東大塾長の山田です。 このページでは、 「 剰余の定理 」について解説します 。 今回は 「剰余の定理」の公式と証明 に加え、 「剰余の定理と因数定理の違い」 についても解説しています。 さいごには剰余の定理を利用する練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで勉強の参考にしてください! 1. 剰余の定理とは? それではさっそく 剰余の定理 について解説していきます。 1. 1 剰余の定理(公式) 剰余の定理は、余りを求めるときにとても便利な定理 です。 具体例は次の通りです。 【例】 整式 \( P(x) = x^3 – 3x^2 + 7 \) を \( x – \color{red}{ 1} \) で割った余りは \( P(1) = \color{red}{ 1}^3 – 3 \cdot \color{red}{ 1}^2 + 7 = 4 \) \( x + 2 \) で割った余りは \( P(-2) = (-2)^3 – 3 \cdot (-2)^2 + 7 = -13 \) このように、 剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができます 。 1. 2 剰余の定理の証明 なぜ剰余の定理が成り立つのか、証明をしていきます。 剰余の定理の証明はとてもシンプルです。 よって、\( \color{red}{ P(\alpha) = R} \) となり、証明ができました。 2. 剰余の定理まとめ（公式・証明・問題） | 理系ラボ. 【補足】割る式の1次の係数が1でない場合 割る式の \( x \) の係数が1でない場合の余り は、次のようになります。 補足 整式 \( P(x) \) を1次式 \( (ax+b) \) で割ったときの余りは \( \displaystyle P \left( – \frac{b}{a} \right) \) 整式 \( P(x) = x^3 – 3x^2 + 7 \) を \( 2x + 1 \) で割った余り \( R \) は \( \displaystyle R = P \left( – \frac{1}{2} \right) = \frac{49}{8} \) 3. 【補足】剰余の定理と因数定理の違い 「剰余の定理と因数定理の違いがわからない…」 と混同されてしまうことがあります。 剰余の定理の余りが0 の場合が、因数定理 です 。 余りが0ということは、 \( P(x) = (x- \alpha) Q(x) + 0 \) ということなので、両辺に \( x= \alpha \) を代入すると \( P(\alpha) = 0 \) が得られます。 また、「\( x- \alpha \) で割ると余りが0」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) で割り切れる」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) を因数にもつ」ということです。 したがって、因数定理 が成り立ちます。 3.
この画像をクリックしてみて下さい. 整式を1次式で割った余りは剰余の定理により得ることができます. 2次以上の式で割るときは縦書きの割り算を実行します. 本問(3)でこの割り算を回避することができるでしょうか.
11月13日のページごとのアクセス ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 閲覧数 1438 PV 訪問者数 396 IP 順位 1347位 /2628456ブログ 1位 微分法を用いて不等式を証明する2016年度の神戸大学理系の入試問題 ~ある有名な無限級数の発散の証明 2016-11-13 60 PV 2位 岐阜県北方町教育委員会の組み体操中止決定への経過について(追加)~町議会会議録からみる 2016-11-14 54 PV 3位 岐阜ふれあい会館から北方向を眺めながら、11月10日を振り返る ~来年度への思い 2016-11-12 45 PV 4位 算数教育では、算数教育「学」者の主張も小学校教員の素朴な主張も重みは同 程度 2016-11-05 45 PV 5位 トップページ 42 PV 6位 任期付き採用職員、特任講師 ~岐阜県独特の教員採用制度に一言 2014-07-08 38 PV 7位 閲覧数150万PVを達成! ~そしてMさんらは?
