二項定理~○○の係数を求める問題を中心に~ | 数学の偏差値を上げて合格を目指す 数学が苦手な高校生(大学受験生)から数学検定1級を目指す人など,数学を含む試験に合格するための対策を公開 更新日: 2020年12月27日 公開日: 2017年7月4日 上野竜生です。二項定理を使う問題は山ほど登場します。なので理解しておきましょう。 二項定理とは です。 なお,\( \displaystyle {}_nC_k=\frac{n! }{k! (n-k)! } \)でn! =n(n-1)・・・3・2・1です。 二項定理の例題 例題1 :\((a+b)^n\)を展開したときの\(a^3b^{n-3}\)の係数はいくらか? これは単純ですね。二項定理より\( \displaystyle _{n}C_{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \)です。 例題2 :\( (2x-3y)^6 \)を展開したときの\(x^3y^3\)の係数はいくらか? 例題1と同様に考えます。a=2x, b=-3yとすると\(a^3b^3\)の係数は\( _{6}C_{3}=20 \)です。ただし, \(a^3b^3\)の係数ではなく\(x^3y^3\)の係数であることに注意 します。 \(20a^3b^3=20(2x)^3(-3y)^3=-4320x^3y^3\)なので 答えは-4320となります。 例題3 :\( \displaystyle \left(x^2+\frac{1}{x} \right)^7 \)を展開したときの\(x^2\)の係数はいくらか? \( \displaystyle (x^2)^3\left(\frac{1}{x}\right)^4=x^2 \)であることに注意しましょう。よって\( _{7}C_{3}=35\)です。\( _{7}C_{2}=21\)と勘違いしないようにしましょう。 とここまでは基本です。 例題4 : 11の77乗の下2ケタは何か? 11=10+1とし,\((10+1)^{77}\)を二項定理で展開します。このとき, \(10^{77}, 10^{76}, \cdots, 10^2\)は100の倍数で下2桁には関係ないので\(10^1\)以下を考えるだけでOKです。\(10^1\)の係数は77,定数項(\(10^0\))の係数は1なので 77×10+1=771 下2桁は71となります。 このタイプではある程度パターン化できます。まず下1桁は1で確定,下から2番目はn乗のnの一の位になります。 101のn乗や102のn乗など出題者側もいろいろパターンは変えられるので例題4のやり方をマスターしておきましょう。 多項定理 例題5 :\( (a+b+c)^8 \)を展開したときの\( a^3b^2c^3\)の係数はいくらか?
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 二項定理はアルファベットや変な記号がたくさん出てきてよくわかんない! というあなた。 確かに二項定理はぱっと見だと寄り付きにくいですが、それは公式を文字だけで覚えようとしているから。「意味」を考えれば、当たり前の式として理解し、覚えることができます。 この記事では、二項定理を証明し、意味を説明してから、実際の問題を解いてみます。さらに応用編として、二項定理の有名な公式を証明したあとに、大学受験レベルの問題の解き方も解説します。 二項定理は一度慣れてしまえば、パズルのようで面白い単元です。ぜひマスターしてください!
正解です ! 間違っています ! Q2 (6x 2 +1) n を展開したときのx 4 の係数はどれか? Q3 11の107乗の下3ケタは何か? Q4 (x+y+2) 10 を展開したときx 7 yの係数はいくらか Subscribe to see your results 二項定理係数計算クイズ%%total%% 問中%%score%% 問正解でした! 解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが 演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。 オススメの参考書を厳選しました <高校数学> 上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも… <大学数学> 上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大… さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。 上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた… この記事を書いている人 上野竜生 上野竜生です。文系科目が平均以下なのに現役で京都大学に合格。数学を中心としたブログを書いています。よろしくお願いします。 執筆記事一覧 投稿ナビゲーション
他にも,つぎのように組合せ的に理解することもできます. 二項定理の応用 二項定理は非常に汎用性が高く実に様々な分野で応用されます.数学の別の定理を証明するために使われたり,数学の問題を解くために利用することもできます. 剰余 累乗数のあまりを求める問題に応用できる場合があります. 例題 $31^{30}$ を $900$ で割ったあまりを求めよ. $$31^{30}=(30+1)^{30}={}_{30} \mathrm{C} _0 30^0+\underline{{}_{30} \mathrm{C} _{1} 30^1+ {}_{30} \mathrm{C} _{2} 30^2+\cdots +{}_{30} \mathrm{C} _{30} 30^{30}}$$ 下線部の各項はすべて $900$ の倍数です.したがって,$31^{30}$ を $900$ で割ったあまりは,${}_{30} \mathrm{C} _0 30^0=1$ となります. 不等式 不等式の証明に利用できる場合があります. 例題 $n$ を自然数とするとき,$3^n >n^2$ を示せ. $n=1$ のとき,$3>1$ なので,成り立ちます. $n\ge 2$ とします.このとき, $$3^n=(1+2)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k 2^k > {}_n \mathrm{C} _2 2^2=2(n^2-n) \ge n^2$$ よって,自然数 $n$ に対して,$3^n >n^2$ が成り立ちます. 示すべき不等式の左辺と右辺は $n$ の指数関数と $n$ の多項式で,比較しにくい形になっています.そこで,二項定理を用いて,$n$ の指数関数を $n$ の多項式で表すことによって,多項式同士の評価に持ち込んでいるのです. その他 サイト内でもよく二項定理を用いているので,ぜひ参考にしてみてください. ・ →フェルマーの小定理の証明 ・ →包除原理の意味と証明 ・ →整数係数多項式の一般論
二項定理の応用です。これもパターンで覚えておきましょう。ずばり $$ \frac{8! }{3! 2! 3! }=560 $$ イメージとしては1~8までを並べ替えたあと,1~3はaに,4~5はbに,6~8はcに置き換えます。全部で8! 通りありますが,1~3が全部aに変わってるので「1, 2, 3」「1, 3, 2」,「2, 1, 3」, 「2, 3, 1」,「3, 1, 2」,「3, 2, 1」の6通り分すべて重複して数えています。なので3! で割ります。同様にbも2つ重複,cも3つ重複なので全部割ります。 なのですがこの説明が少し理解しにくい人もいるかもしれません。とにかくこのタイプはそれぞれの指数部分の階乗で割っていく,と覚えておけばそれで問題ないです。 では最後にここまでの応用問題を出してみます。 例題6 :\( \displaystyle \left(x^2-x+\frac{3}{x}\right)^7\)を展開したときの\(x^9\)の係数はいくらか?
