さらに視覚的にみるために, この3つの例に図を加えましょう この図を見るとより鮮明に 第i行目と第j行目を取り除いてできる行列の行列式 に見えてくるのではないでしょうか? それでは, この小行列式を用いて 余因子展開に必要な行列の余因子を定義します. 行列の余因子 行列の余因子 n次正方行列\( A = (a_{ij}) \)と\( A \)の小行列式\( D_{ij} \)に対して, 行列の (i, j)成分の小行列式に\( (-1)^{i + j} \)をかけたもの, \( (-1)^{i + j}D_{ij} \)を Aの(i, j) 成分の余因子 といい\( A_{ij} \)とかく. 余因子による行列式の展開とは？~アニメーションですぐわかる解説~ | HEADBOOST. すなわち, \( A_{ij} = (-1)^{i + j}D_{ij} \) 余因子に関しても小行列式同様に例を用いて確認することにしましょう 例題:行列の余因子 例題:行列の余因子 3次正方行列 \( \left(\begin{array}{crl}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right) \)に対して 余因子\( A_{11}, A_{22}, A_{32} \)を求めよ. <例題の解答> \(A_{11} = (-1)^{1 + 1}D_{11} = \left| \begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right| \) \(A_{22} = (-1)^{2 + 2}D_{22} = \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right| \) \(A_{32} = (-1)^{3 +2}D_{32} = (-1)\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{array}\right| \) ここまでが余因子展開を行うための準備です. しっかりここまでの操作を復習して余因子展開を勉強するようにしましょう. この小行列式と余因子を用いてn次正方行列の行列式を求める余因子展開という方法は こちら の記事で紹介しています!
行列式のn乗を求めて解答する問題があったが, その際設問の誘導に従って使用した式変形が有用であったのでここにその証明を付しておく. 参考 Proof. If $$ \mathrm{det}A\neq0, then \mathrm{det}(\mathrm{adj}A) = (\mathrm{det}A)^{n-1}. ここで, $\mathrm{det}A$(ディターミナントエー)は$A$の行列式, $\mathrm{adj}A$(アジョイントエー)は$A$の余因子行列を表す. 余因子行列 行列式 意味. このYouTube動画をそのまま踏襲したのでここに予め記しておきます. まず正則なn次正方行列$A$の余因子行列に対して, A\cdot\mathrm{adj}A=\mathrm{adj}A{\cdot}A=\mathrm{det}A{\cdot}I_n が成り立つ(ここで$I_n$はn次単位行列を表す). これは行列式の行と列に関する余因子展開により速やかに示される主張である. ここで証明を付すことはしないが, 入門程度の教科書にて一度証明を追った後は覚えておくと良い. 次に上式の行列式を取ると, \mathrm{det}(A\cdot\mathrm{adj}A)=\mathrm{det}A{\cdot}\mathrm{det}(\mathrm{adj}A)(\because乗法定理^{*1}) =\mathrm{det}(\mathrm{det}A{\cdot}I_n)= \mathrm{det}\left( \begin{array}{cccc} \mathrm{det}A & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & \mathrm{det}A & \ldots & 0 \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr 0 & 0 & \ldots & \mathrm{det}A \end{array} \right)= (\mathrm{det}A)^n $^{*1}$2つのn次正方行列の積の行列式$\mathrm{det}AB$は各行列の行列式の積$\mathrm{det}A\cdot\mathrm{det}B$に等しい(行列式の交代性と多重線形性による帰結 1). となる. 最後に両辺を$\mathrm{det}A(\neq0)$で割って求める式 \mathrm{det}(\mathrm{adj}A) = (\mathrm{det}A)^{n-1} を得る.
