1 階差数列を調べる 元の数列の各項の差をとって、階差数列を調べてみます。 それぞれの数列に名前をつけておくとスムーズです。 \(\{b_n\} = 5, 7, 9, 11, \cdots\) 階差数列 \(\{b_n\}\) は、公差が \(2\) で一定です。 つまり、この階差数列は 等差数列 であることがわかりますね。 STEP. 2 階差数列の一般項を求める 階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めます。 今回の場合、\(\{b_n\}\) は等差数列の公式から求められますね。 \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公差 \(2\) の等差数列であるから、一般項は \(\begin{align} b_n &= 5 + 2(n − 1) \\ &= 2n + 3 \end{align}\) STEP. 3 元の数列の一般項を求める 階差数列の一般項がわかれば、あとは階差数列の公式を使って数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めるだけです。 補足 階差数列の公式に、条件「\(n \geq 2\)」があることに注意しましょう。 初項 \(a_1\) の値には階差数列が関係ないので、この公式で求めた一般項が初項 \(a_1\) にも当てはまるとは限りません。 よって、一般項を求めたあとに \(n = 1\) を代入して、与えられた初項と一致するかを確認するのがルールです。 \(n \geq 2\) のとき、 \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k + 3) \\ &= 6 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n + 3(n − 1) \\ &= 6 + n^2 − n + 3n − 3 \\ &= n^2 + 2n + 3 \end{align}\) \(1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 6 = a_1\) より、 これは \(n = 1\) のときも成り立つので \(a_n = n^2 + 2n + 3\) 答え: \(\color{red}{a_n = n^2 + 2n + 3}\) このように、\(\{a_n\}\) の一般項が求められました!
一緒に解いてみよう これでわかる! 練習の解説授業 この練習の問題は、例題と一続きの問題です。例題では、階差数列{b n}の一般項を求めましたね。今度は、数列{a n}の一般項を求めてみましょう。ポイントは次の通りでした。 POINT 数列{a n}において、 (後ろの項)-(前の項)でできる階差数列{b n} の 一般項はb n =2n+1 であったことを、例題で確認しました。 では、もとの数列{a n}の一般項はどうなりますか? a n =(初項)+(階差数列の和) で求めることができましたよね! 階差数列の解き方｜高校生／数学 ｜【公式】家庭教師のアルファ-プロ講師による高品質指導. (階差数列の和)は第1項から 第n-1項 までの和であることに注意して、次のように計算を進めましょう。 計算によって出てきた a n =n 2 +1 は、 n≧2 に限るものであることに注意しましょう。 n=1についてはa n =n 2 +1を満たすかどうか、代入して確認する必要があります。 すると、a 1 =1 2 +1=2となり、与えられた数列の初項とちゃんと一致しますね。 答え
階差数列まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 階差数列まとめ 【階差数列と一般項の公式】 【漸化式と階差数列】 \( \displaystyle \color{red}{ a_{n+1} = a_n + f(n)} \) (\( f(n) \) は階差数列の一般項) 以上が階差数列の解説です。 階差数列については,公式の導出の考え方が非常に重要です。 公式に頼るだけでなく,公式の導出と同様の考え方で,その都度一般項を求められる力もつけておきましょう。
ホーム 数 B 数列 2021年2月19日 この記事では、「階差数列」の意味や公式(階差数列の和を使った一般項の求め方)についてわかりやすく解説していきます。 漸化式の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね! 階差数列とは?
階差数列を使う例題 実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです. 階差数列の全てをわかりやすくまとめた（公式・漸化式・一般項の解き方） | 理系ラボ. 階差数列が等差数列となるパターン 問 次の数列の一般項を求めよ. $$3,7,13,21,31,43,57,\cdots$$ →solution 階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $$ $$=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です. 階差数列が等比数列となるパターン $$2,5,11,23,47,95,191,\cdots$$ 階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $$ $$=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.
