この記事では、「正規分布」とは何かをわかりやすく解説します。 正規分布表の見方や計算問題の解き方も説明しますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね! 正規分布とは?
5\) となる \(P(Z \geq 0) = P(Z \leq 0) = 0. 5\) 直線 \(z = 0\)(\(y\) 軸)に関して対称で、\(y\) は \(z = 0\) で最大値をとる \(P(0 \leq Z \leq u) = p(u)\) は正規分布表を利用して求められる 平均がど真ん中なので、面積(確率)も \(y\) 軸を境に対称でわかりやすいですね!
4^2)\) に従うから、 \(Z = \displaystyle \frac{X − 69}{0. 4}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。 よって \(\begin{align}P(Z \geq 70) &= P\left(Z \geq \displaystyle \frac{70 − 69}{0. 4}\right)\\&= P(Z \geq 2. 5 − p(2. 4938\\&= 0. 0062\end{align}\) したがって、\(1\) 万個の製品中の不良品の予想個数は \(10, 000 \times 0. 0062 = 62\)(個) 答え: \(62\) 個 以上で問題も終わりです! 正規分布はいろいろなところで活用するので、基本的な計算問題への対処法は確実に理解しておきましょう。 正規分布は、統計的な推測においてとても重要な役割を果たします。 詳しくは、以下の記事で説明していきます! 母集団と標本とは?統計調査の意味や求め方をわかりやすく解説! 信頼区間、母平均・母比率の推定とは?公式や問題の解き方
正規分布 正規分布を標準正規分布に変形することを、 標準化 といいます。 (正規分布について詳しく知りたい方は 正規分布とは? をご覧ください。) 正規分布を標準化する式 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、 $$ Z = \frac{X-μ}{σ} $$ と変換すると、\(Z\)は標準正規分布\(N(0, 1)\)(平均0, 分散1)に従います。 標準正規分布の確率密度関数 $$ f(X) = \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ 正規分布を標準化する意味 標準正規分布表 をご存知でしょうか?下図のようなものです。何かとよく使うこの表ですが、すべての正規分布に対して用意するのは大変です(というか無理です)。そこで、他の正規分布に関しては標準化によって標準正規分布に直してから、標準正規分布表を使います。 正規分布というのは、実数倍や平行移動を同じものと考えると、一種類しかありません。なので、どの正規分布も標準化によって、標準正規分布に変換できます。そういうわけで、表も 標準正規分布表 一つで十分なのです。 標準化を使った例題 例題 とある大学の男子について身長を調査したところ、平均身長170cm、標準偏差7の正規分布に従うことが分かった。では、身長165cm~175cmの人の数は全体の何%占めるか? 解説 この問題を標準化によって解く。身長の確率変数をXと置く。平均170、標準偏差7なので、Xを標準化すると、 $$ Z = \frac{X-170}{7} $$ となる。よって \begin{eqnarray}165≦X≦175 &⇔& \frac{165-170}{7}≦Z≦\frac{175-170}{7}\\\\&⇔&-0. 71≦Z≦0. 71\end{eqnarray} であるので、標準正規分布が-0. 71~0. 71の値を取る確率が答えとなる。 これは 標準正規分布表 より、0. 5223と分かるので、身長165cm~175cmの人の数は全体の52. 23%である。 ちなみに、この例題では身長が正規分布に従うと仮定していますが、身長が本当に正規分布に従うかの検証を、 【例】身長の分布は本当に正規分布に従うのか!? で行なっております。興味のある方はお読みください。 標準化の証明 初めに標準化の式について触れましたが、どうしてこのような式になるのか、証明していきます。 証明 正規分布の性質を利用する。 正規分布の性質1 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、\(aX+b\)は正規分布\(N(aμ+b, a^2σ^2)\)に従う。 性質1において\(a = \frac{1}{σ}, b= -\frac{μ}{σ}\)とおけば、 $$ N(aμ+b, a^2σ^2) = N(0, 1) $$ となるので、これは標準正規分布に従う。また、このとき $$ aX+b = \frac{X-μ}{σ} $$ は標準正規分布に従う。 まとめ 正規分布を標準正規分布に変換する標準化についていかがでしたでしょうか。証明を覚える必要まではありませんが、標準化の式は使えるようにしておきたいところです。 余力のある人は是非証明を自分でやってみて、理解を深めて見てください!