剰余の定理を利用する問題 それでは、剰余の定理を利用する問題に挑戦してみましょう。 3. 1 例題1 【解答】 \( P(x) \) が\( x+3 \) で割り切れるので、剰余の定理より \( P(-3)=0 \) すなわち \( 3a-b=0 \ \cdots ① \) \( P(x) \) が\( x-1 \) で割ると3余るので、剰余の定理より \( P(1)=3 \) すなわち \( a+b=-25 \ \cdots ② \) ①,②を連立して解くと \( \displaystyle \color{red}{ a = – \frac{45}{4}, \ b = – \frac{75}{4} \ \cdots 【答】} \) 3. 2 例題2 \( x^2 – 3x – 4 = (x-4)(x+1) \) なので、\( P(x) \) を \( (x-4)(x+1) \) で割ったときの余りを考えればよい。 また、 2 次式で割ったときの余りは1 次式以下になる ( これ重要なポイントです )。 よって、余りは \( \color{red}{ ax+b} \) とおける。 この2つの方針で考えていきます。 \( P(x) \) を \( x^2 – 3x – 4 \),すなわち\( (x-4)(x+1) \) で割ったときの商を \( Q(x) \),余りを \( ax+b \) とすると \( \color{red}{ P(x) = (x-4)(x+1) Q(x) + ax + b} \) 条件から、剰余の定理より \( P(4) = 10 \) すなわち \( 4a+b=10 \ \cdots ① \) また、条件から、剰余の定理より \( P(-1) = 5 \) すなわち \( -a+b=5 \ \cdots ② \) \( a=1, \ b=6 \) よって、求める余りは \( \color{red}{ x+6 \ \cdots 【答】} \) 今回の例題2ように、 剰余の定理の問題の基本は「まず割り算の等式をたてる」ことです 。 4. 【数学ⅡB】剰余の定理と恒等式【東海大・東京女子大・明治薬科大】 | 大学入試数学の考え方と解法. 剰余の定理まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 剰余の定理まとめ 整式 \( P(x) \) を1次式 \( (a- \alpha) \) で割ったときの余りは \( \color{red}{ P(\alpha)} \) ・剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができる。 ・剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理。 以上が剰余の定理についての解説です。 この記事があなたの勉強の手助けになることを願っています!
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★ 整式の割り算の余りの問題について扱います.入試でも頻出です. 剰余の定理の言及もします. 整式の割り算の余りの求め方 整式の割り算は過去の範囲で既習済みのはずですが,今回は割り算の余りに注目します. ポイント 整式 $P(x)$ を $D(x)$ で割るとき,商を $Q(x)$,余りを $R(x)$ とおいて $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ を立式する.普通 $Q(x)$ が正体不明だが,$D(x)=0$ となるような $x$ を代入して $R(x)$ の情報を得る. ※ 上の恒等式は (割られる数) $=$ (割る数) $\times$ (商) $+$ (余り) という構造です. ※ $P(x)$ は polynomial, $D(x)$ は divisor, $Q(x)$ は quotient, $R(x)$ は remainder が由来です. 上の構造式を毎回設定して解けばいいので,下に紹介する 剰余の定理は存在を知らなくても大きな問題にはなりません. 剰余の定理 剰余の定理(remainder theorem)とは,整式を1次式で割ったときの余りに関する定理です. Ⅰ 整式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割るとき,余りは $P(\alpha)$ である. Ⅱ 整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割るとき,余りは $P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ である. ※ Ⅱ は Ⅰ の一般化です. 証明 例題と練習問題 例題 (1) 整式 $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めよ. (2) 整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $7$,$x+9$ で割ると余りが $2$ である.$P(x)$ を $(x-1)(x+9)$ で割った余りを求めよ. 講義 剰余の定理をダイレクトでは使わず,知らなくてもいいように答案を書いてみます. (2)は頻出の問題で,$(x-1)(x+9)$ ( $2$ 次式)で割った余りは $1$ 次式となるので,求める余りを $\color{red}{ax+b}$ とおきます. 解答 (1) $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの商を $Q(x)$ 余りを $r$ とすると $x^{4}-3x^{2}+x+7=(x-2)Q(x)+r$ 両辺に $x=2$ を代入すると $5=r$ 余りは $\boldsymbol{5}$ ※ 実際に割り算を実行して求めてもいいですが計算が大変です.