ホーム >> 数列 >> 階差数列を用いて一般項を求める方法 階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します.簡単な原理に基づいていて,結構使用頻度が多いので,ぜひマスターしましょう. 階差数列とは 与えられた数列の一般項を求める方法として,隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法があります. 数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ つの項の差 $$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1, 2, 3, \cdots)$$ を項とする数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の 階差数列 といいます. つまり,数列が $$3,10,21,36,55,78,\cdots$$ というように与えられたとします.この数列がどのような規則にしたがって並べられているのか,一見しただけではよくわかりません.そこで,この数列の階差数列を考えると,それは, $$7,11,15,19,23,\cdots$$ と等差数列になります.したがって一般項が簡単に求められます.そして,この一般項を使って,元の数列の一般項を求めることができるのです. まとめると, 階差数列の一般項がわかればもとの数列の一般項がわかる ということです. 階差数列と一般項 実際に,階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める公式を導いてみましょう. 階差数列 一般項 σ わからない. 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると, $$b_1=a_2-a_1$$ $$b_2=a_3-a_2$$ $$b_3=a_4-a_3$$ $$\vdots$$ $$b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$$ これら $n-1$ 個の等式の辺々を足すと,$n \ge 2$ のとき, $$b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}=a_n-a_1$$ となります.したがって,次のことが成り立ちます. 階差数列と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると,$n \ge 2$ のとき, $$\large a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$ が成り立つ. これは,階差数列の一般項から,元の数列の一般項を求める公式です. 注意点 ・$b_n$ の和は $1$ から $n$ までではなく,$1$ から $n-1$ までです. ・この公式は $n \ge 2$ という制約のもとで $a_n$ を求めていますので,$n=1$ のときは別でチェックしなければいけません.ただし,高校数学で現れる大抵の数列 (ひねくれていない素直な数列) は,$n=1$ のときも成り立ちます.それでも答案で記述するときには,必ず $n \ge 2$ のときで公式を用いて $n=1$ のときは別でチェックするという風にするべきです.それは,自分はこの公式が $n \ge 2$ という制約のもとでしか使用できないことをきちんと知っていますよ!と採点者にアピールするという側面もあるのです.
難しい単元が続く高校数学のなかでも、階差数列に苦しむ方は多いのではないでしょうか。 この記事では、そんな階差数列を、わかりやすく解説していきます。 まずは数の並びに慣れよう 下の数列はある規則に基づいて並んでいます。第1項から第5項まで並んでいる。 第6項を求めてみよう では(1)から(5)までじっくり見ていきましょう。 (1) 3 6 9 …とみていった場合、この並びはどこかで見たことありませんか? そうです。今は懐かしい九九の3の段ではありませんか。第1項は3×1、第2項は3×2、 第3項は3×3というように項の数を3にかけると求めることができます。よって第6項は18。 (2) これはそれぞれの項を単体で見ると、1=1³ 8=2³ 27=3³となり3乗してできる数。 こういう数を数学では立方数っていいます。しかし、第1項が0³、第2項が1³…となっており3乗する数が項数より1少ないことがわかります。よって第6項は5³=125。 (3) 分母に注目してみると、2 4 8 16 …となっており、分母に2をかけると次の項になります。ということは第5項の分母が32なのでそれに2をかけると64となります。また、1つおきに-がついているので第6項は+となります。よって第6項は1/64。 (4) 分母と分子を別々に見ていきましょう。 分子は1 3 5 7 …と奇数の並びになっているので第6項の分子は11。 分母は1 4 9 16 …となっており、2乗してできる数(第1項は1²、第2項は2²…) だから、第6項の分母は36となり第6項は11/36。 さっき3乗してできる数は立方数っていったけど2乗バージョンもあるのか気になりませんか?ちゃんとあります!平方数っていいます。 立方や平方って言葉聞いたこと過去にありませんか? 小学校のときに習った、体積や面積の単位に登場してきてますね。 立方センチメートルだの平方センチメートルでしたよね。 (5) 今までのものとは違い見た目での特徴がつかみづらいと思いませんか?
