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四面体 OABC があり,$\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c}$ とする。三角形 ABC の重心を G とする。点 D,E,P を $\overrightarrow{\text{OD}}=2\vec{b}$,$\overrightarrow{\text{OE}}=3\vec{c}$,$\overrightarrow{\text{OP}}=6\overrightarrow{\text{OG}}$ をみたす点とし,平面 ADE と直線 OP の交点を Q とする。次の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{\text{OQ}}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。 (2) 三角形 ADE の面積を $S_1$,三角形 QDE の面積を $S_2$ とするとき,$\cfrac{S_2}{S_1}$ を求めよ。 (3) 四面体 OADE の体積を $V_1$,四面体 PQDE の体積を $V_2$ とするとき,$\cfrac{V_2}{V_1}$ を求めよ。 ベクトルを 2 通りで表す (1)から始めます。 ぜんぜん立体に見えないのは目の錯覚ですかね?
(1)底面の三角形ABC内に点Pをとり、2点A, Pを通る直線と線分BCとの交点をQとする。 このとき、BQ:QC= s: (1-s)とおくと、ベクトル↑OQの成分は ↑OQ=(1-s)OB+sOC =(1-s)(2, 1, 0)+s(0, 2, 0) =(2-2s, 1+s, 0) である。したがって、AP:PQ = t:(1-t)とおくと、ベクトル↑OPの成分は ↑OP=(1-t)OA+tOQ =(1-t)(0, 0, 2)+t(2-2s, 1+s, 0) =(2t-2st, t+st, 2-2t) (2) AB=(2, 1, 0)-(0, 0, 2)=(2, 1, -2) OP⊥ABならば、s, tは 2(2t-2st)+t+st-2(2-2t)=0 3st -9t +4=0 を満たす。 また、AC=(0, 2, 0)-(0, 0, 2)=(0, 2, -2) OP⊥ACならば、s, tは 2(t+st)-2(2-2t)=0 st+3t -2=0 を満たす。この2式より s=3/5, t=5/9 を得る。 OP=(4/9, 8/9, 8/9) 以上より、三角形ABCを底面としたとき、この四面体の高さ =|OP|=√{(4/9)^2+(8/9)^2+(8/9)^2} =4/3 である。
このページでは、 数学B の「平面ベクトル」の公式をまとめました 。 空間ベクトルの公式は「 空間ベクトル 公式一覧 」で説明しているので、チェックしてみてください。 問題集を解く際の参考にしてください! 1. 平面ベクトルの公式 1. 1 分解 公式 1. 2 成分表示 1. 3 大きさ 1. 4 平行 平行なら、どちらかのベクトルを何倍かすると重なるよ 1. 5 垂直 垂直なら内積 \( 0 \) 1. 6 内積 角度があるときの内積の求め方 1. 7 内積(成分) 成分のときの内積の求め方 1. 空間ベクトル 三角形の面積. 8 内分 1. 9 外分 1. 10 一直線上 1. 11 三角形の面積 数学Ⅰ三角比の公式 忘れた人は「 【数学Ⅰ】三角比 公式一覧 」の「1. 7 三角形の面積」をチェックしてみて下さい。 1. 12 三角形の面積(成分) 2. まとめ 以上が、平面ベクトルの公式一覧です。 公式を、PDFファイルでA4プリント1枚にまとめました。演習の際に、ご活用ください。 ダウンロードは こちら
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