剰余の定理(重要問題)①/ブリリアンス数学 - YouTube
【入試問題】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 −2x−1 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ. (京大2013年理系) (解説) 一般に n の値ごとに商と余りは異なるので,これらを Q n (x), a n x+b n とおく. 以下,数学的帰納法によって示す. (Ⅰ) n=1 のとき x 1 を整式 x 2 −2x−1 で割った余りは x だから a 1 =1, b 1 =0 これらは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない. (Ⅱ) n=k (k≧1) のとき, a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないと仮定すると x k =(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x+b k ( a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない)とおける 両辺に x を掛けると x k+1 =x(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x 2 +b k x この式を x 2 −2x−1 で割ったとき第1項は割り切れるから,余りは残りの項を割ったものになる. a k x 2 −2x−1) a k x 2 +b k x a k x 2 −2a k x−a k (2a k +b k)x+a k したがって a k+1 =2a k +b k b k+1 =a k このとき, a k, b k は整数であるから, a k+1, b k+1 も整数になる. もし, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数 p が存在すれば a k+1 =2a k +b k =A 1 p b k+1 =a k =B 1 p となり a k =B 1 p b k =A 1 p−2B 1 p=(A 1 −2B 1)p となって, a k, b k をともに割り切る素数は存在しないという仮定に反する. したがって, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数は存在しない. (Ⅰ)(Ⅱ)から,数学的帰納法により示された. 【類題4. 1】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 +2x+3 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり, a を3で割った余りは1になり, b は3で割り切れることを示せ.
65メートルにまで達したものの、2009年の自動車事故で爪を失ったという。 G. Gershoff Getty Images ▲リー・レッドモンドさん(2007年) アヤナさんのカットした爪は、オーランドの「 リプリーズ・ビリーブ・イット・オア・ノット! 」で展示される予定。今後は、爪を伸ばしたい人をサポートしていくそう。 This content is created and maintained by a third party, and imported onto this page to help users provide their email addresses. You may be able to find more information about this and similar content at
66年間、反抗期が続いていました。 インドのブネーに住む82歳のShridhar Chillalさん。彼は左手の爪を 66年間伸ばしっぱなし にし、世界で一番長い爪を持つ人間として知られていました。 ……が、このたび遂に その爪を切った ことでニュースになっています。 彼は Sky News に対し、「悪友と遊んでいたとき、誤って先生の爪を割ってしまったんだ」と話しました。そして先生から、「あなたが想像も出来ないくらい、長い爪を手入れするのは大変なのよ」と言われ、「そんなことはないだろう、オレが違うことを証明してやる」という 反抗心 から、14歳で爪を伸ばし始めたのがきっかけだと語りました。 もう先生が行きているか死んでいるかは知りませんが、私を叱ったことのがきっかけだと言いたいですね。私はあれを 挑戦 だと受け取ったんですよ。そして今、それが完了したんです 彼は結果として、「 世界最長の爪を持つ男 」として ギネス世界記録保持者 になりました。一番長い爪は 約197cm で、5本すべ てを繋げると 約9. 計7メートル！「世界で最も長い爪」の女性が28年ぶりに爪をカット（コスモポリタン） - Yahoo!ニュース. 08m になるのです。 ちょっとした反抗心は、その後の彼の暮らしを過酷にしていきました。 爪の重さ で左手が使用できない状態になるだけでなく、彼は就寝中、 30分毎に起きて 爪が割れないようゆっくりとベッドの反対側に寝返りさせる必要があったのです。 そして82歳でやっと、 限界 を感じ世界最長の爪を切る決心し、世界中の奇妙なものを扱う「 Ripley's Believe It or Not! 」博物館に連絡。切った爪は売るつもりもなく、想い出として家に持っておきたいと考えていたようですが……最終的には売却し、今では博物館に 展示 されるようになりました。 Image: Ripley's Believe It or Not! いくらで売れたのか数字は明かされませんが、老後を悠々自適に暮らすのには 充分すぎる金額 が支払われたとのこと。66年間の苦行と余生を遊べるお金……皆さんだったらどちらを選びますか? 究極の選択ですね。