person 20代/女性 - 2014/09/08 lock 有料会員限定 2日前の夜、右目に原液に近いアルカリ性ハイターが1滴入りすぐに水道水で2分程洗いました。(後になってこの時にもっと長く洗うべきであったことに気がつきました)入った瞬間もその後も痛みはありません。 昨日の夜遅く、入った方の目がチカチカ光るような一部分見えにくくぼやけるような症状がありました。この時も痛みはありません。 今日の朝早く目のチカチカはおさまりましたが、アルカリが目に入る事の深刻さを知り眼科で診察を受けました。(現在海外に住んでいてこの国はあと2日間休日のため救急病棟のような所での眼科医の診察でした) 結果は『乾燥がひどい場合にも起きるような軽い炎症が起きている。しかしその炎症の形(傷の形? )は何かが入って起こったような形であるためおそらくハイターの影響である。あまり心配はいらないので目薬をさしながら様子を見て数日後にもう一度診察を受けてください』 とのことで 処方箋として ・CRAVIT OPH SOLN ・HYALEIN-MINI OPH 0. 泡ハイターが目に入ったかもしれません - 眼科 - 日本最大級／医師に相談できるQ&Aサイト アスクドクターズ. 1% を出してもらいました。 ●ここで質問が2つあります 1)処方してもらった目薬をつけるだけでアルカリが目に浸透していってしまうのは避けられるのでしょうか? 現在痛みや違和感は全くありませんが、このような場合でもアルカリが深部に達してしまい最悪の場合は失明する恐れがあるとの情報をインターネットで見つけたのですが。。目に入った液体がアルカリ性だということを眼科医に告げて軽度であるという診断を受けた後にも症状が進行してしまうようなことは起こりえますか? 2)ハイターが目に入ってから2日経っている現在、痛み等の自覚症状はありませんがこの場合もこの先失明などの深刻な状態になる可能性はありますか?失明に繋がるような症状というのは必ず角膜が白濁するものなのでしょうか?透明で目に見える異常がない場合でもそのまま失明や深刻な状態になり得ますか? person_outline アンリャンさん
おはようございます(´∀`)視能訓練士の福森です もうすぐ12月ですね!!! 12月は楽しいイベントがいーっぱい! 忘年会にクリスマスに大晦日…楽しみですね(*'ω'*)わくわくですね! 今日は「こんな時どうしよう!?」という、目の応急処置についてお話しますね! 1.目に「毛染め液・農薬・殺虫剤」などが入ってしまった! →すぐに 水道水 で洗いましょう。 (「入った薬剤がアルカリ性だから、酸性で中和するかと思って…」と言って 酸性の漂白剤などで洗うことは絶対に避けてください。) 水は流しっぱなしにしたままで、最低10分以上は洗ってください。 もったいないから、といって洗面器に溜めたお水で洗うようではいけませんよ! 上まぶたを持ち上げたり、まばたきをしたり・・・ しっかりと目を開け中まで洗うのがポイントです。 洗い終わったらすぐに眼科を受診してください。 その時、目に入った薬剤の容器を一緒に持っていくと良いでしょう。 どの薬剤も大変危険ですが、最も要注意なのは「アルカリ性」のものです。 毛染め液やパーマ液、ハイターやカビキラーなどがこれにあたります。 症状が軽くても、眼科は必ず早く受診してくださいね!!!! キッチンの流しが臭かったのでキッチンハイターで洗ったらなぜだか目が痛くなった - ハナさんキッチン. 2. 目を打った!または、ボールやらバットやらの物が当たった! →必ず眼科を早めに受診してください。 腫れがひどい場合などは濡れタオル・氷などで冷やしながら来てください。 受診時に何で?どこを?どんなふうに打ったか?見えにくさはないか? 見え方に異常はないか・・・などを伺います。 眼球を石やゴルフボール、こぶしなどで傷つけられると、黒い虫が飛ぶように 感じたり(=飛蚊症)、雲が覆いかぶさったような感じになることがあります。 これは網膜剥離や眼底出血の兆候です。 また、直接眼球に傷はついていなくても、目の回りには目を守る大事な骨が たくさんあります。 例えば、眉毛の外側上方には視神経(目の神経)が通る骨の管があります。 ここを強打するなどしてケガすると神経にまで影響することがあり、 神経が切れるなどで突然見えなくなってしまうこともあります。 更に、目の下の頬骨近くには眼球を入れているお皿のような 骨の一部があります。 これはとても薄く、骨折しやすい場所です。 喧嘩などでこの骨付近を骨折してしまった場合、眼窩(がんか)吹き抜け骨折 と呼ばれ、眼球の動きが妨げられ物が2つに見えたりします。 場合によっては手術が必要となります。 物が二重に見える・虫や髪の毛のようなものが見える・かすむ・ 目が動きにくい…などがある場合は要注意です。 3.刺してしまった!突いてしまった!
目にまつ毛やゴミが入って、痛みを感じる時もあります。そのような時は、そのまま放置しておくと言うわけには行きませんよね。混入物が薬剤という事もあるので水で洗い流し、それでも痛みがひかない時は、眼科を受診するようにしましょう。 目に何かが入った時に、痛みを感じる場合には次のような原因が考えられます。なぜ、目が痛くなるのかを見て行きましょう。 まぶたの裏の瞼結膜に入り込んでいる 目の角膜の上皮にくっついている、刺さっている 目の角膜を混入物で傷付いている このように、角膜が傷付いてしまう事で、角膜上皮にある 三叉神経 が多く集まる 知覚神経 の末端を刺激し痛みを伴います。また、混入物の付着場所によって痛みのレベルにも違いがあります。角膜の中央部から上部にかけての異物は、まばたきによって刺激されやすく 強い痛み を伴います。異物が混入しても、目をこすって角膜を傷つけてしまわないように注意しましょう。 目の中のゴミが取れなくなる事も!