みなさんが思う通り、余因子展開は、超面倒な計算を伴う性質です。よって、これを用いて行列式を求めることはほとんどありません(ただし、成分に0が多い行列を扱う時はこの限りではありません)。 が、この性質は 逆行列の公式 を導く上で重要な役割を果たします。なので線形代数の講義ではほぼ絶対に取り上げられるのです。 【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説! 初学者のみなさんは、ひとまず 余因子展開は逆行列を求めるための前座 と捉えておけばOKです! 余因子展開の例 実際に余因子展開ができることを確かめてみましょう。 ここでは「余因子の例」で扱ったものと同じ行列を用います。 $$先ほどの例から、2行3列成分の余因子\(A_{23}\)が\(\underline{6}\)であると分かりました。そこで、今回は2行目の成分の余因子を用いた次の余因子展開の成立を確かめます。 $$|A|=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}$$ まず、2行1列成分の余因子\(A_{21}\)を求めます。これは、$$ D_{21}=\left| 2&3 \\ 8&9 \right|=-6 $$かつ、「\(2+1=3\)(奇数)」より、\(\underline{A_{21}=6}\)です。 同様にすると、2行2列成分の余因子\(A_{22}\)は、\(\underline{-12}\)であることが分かります。 2行3列成分の余因子\(A_{23}\)は前半で求めた通り\(\underline{6}\)ですよね? 余因子行列 行列式. さて、材料が揃ったので、\(a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}\)を計算します。 \begin{aligned} a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}&=4*6+5*(-12)+6*6 \\ &=\underline{0} \end{aligned} $$これがもとの行列の行列式\(|A|\)と同じであることを示すため、\(|A|\)を頑張って計算します(途中式は無視して構いません)。 |A|=&1*5*9+2*6*7*+3*4*8 \\ &-3*5*7-2*4*9-1*6*8 \\ =&45+84+96-105-72-48 \\ =&\underline{0} $$先ほどの結果と同じく「0」が導かれました。よって、もとの行列式と同じであること、つまり余因子展開が成立することが確かめられました。 おわり 今回は逆行列を求めるために用いる「余因子」について扱いました。次回は、 逆行列の一般的な求め方 について扱いたいと思います!
余因子行列のまとめと線形代数の記事 ・特に3×3以上の行列の余因子行列を作る際は、各成分の符号や行列式の計算・転置などの際のミスに要注意です。 ・2or3種類ある逆行列の作り方は、もとの行列によって最短で計算できる方法を選ぶ(少し慣れが必要です)が、基本はやはり拡大係数行列を使ったガウスの消去法(掃き出し法)です。 これまでの記事と次回へ 2019/03/25現在までの線形代数に関する全19記事をまとめたページです。 「 【ブックマーク推奨!】線形代数を0から学ぶ解説記事まとめ【更新中】 」 今回も最後までご覧いただき、有難うございました。 「スマナビング!」では、読者の皆さんのご意見や、記事のリクエストの募集を行なっています。 ご質問・ご意見がございましたら、ぜひコメント欄にお寄せください。 いいね!やB!やシェア、Twitterのフォローをしていただけると大変励みになります。 ・その他のお問い合わせ、ご依頼に付きましては、お問い合わせページからご連絡下さい。
こんにちは、おぐえもん( @oguemon_com)です。 さて、ある行列の 逆行列を求める公式 が成り立つ理由を説明する際、「余因子」というものを活用します。今回は余因子について解説し、後半では余因子を使った重要な等式である「余因子展開」に触れます。 目次 (クリックで該当箇所へ移動) 余因子について 余因子ってなに? 余因子展開と行列式 | 単位の密林. 簡単に言えば、 ある行列の行と列を1つずつカットして残った一回り小さい行列の 行列式 に、正負の符号を加えたもの です。直感的に表現したのが次の画像です。 正方行列\(A\)の\(i\)行目と\(j\)列目をカットして作る余因子を \((i, j)\)成分の余因子 と呼び、 \(A_{ij}\) と記します。 余因子の作り方 余因子の作り方を分かりやすく学ぶために、実際に一緒に作ってみましょう!例として、次の行列について「2行3列成分」の余因子を求めてみます。 $$ A=\left[ \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{array} \right] ステップ1|「2行目」と「3列目」を抜き去る。 ステップ2|小行列の行列式を求める。 ステップ3|行列式に符号をつける。 行番号と列番号の和が偶数ならば「1」を、奇数ならば「-1」を掛け合わせます。 これで、余因子\(A_{23}\)を導出できました。計算こそ面倒ですが、ルール自体は割とシンプルなのがお判りいただけましたか? 余因子の作り方(一般化) 余因子の作り方を一般化して表すと次の通りです。まあ、やってることは方法は上とほぼ同じです(笑) 正方行列\(A\)から\((i, j)\)成分の余因子\(A_{ij}\)を作りたい! 行列\(A\)から \(i\)行 と \(j\)列 を抜き去る。 その行列の 行列式 を計算する。(これを\(D_{ij}\)と書きます) 求めた行列式に対して、行番号と列番号の和が偶数ならば「プラス」を、奇数ならば「マイナス」をつけて完成!$$ A_{ij} = \begin{cases} D_{ij} & (i+j=偶数) \\ -D_{ij} & (i+j=奇数) \end{cases}$$ そもそも、行列式がよく分からない人は次のページを参考にしてください。 【行列式編】行列式って何?