さて、連続型確率分布では、分布曲線下の面積が確率を示すので、確率密度関数を定積分して確率を求めるのでしたね。 正規分布はかなりよく登場する確率分布なのに、毎回 \(f(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{− \frac{(x − m)^2}{2\sigma^2}}\) の定積分をするなんてめちゃくちゃ大変です(しかも高校レベルの積分の知識では対処できない)。 そこで、「 正規分布を標準化して、あらかじめ計算しておいた確率(正規分布表)を利用しちゃおう! 」ということになりました。 \(m\), \(\sigma\) の値が異なっても、 縮尺を合わせれば対応する範囲の面積(確率)は等しい からです。 そうすれば、いちいち複雑な関数を定積分しないで、正規分布における確率を求められます。 ここから、正規分布の標準化と正規分布表の使い方を順番に説明していきます。 正規分布の標準化 ここでは、正規分布の標準化について説明します。 さて、\(m\), \(\sigma\) がどんな値の正規分布が一番シンプルで扱いやすいでしょうか?
9}{5. 4}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。 \(\begin{align}P(X \geq 180) &= P\left(Z \geq \displaystyle \frac{180 − 171. 4}\right)\\&= P\left(Z \geq \displaystyle \frac{8. 1}{5. 4}\right)\\&≒ P(Z \geq 1. 5)\\&= 0. 5 − p(1. 5 − 0. 4332\\&= 0. 0668\end{align}\) \(400 \times 0. 0668 = 26. 72\) より、求める生徒の人数は約 \(27\) 人 答え: 約 \(27\) 人 身長が \(x \ \mathrm{cm}\) 以上であれば高い方から \(90\) 人の中に入るとする。 ここで、 \(\displaystyle \frac{90}{400} = 0. 225 < 0. 5\) より、 \(P(Z \geq u) = 0. 225\) とすると \(\begin{align}P(0 \leq Z \leq u) &= 0. 5 − P(Z \geq u)\\&= 0. 225\\&= 0. 275\end{align}\) よって、正規分布表から \(u ≒ 0. 755\) これに対応する \(x\) の値は \(0. 755 = \displaystyle \frac{x − 170. 4}\) \(\begin{align}x &= 0. 755 \cdot 5. 4 + 170. 9\\&= 4. 077 + 170. 9\\&= 174. 977\end{align}\) したがって、\(175. 0 \ \mathrm{cm}\) 以上あればよい。 答え: \(175. 0 \ \mathrm{cm}\) 以上 計算問題②「製品の長さと不良品」 計算問題② ある製品 \(1\) 万個の長さは平均 \(69 \ \mathrm{cm}\)、標準偏差 \(0. 4 \ \mathrm{cm}\) の正規分布に従っている。長さ \(70 \ \mathrm{cm}\) 以上の製品を不良品とみなすとき、この \(1\) 万個の製品の中には何個の不良品が含まれると予想されるか。 標準正規分布を用いて不良品の割合を調べ、予想個数を求めましょう。 製品の長さ \(X\) は正規分布 \(N(69, 0.
また、正規分布についてさらに詳しく知りたい方は こちら をご覧ください。 (totalcount 73, 282 回, dailycount 1, 164回, overallcount 6, 621, 008 回) ライター: IMIN 正規分布
93 ID:0S+ucKbf0 ケチな点棒拾う気無し 52: 2018/02/22(木) 01:56:03. 96 ID:pxQOh63Oa 浦部戦までは本当に無駄のない傑作 鷲津戦からはアニメですらめちゃくちゃダラけるわ 56: 2018/02/22(木) 01:56:23. 94 ID:TH/5bbD60 浦部戦は狂気と説得力があってほとんどの台詞が好きよ 2p単騎に至るために聴牌はおろか有効牌全ツモ切りとか凄まじいことやってる 59: 2018/02/22(木) 01:56:50. 51 ID:EM3rHKVJM 後の三巡を買う 60: 2018/02/22(木) 01:56:54. 92 ID:eev+euegM ワシズ麻雀も輸血のあたりで終わってればね… 62: 2018/02/22(木) 01:57:11. 69 ID:0yXPStfAp 改めてアカギ読み返すと鷲巣麻雀入るのクッソ早いよな 結局鷲巣麻雀で完結やしこれもうアカギと鷲巣のラブストーリーだろ 75: 2018/02/22(木) 01:58:53. 79 ID:r2DP0JxK0 >>62 最終回まで行方不明になったアカギ探し回る鷲巣すこ アカギを殺すのはワシだけじゃとかいうのもすこ 66: 2018/02/22(木) 01:57:47. 76 ID:pxQOh63Oa 随分手の込んだ真似するね八木さん 俺ならもっとストレートにいくよ・・・! 93: 2018/02/22(木) 02:00:49. 86 ID:Z7Z6mcb/0 アニメアカギは雰囲気がよくできてたな 98: 2018/02/22(木) 02:01:56. 29 ID:pxQOh63Oa 若アカギが全く躊躇も遠慮もなく図々しくイカサマするのほんと好き 111: 2018/02/22(木) 02:03:07. 76 ID:ykEvkud40 アカギは何気に面倒見ええよな 浦部戦の解説頼まれたらしぶしぶやけど滅茶苦茶丁寧にやっていたし 117: 2018/02/22(木) 02:03:53. 00 ID:bo7plsCda >>111 まるでこの世の成り立ちを説く高僧のよう 122: 2018/02/22(木) 02:04:35. 67 ID:z/QZ8u0d0 アカギがひろに優しいのすき 135: 2018/02/22(木) 02:05:29.