質問日時: 2014/07/24 18:59 回答数: 2 件 キッチン泡ハイターの容器を触った後、あやまって目を触ってしまいました。 正確には、触った後直後目薬をさしたんですが、そのとき目を拭ってしまいました。 容器に何かがついていた感じはないのですが、キッチン泡ハイターは5日前に使っています。容器に泡などついたままで乾燥している場合、 乾燥した液は無害になるのでしょうか? 目によくない成分は次亜塩素酸ナトリウムと水酸化ナトリウム(苛性ソーダ)と聞きましたが、 この2つは乾燥してしまえば無害ですか? 以前、ハイターが目に飛んで、眼科に行ったり大変な思いをして以来、過敏になってしまいます。 No. 2 ベストアンサー 回答者: tpg0 回答日時: 2014/07/24 20:26 こんにちは。 キッチン泡ハイターに限らず、塩素系の漂白剤の主成分はご承知の通り次亜塩素酸ナトリウムと水酸化ナトリウムの水溶液です。 この、水酸化ナトリウムは乾燥によって結晶化しても水に溶ければ強アリカリの水酸化ナトリウム水溶液に戻り眼球の粘膜(蛋白質)を溶かしますから失明の危険性すらありますが、極めて微量なら直ぐに涙で流されてしまうでしょうから、石鹸が染みたような感覚がなく眼が開けることが出来るなら極めて微量で既に流されてしまったと考えるべきです。 0 件 この回答へのお礼 なるほど、理論上では一度乾燥しても、再び水に溶ければ有害化するということで危険性はあるのですね。 染みたような感じもなく、数日過ぎても異常が出なかったので大丈夫だったようです。心配しすぎでした。 ありがとうございました。 お礼日時:2014/08/01 15:35 No. 1 epusiron 回答日時: 2014/07/24 19:08 あのさぁ ハイターが目に入っても乾燥はしないよ 涙腺が常に涙が出てて 瞳を乾燥から防いでるんだから もう とっくに ハイター成分は 目から流れ落ちてますよ 1 この回答へのお礼 異常が出ずに数日過ぎたので大丈夫だったみたいです。気にし過ぎでした。 お礼日時:2014/08/01 15:32 お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて! gooで質問しましょう! このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
5 kagakusuki 回答日時: 2010/05/28 02:29 私もANo. 3様と同意見です。 安心されて下さい。 この回答へのお礼 励ましのお言葉、ありがとうございます。 おなかの様子などあまり変化はなかったので、自分でも大丈夫かな?なんて少し甘い期待を抱いてはいたのですが、それでも無知な自分を100パーセント信じることはできなくて・・・。 皆様から安心できるご回答を頂いて本当に体調も気分もグッと楽になったような気がします。 ご親切にありがとうございました。 お礼日時:2010/05/28 07:09 No. 4 tanuyama 回答日時: 2010/05/27 23:52 中毒対処マニュアルという本から。 液性が弱酸性、中性、弱アルカリ性の場合はあなたの処置通りでよい。中毒症状(吐き気、嘔吐、下痢)が出れば、受診。決して吐かせてはいけない。と書いてあります。受診の際は飲んだ液体のボトルを持参し、どのくらい飲んだかを医師に報告。 口の中のぬるつき感は、タンパク質がアルカリ性の液体によって溶けているのだと推測されます。中毒症状が出ていないようなので大丈夫だとは思いますが、心配なら受診してください。お大事に。 7 この回答へのお礼 ご回答頂きありがとうございました。 お返事遅くなってしまい申し訳ありません。 昨夜はおとなしく様子を見るだけにして過ごしたのですが、おかげさまで中毒症状は起こらずに無事に朝を迎えることができました。 本当にとんでもないドジをしたものだと自分に対して呆れてしまっていますが、病院には行かずに済みそうなので今はホッとしております。 詳しいアドバイスを本当にありがとうございました。 お礼日時:2010/05/28 07:04 No. 2 33obachan 回答日時: 2010/05/27 23:25 追加です。 お住まいの自治体の消防局のサイトで、夜間病院、救急相談、救急車適正利用などの紹介がされていると思います。 6 この回答へのお礼 再度、ご親切にありがとうございます。 先ほどのご回答を読んで気持ちが楽になったせいか、口の中の違和感もあまり感じなくなってきていました。 もう少し様子を見ようかなぁなんて、ちょっと余裕を持てるようにもなりました。 でもどう体調が変化するかもわかりませんので、教えて頂いた情報を元に問い合わせ先をちゃんと調べようと思います。 本当に何度もありがとうございます。 お礼日時:2010/05/27 23:37 No.