現在の場所: ホーム / 線形代数 / 余因子による行列式の展開とは?~アニメーションですぐわかる解説~ 行列式の展開とは、簡単に言うと「高次の行列式を、次元が一つ下の行列式(小行列式)の和で表すこと」です。そして、小行列式を表すために「余因子」というものを使います。これらについて理解しておくことで、有名な 逆行列の公式 をはじめとした様々な公式の証明が理解できるようになります。 ここでは、これについて誰にでもわかるように解説します。直感的な理解を助けるためのに役立つアニメーションも用意しているので、ぜひご覧いただければと思います。 それでは始めましょう。 1. 行列式の展開とは 行列式の展開は、最初は難しそうに見えるかもしれませんが、まったくそんなことはありません。まずは以下の90秒ほどのアニメーションをご覧ください。\(3×3\) の行列式を例に行列式の展開を示しています。これによってすぐに全体像を理解することがでます。 このように行列式の展開とは、余因子 \(\Delta_{ij}\) を使って、ある行列式を、低次の行列式で表すことが行列式の展開です。 三次行列式の展開 \[\begin{eqnarray} \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right| = a\Delta_{11}+b\Delta_{12}+c\Delta_{13} \end{eqnarray}\] これから文字でも解説しておきますので、ぜひ理解を深めるためにご活用ください。 2. 行列式の展開方法 ここからは \(3×3\) の行列式の展開方法を、あらためて文字で解説していきます。内容は上のアニメーションと同じです。 2. 余因子行列 行列式 証明. 1.
余因子の求め方・意味と使い方(線形代数10) <今回の内容>: 余因子の求め方と使い方 :余因子の意味から何の役に立つのか、詳しい計算方法、さらに余因子展開(これも解説します)を利用した行列式の求め方までイラストを用いて詳しく紹介しています。 <これまでの線形代数学の入門記事>:「 0から学ぶ線形代数の解説記事まとめ 」 2019/03/25更新続編:「 余因子行列の作り方とその応用(逆行列の計算)を具体的に解説! 」完成しました。 余因子とは?
1 ワールド2chニュース 2ちゃんねるの海外のニュースを中心にした情報サイトです 週間IN 130 週間OUT 200 月間IN 510 2 あにまーーん アニメや漫画の情報・雑談・感想などをまとめたブログです。 25 35 80 3 にゅうくそ! 2ちゃんねるで管理人が気になったニュースのまとめです。 20 10 4 クイズ・パズルまとめ クイズ・パズルの問題と解答をひたすらにまとめます。 16 32 48 5 やる夫 ANK おもしろかった安価スレやあんこスレを中心に、やる夫スレのまとめをしているブログです 12 36 6 ウォッチャーの木まとめブログ 気になったものを、気に入るまで、気ままに、まとめるブログ 50 7 なないろコンテンツ にちゃんねるまとめブログなないろコンテンツです 毎日更新!!!!!! 40 8 金融速報 | 金融系2chまとめ 2ちゃんねるの金融系スレをまとめてく、お金のこと総合まとめブログです。 30 9 事件・事故 未解決事件、事故、犯罪、刑事事件、裁判を刑法学・犯罪心理学の観点から読み解いてゆく。 ニュー速の掟 海外掲示板(主に4chan)の翻訳です。たまに2ちゃんのログありマス。 11 VIPでバカ発見! とろたまヘッドライン. 2ちゃんねるのVIPで発見したバカをまとめています。 いかす速報-いか速VIP 2ちゃんねるの"いかすスレ"まとめサイト。ほぼ毎日更新。 13 名無速 2ちゃんねるまとめブログです。エンタメ情報や世の中のニュース、おもしろ記事等を紹介しています♪ たくさんのコメント、情報お待ちしてますのでよろしくお願いいたします。 14 質問ある?