「世界で最も長い指の爪」のギネス世界記録を保持していたアメリカ在住の女性が、28年間伸ばし続けた爪を短くカット。合計7メートル以上となった爪への想いや、カットすることへの決意について語った。 Anthony Harvey Getty Images テキサス州ヒューストンに住むアヤナ・ウィリアムスさんは、2017年に「世界で最も長い指の爪」でギネス世界記録に認定。当時の爪の長さは合計で576. 4 センチだったそう。 そこから今年4月まで伸ばし続けた爪の長さは、合計733. 世界一長い爪のギネス記録保持者がついに爪を切る！ 余生を遊んで暮らせるほどの額で博物館に売却 | ギズモード・ジャパン. 55 センチ。すべての爪にマニキュアを塗るにはボトル約3~4本を使い切り、塗り終わるまでに数日かかるという。 「この長さに疲れていたし、ちょうどいいタイミングだった」と28年ぶりに爪を切る決意をしたアヤナさんは、病院へ行き、電気カッターで爪を短くしてもらうことに。 This content is imported from Instagram. You may be able to find the same content in another format, or you may be able to find more information, at their web site. 最初は緊張した様子だったものの、カットし終わると「爪が短くなってホッとした」と心情を吐露。これでやっとお皿を洗ったり、シーツを交換したりといった日常的な動作ができるようになったのだとか。 「 ギネスワールドレコーズ 」の取材に応じたアヤナさんは、こうコメント。 「前回、自分の爪を測ったところ、最長のものは(1本で)約96センチでした。 爪を伸ばしていると、信じられないくらい色々な反応があります。大半は良い反応で、みんな興奮した様子でしたね。でも、実際には何を考え、何を言っていいのかわからないのです。爪がなくなったとしても、私はギネス記録保持者であり続けます」 子どもの頃からネイルアートが好きだったというアヤナさん。これまで大切にしてきた爪を切ったことについても、前向きに考えているそう。 「爪があるか、ないかに関わらず、私はまだクイーン。爪が私を作るのではなく、私が爪を作るんです」 「あなたの人生だから、やりたいと思ったことはやってみてほしい。肝心なのは、人が何と言おうと気にしないことです。あなたが良いことをしていようが、悪いことをしていようが、結局何かしらは言ってくるので。爪を伸ばしたければ伸ばせばいいと思います」 ちなみに女性で両手の爪の史上最長記録を持つのは、アメリカ出身のリー・レッドモンドさん。「 ギネスワールドレコーズ 」によると、その長さは約8.
最も舌の長い人 10. 1cm アメリカ出身のニック・ストーベールさんは、上唇の中心から舌の先端までの長さが10. 1cmあるとして、2012年にギネス認定されました。 実はもっと長い人も? (YouTube) 21歳のフロリダに住むハーカリー・ブレケットさんは、舌の長さが11. 3cmあり、現在ギネス記録を保有しているニックさんを1cmほど上回っています。その長さゆえ、彼女は自分の目や耳をなめたりすることもできると言います。 (↓自分の目まで届くほど長い舌) (New York Daily News) 現在、ギネス認定は受けていなので、正式に調査が入れば、今後記録が更新されるかもしれません。 6. 世界一長い爪、世界一高いデザート アメリカの多様すぎる世界記録. 史上最も背の低い人 54. 6cm (alizul2) チャンドラ・ダンギさんは歴史上最も背の低い成人としてギネス記録の認定を受けています。 彼は1939年、ネパールの小さな村に8人姉弟の7番目として産まれました。そのうち3人の兄弟が身長1. 2mほどで、チャンドラさんを除いた残り4人は、平均的な身長だったそうです。 チャンドラさんは、ギネス記録認定を受けた後、村を初めて出て、世界中を旅していましたが、2015年に、旅の途中のサモア諸島で亡くなっています。 7. 最も眼球が飛び出る人 12mm (worldrecordbook1) イスタンブール出身のキム・グッドマンさんは、眼窩(がんか、目のくぼみ)から目玉が12mm飛び出るとしてギネス記録の認定を受けました。 彼女の目玉が飛び出るようになったのは、ホッケーマスクが頭に強く当たってからでした。 それ以降、あくびをした時には目玉が飛び出しやすくなったといいます。 8. 最も大きな口を持つ人 幅17cm アフリカ・アンゴラ出身のフランシスコ・ジョアキムさんは、世界一幅広い口を持つ男性です。その幅は17cmで、一人サイズのホールケーキやビール缶、コーヒーカップなら口の中に詰め込むことが出来るほどです。 (↓口の中に空き缶を入れるジョアキムさん) (WoW Amazing) 9. 最も皮ふが伸びる人 伸長15. 8cm (factsram) イギリス出身のゲーリー・ターナーさんは、体のいたるところの皮ふが伸びるエーラス・ダンロス症候群という珍しい病気です。皮ふが弱く、症状として関節痛などをともなうことが多いとされています。世界的に見て、およそ5000人に1人がかかる病気とされており、現在のところ治療法はありません。 本人も皮ふを伸ばすこと自体は全く痛くないけれども、この病気が原因で起きる関節痛はかなり痛みがあると語っています。 10.