今回は、漂白剤が目に入った場合のお話です。 応急処置については、商品の容器にも書いてあります。 最悪の場合は失明する恐れがあることなので、薬剤メーカーや眼科のサイトから情報をまとめました。 状況としては、お風呂掃除をするときに起こりやすいですね。 スプレーで漂白剤を噴射するときなどに、目に入ってしまうことはありえることです。 このページでは、漂白剤が飛んできて目に入ったかもしれない。 痛くないけど大丈夫かなぁ?というケースを想定して、漂白剤が目に入った場合の問題点、症状、応急処置についてお伝えしていきます。 漂白剤が目に入ったとき痛くない場合でも医者の診断は必要ある? はじめに、応急処置からお伝えします。 応急処置については、漂白剤の商品の容器にも書いてあります。 流水で15分以上洗う。 それから医師に診断してもらう。 という順番を守ってください。 目薬はダメ! 「アイボン」や「目薬」を使うのはNG です。 十分に洗浄できないというのがおもな理由です。 すぐに目を洗う! ◎ シャワーを使って目を洗う方法 弱い水流にすることができるならシャワーを使いましょう! 指で目を広げて、シャワーを上向きにして洗い流します。 15分以上続けてください。 ◎ 手のひらに水をためて洗う方法 手のひらに水をためて、水中でまばたきしながら目を洗い流します。 繰り返しながら、15分以上続けてください。 痛くない場合でも目を流水で洗う! 目を流水で洗うという応急処置をしたかしなかったでは、危険度の大きさが違います。 病院を探すよりも、15分以上をかけて目を洗うのが先です。 カビ掃除用の漂白剤などの容器には、「失明のおそれがある」と注意書き(応急処置)にあります。 漂白剤が目に入ったかもしれない場合の症状 漂白剤が目に入ったかもしれない場合というのは、どのような状態であるのか?
大川竜弥-ぱくたそ キッチンの流しが臭い! 暑くなってくると、キッチンが臭ってくる。 原因は、生ゴミだ。 早速、網に溜まった生ごみを片付ける。 これで匂いはなくなるかな・・・ 生ゴミを片付けたのに、それでも何か臭っている。 なんだろう? よく見ると、流しのステンレスがやたらと汚れている。 汚れでばい菌が繁殖したに違いない。 よし、洗ってやろう ばい菌を消毒するには次亜塩素酸が入ったキッチンハイターがオススメ。 早速台所用のゴミ手袋をはめて、お古のスポンジに、まずは普通の洗剤を使ってこすってみた。泡が残った状態で、上からキッチンハイターを振りかけて、さらに流しを洗ってみる。 プールの臭いがして、消毒がしっかり出来ている感じかする。 よしよし。 その時、体に異変が・・・ スポンサーリンク しばらくすると、なんだか目がチカチカ痛くなってきた。 何だか目の前が曇って来た気もする。 もしかして有毒ガスが発生して・・・失明!? あわてて、流し台に水を流して、洗剤とキッチンハイターを洗い流した。 ゴム手袋を外して、台所から洗面所へ移動して顔を洗ってみたら、スッキリいつもどおり。 一体何だったんだろうか? 次亜塩素酸と、中性洗剤が化学反応を起こして有毒ガスが出たのかな? それとも、細かい泡が飛び散って目に入ったのかな? 調べてみました。 塩素ガスが発生したのかな? キッチンハイターの製造元、花王のホームページを見てみると、 塩素系のカビとり剤・漂白剤は、酸性のものと混じると、有害な塩素ガスを発生します。混ぜてしまったら、すぐにその場を離れ、ガスを吸ったり、目や皮膚にガスが触れないようにしてください。目やのど、皮膚に痛みや刺激を感じた場合や、気分が悪くなった場合は、すぐに医師の診察をうけてください。 また、ガスが発生した場所には、刺激臭がなくなるまで立ち入らないようにしてください。 塩素系のカビとり剤・漂白剤のにおいで気分が悪くなった時 不快感や皮膚の異常がおきた時 応急処置SOS|花王株式会社 から引用 ということで、 次亜塩素酸ナトリウムはアルカリ性 なので、 酸性のものとまじると 塩素ガス が発生 するそうです。 次亜塩素酸ナトリウムとかが直接目に入ったら本当に失明してしまうかもなので、目が痛かったのは、何らかのガスのせいでしょう。 臭いがするということは、濃度の差はあれ、何かのガスが出ていたのでしょうね。 Q、塩素ガスって何?