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掲示板サイト「2ちゃんねる」は6月4日(月)、2ちゃんねるへの書き込みを編集して記事にする"2ちゃんねるまとめサイト"のうち5サイトに対し、著作物の利用を禁止する旨を掲載しました。対象となった「ハムスター速報」「ニュー速VIPブログ」は終了宣言ともとれる記事を掲載し、他の3つのサイトは2ちゃんねるの書き込みを使わない形で更新を継続しています。 ▽ もうずっと人大杉 2ちゃんねるが転載禁止の対象としてURLを挙げたのは、「 やらおん! まとめ - ライブドアブログ. 」「 ハムスター速報 」「 はちま起稿 」「 オレ的ゲーム速報@刃 」「 ニュー速VIPブログ 」の5サイトです。2ちゃんねるは、これらのサイトについて「第3者に迷惑をかけ謝罪しない人物に2chの著作物を使われることは、不利益が大きい」として2ちゃんねるの著作物の利用を禁止。「本人及び関係者による類似サイトへの著作物の利用も同様に禁止する」としています。 この措置に関連するものとして、以下の2ちゃんねるのスレッドが話題になっています。「 ID:Yi1oeptXP? S★(1116243) 」が2ちゃんねる創設者・元管理人の西村博之(ひろゆき)さんとされており、まとめサイト側からねつ造とされる記事に関する謝罪がなかったことを確認。その後も2ちゃんねるユーザーからいくつかのサイトの事例が報告されました。 ▽ ☆【2chまとめブログ】はちま寄稿と真っ黒悪質ステマ企業たち★210【livedoor・DECCI・KND】 (書き込み上限を超えたためWebブラウザからの閲覧不可。閲覧には専用ビューアか未来検索ブラジルのポイント「モリタポ」が必要) 対象となった「ハムスター速報」「ニュー速VIPブログ」は、6月4日午後7時現在、禁止に関する記事を最後に更新が止まっています。「やらおん! 」「はちま起稿」「オレ的ゲーム速報@JIN」は、ニュース記事と管理人のコメントを組み合わせた記事やTwitterのツイートを紹介する記事などを掲載しています。 ▽ ▽ ニュー速VIPブログ 終了:ニュー速VIPブログ(`・ω・´) ▽ オレ的ゲーム速報などの2chまとめサイト死亡!2chから名指しで転載禁止を命じられる・・・\(^o^)/: オレ的ゲーム速報@刃
6月4日に、『2ちゃんねる』のスレッドからレスを抜粋して掲載する"まとめブログ"の中でも特に悪質な、無断転載やソースの改変を行っていると指摘されていた5か所のブログが、『2ちゃんねる』側からの指名により「転載禁止」を通知されてから1か月余りが経過しました。直近では、7月19日に2ちゃんねる側が「転載禁止」の対象に指名した5か所のブログに広告を出しているlivedoor(NHN Japan)とFC2に対して広告の掲載取りやめを要請し、翌20日にlivedoorが要請を受け入れて該当するブログへの広告掲載取りやめを表明するなど、今なお"まとめブログ"問題に関するニュースは連日のようにインターネット上で話題となっています。 指名された5か所のブログの中でも、『2ちゃんねる』の『ハードウェア・業界板』、通称"ゲハ板"のスレッドを中心に扱っている"ゲハブログ"と呼ばれるジャンルの『はちま起稿』と『オレ的ゲーム速報@刃』は、かねてからゲームメーカーや業界関係者から転載元のソース改変や捏造を繰り返しているとの指摘が何度もなされていました。指名されたブログの一部には著作権法第32条の「引用」に該当するので問題ない、と反論する動きも見られますが、そもそも合法な「引用」と違法な「無断転載」の境界線はどこにあるのでしょう? ※以下の解説は、一般的な解釈に関するものです。実際の法的なトラブルに関しては、必ず弁護士など専門の有資格者に相談されるようお願いします。 著作権法第32条で認められる"引用"の三要件 著作権法第32条では、著作物を著作権者の承諾を得ずに「引用」することができる旨を次のように定めています。 著作権法(昭和四十五年五月六日法律第四十八号) 第三十二条(引用) 公表された著作物は、引用して利用することができる。この場合において、その引用は、公正な慣行に合致するものであり、かつ、報道、批評、研究その他の引用の目的上正当な範囲内で行なわれるものでなければならない。 この条文における「公正な慣行」と認められる要件は、大きく分けて以下の三点です。 1. 出典を明記すること これは必要最低限、ないし合法な「引用」を行う際の絶対条件です。これを行っていない場合は他の条件を満たしていても「引用」とは認められません。 書籍から引用する場合は本のタイトル・著者名・発行元の3項目を最低限、明記する必要があります。絶対条件ではありませんが、付加情報として発行年と引用したページを記載した方が望ましい場合もあります。雑誌から引用する場合は雑誌名と「2012年7月号」のような巻号・記事のタイトル・執筆者(無記名の場合は省略可)となります。 まとめブログで主に問題となっている『2ちゃんねる』のスレッドの場合は、板名(書籍の表題や雑誌名に該当)・スレッド名(雑誌の記事名に該当)が明記すべき情報に当たります。ウェブサイトやブログの場合は、個人・法人を問わずサイトまたはブログの名前と引用した情報が掲載されているURLなどが明記すべき情報となります。 また、画像に関しては転載元のブログから画像単体を転載するのは「引用」に当たらないと解釈するのが一般的です。画像そのものを「報道、批評、研究その他の引用の目的」に基づいて検証する場合はこの限りではありませんが、通例は他のサイトやブログが掲載した情報を二次的に掲載する場合に元の画像をまとめブログでそのまま二次使用するのは「引用」に当たらない「無断転載」とみなされます。 2.