1: 2018/02/22(木) 01:46:08. 63 ID:4pntwN0P0 「ドンッ」 2: 2018/02/22(木) 01:46:23. 73 ID:5HUeC8xY0 狂気の沙汰ほど 3: 2018/02/22(木) 01:47:33. 69 ID:HULydOKn0 じじい、その牌だ 4: 2018/02/22(木) 01:47:38. 37 ID:XHvZIwUMM 例え勝つにしろ負けるにしろ 赤木しげるとして勝ち 負けたいのだ 6: 2018/02/22(木) 01:48:01. 75 ID:F74fRFS2d ここまで倍プッシュなし 7: 2018/02/22(木) 01:48:03. 18 ID:zD9w5n7f0 天ばかりやんけ 10: 2018/02/22(木) 01:48:39. 70 ID:4pntwN0P0 >>7 だって天の赤木の方がかっこええやん 若い頃も嫌いじゃないけど 16: 2018/02/22(木) 01:49:21. 10 ID:zD9w5n7f0 >>10 わかるわ 天のアカギの人間臭さが大好き 20: 2018/02/22(木) 01:50:10. 95 ID:4pntwN0P0 >>16 若い頃もかっこいいけどキザったらしくて無機質すぎる感があるんだよな 26: 2018/02/22(木) 01:50:55. 25 ID:zD9w5n7f0 >>20 それは意図的にそう描いとるんやろ 老アカギとの対比になって面白いし 11: 2018/02/22(木) 01:49:02. 42 ID:pqpESp740 いやー難しいなゴルフはwww 13: 2018/02/22(木) 01:49:09. 09 ID:pIwLM3nc0 狂気の沙汰ほど面白い 14: 2018/02/22(木) 01:49:16. 01 ID:yJyVxvsE0 まるで白痴だな 15: 2018/02/22(木) 01:49:16. 22 ID:oX3/+5zu0 俺の暗刻はそこにある、が飛び抜けてかっこいい 17: 2018/02/22(木) 01:49:29. 99 ID:Lob+ZnVv0 奴は死ぬまで保留する 18: 2018/02/22(木) 01:49:57. 31 ID:YaZTvCLRM しかしま…同じこと 27: 2018/02/22(木) 01:51:07.
ゆうちゃん 2018年06月05日 02:50 このセリフなんだっけ?ってなることあるよね! 167. なまえがなしこ 2018年06月05日 02:22 多分、最初の試験編の心臓抜いたシーンの親父ならもっとうまく抜くよが混じったんちゃうかな 166. なまえがなしこ 2018年06月05日 02:18 毎度毎度なんなんだよ笑 165. なまえがなしこ 2018年06月05日 02:03 ごめん 両方ネタわかんねーや 164. なまえがなしこ 2018年06月05日 01:59 え〜キルアちゃんそんなこと言ってんの〜〜? さすがのイキリね〜〜〜(*´ω`*) って、違うんかいwwwwww ノッてくる姉吉もすごいわ 163. なまえがなしこ 2018年06月05日 01:20 いつも見てるけど初コメです(∩´∀`∩) ハンターネタ嬉しい💓途中まで違和感なく読んでましたwキルア言ってた気がするけど勘違いかw 162. なまえがなしこ 2018年06月05日 00:57 いま熱39℃あって死にそうなんだけどクスッとできたわ。ありがとう 161. なまえがなしこ 2018年06月05日 00:53 確かに! そしてマメちゃんに言うことではないのはよーくわかっているんだけど、 ライブドアブログの最近の動画バナーが、うっとうしい……外で見てるときパケ代が凄いドキドキしてしまう(動画はWi-Fiでしか見ない派) 160. なまえがなしこ 2018年06月05日 00:50 そんなシーンあったかな・・・?と思いながら読み進めたらこのオチwwww しかし髪の色くらいしか共通点無いなw 159. なまえがなしこ 2018年06月05日 00:47 特攻の拓の、気合いブリバリだあ!! ばかやろう! !が誰が言っていたか友達と話してたいい思い出がよみがえった。 158. なまえがなしこ 2018年06月05日 00:30 ゲンスルーのアゴとアカギのアゴがごっちゃになったのかなw 157. なまえがなしこ 2018年06月05日 00:28 なに?最近ハンターハンターにハマりだしたの?笑 156. なまえがなしこ 2018年06月05日 00:19 あ、アカギもさ細長いからさ…… 155. wimper37458 2018年06月05日 00:00 最後のオチでやられました!笑 今日も笑いをありがとうございます!