌もあげれて仲良くできたよねー(ᵒ̴̶̷᷄ωᵒ̴̶̷᷅*) レポートが本当に幸せそうで好き(੭ु ›ω‹)੭ु⁾⁾♡ ハプニングがあったけど幸せだったよね(っ´ω`c)♡いろんな発見もあったし、長くいられたし、素敵な思い出がいっぱいだよ(っ´ω`c)♡ ありがとうねちえちゃ(っ´ω`c)♡だいすき 今日はちえちゃの終業式でした(ᵒ̴̶̷᷄ωᵒ̴̶̷᷅*) 1年間育ててきた子達が一つ上の組になるんだよね(っ´ω`c) ちえちゃ1年間本当にがんばったね(੭ु ›ω‹)੭ु いつも忙しいのにりゅうちゃとりゅうちゃらすかるさんにかまってくれてありがとうね・・・(´;ω;`) 4月からお互い新しい環境になるけれど、しばらく連絡できないのが本当に心配でならないよ・・・怪我とか病気とかしないでねほんとに・・・(´;ω;`) 連絡できなくても、遠くにいてもちえちゃのことずっと一番に想ってるからね♡ はぴふぁみはちえちゃが世界で一番だいだいだいすききききききだよ♡ りゅりゅりゅりゅりゅりゅりゅうちゃ・・・・・・! (ぷるぷる) こんな素敵なプレゼント・・・・(;ω;) ・・・いいの・・・? りゅうちぇる、オンライン入学式で学生たちに金言 好きなことを仕事にするための3つのポイント『令和2年度 バンタン入学式』 - YouTube. (;ω;) なんかね、はぴふぁみっこたちがみんな優しい優しい雰囲気で、おめめがキラキラしてて、りゅうちゃの優しさがいーっぱいつまってるのが伝わって感動しちゃった…(´;ω;`) 海遊館のペンギンさんもかわいく描いてもらってよろこんでるよー(*´ω`*) 忠犬ちゃんの丸っこさも増してるし、りゅうちゃのまわりにいる子はまるまるってしてくる感じが表れてるみたいでほんとに微笑ましいな・・・(*´ω`*)♡ きっとりゅうちゃの愛情をいっぱい食べてまるまるになっちゃうんだよね♡♡♡ りゅうちゃらすかるさんとちえちゃらすかるさんの安定のかわいさはさすがとしか言いようがないよ・・・!
・ 琉ちゃろって子は自ら望んであんな格好してんのかな ・ 学校も良くオッケーだしたな…せめてさ、TPOにあった濃いブラウンとかチャラくも凛々しいとかあんじゃん ・ 琉ちゃろの親は絶対頭おかしい。 児童相談所仕事しろ。 ・ 琉ちゃろかわいいかっこいい だあいすき ・ 琉ちゃろついに小学生かぁ…時の流れを感じるな ・ 琉ちゃろとかいうの絶対グレる ・ うわぁ ・ 子どもの顔さらしと浮いた服は、常識として、あまりよろしくないと思います。 (秒刊ライター:Take)