6倍です。爪切りで出血させないためにしっかり見ましょう。 ちなみに安物も買ってみましたが歪んで見えたりして頭が痛くなってしまいました。さすがハズキルーペはそんなことはありませんでした。 インコの事をまとめたページへ インコと暮らす カメインコの事をまとめたページへ オカメインコとの暮らしは楽しい?もちろん楽しいよ。 投稿ナビゲーション
キエリクロボタンインコの特徴は次のようなものがあります。 真っ黒な頭部に真っ赤なクチバシ 首から胸元にかけて鮮やかな黄色 羽と背部はグリーンだが羽先は黒~灰色 ボタンインコのなかではやや慣らしにくさはあるようですが、難しいことではありません。 環境の変化に適応しやすいといわれており、ヒナからの育成もハードルは低いといわれています。 ボタンインコ・バイオレット バイオレットボタンインコもやや珍しい種類です。 バイオレッドボタンインコの特徴は次のようなものがあります。 真っ黒な頭部 肌色に近いクチバシ 首回りから胸部は白色 羽~背部・尾羽は鮮やかなバイオレット色 羽先は黒色 コラム:ボタンインコは元気いっぱい 以前ボタンインコを飼育していたのですが、個体差なのかなかなかの元気ものでした(笑) 紙コップやプラスチックコップなんかにおもちゃをいれてトレーニングしてたら、急にコップをひっくり返して投げ飛ばしたり… それはそれでかわいいんですけどね( *´艸`) 小さな体格だからこそ、より可愛らしく見えたりするんですよね。 いろんな色合いのあるボタンインコですが、私は知人から譲り受けました。 自分の好みの個体を探すのも良いですが、譲り受けるような個体がいればそれはそれでかなり思い入れがあり、よりかわいかったりしますよ(^^♪
インコの爪切りはどのくらいの頻度でやる必要があるのでしょうか。 我が家では数ヶ月前からセキセイインコを飼い始めたのですが、最近になりインコが足の爪を気にしてかじるようになったので、そろそろ爪切りするべきかと考えて、爪切りについて調べたり医者に行って学んできました。 今回は、インコの爪切りの頻度やコツ、暴れる場合の対処についてお話しします。 インコの爪切りの頻度は? インコは一羽一羽爪が伸びやすいかどうか異なるので、爪切りが必要かという問題も変わってきます。 多くの小鳥の飼育本には爪の手入れの必要性が書かれていることが多いのですが、 インコによっては爪が伸びにくい、インコ自身が手入れ出来るからしなくても良いというようなケースもあります。 ですから、本に書いてあるからといって絶対に必要とは言えないのですよね。 インコの爪が伸びた場合にインコ自身が手入れ出来れば良いのですが、手入れ出来ないと、普段ならなんともない箇所で引っかかって怪我に繋がる可能性があります。これを防ぐためにも爪切りが必要となるのです。 でも、いきなり自分で爪切りするのは難しいので、不安な場合は購入したペットショップや動物病院に連れて行って爪切りしてもらい、やり方を教わったり見て覚える方が良いです。 今回、我が家では動物病院に連れて行って爪切りしてもらったのですが、半年から1年程度の間隔で充分ではないかと言われました。 インコの爪切りのコツは?
わが家のセキセイインコ(白ハルクイン)はお喋りも上手で人懐っこくて、当然のように家族の一員でした。 セキセイインコの 肝臓疾患 ( 肝臓肥大 ・ 脂肪肝 )はとても多い病気です。 実家で昔からインコ生活をしていましたが、初めてのことなので知識不足だったことと、動物病院の敷居が高かった為、かなり症状が進行してしまってからの受診となりました。 もし今、肝臓の病気かも…と心配しておられるようでしたら、 ぜひすぐに病院に連れて行ってあげてください ね。 小さな鳥さんを診察できる動物病院は限られているため、どうしても受診できないという方は、以下に 専門の獣医さんに指導してもらったことを書いていますのでぜひ試してみてください ね。 可愛い鳥さんが元気になってもらうためのお役に立てたら嬉しいです。 動物病院に連れて行くまで 1年ほど前からお腹の膨らみが気になっていたんだけど、いろいろと調べつつ経過観察をしていました。 この時点で動物病院に連れて行かなかったのは、 とても元気にしていた 病院で診察することで小さな鳥さんにはストレスがかかる 近所にセキセイインコの専門病院がなかった などの理由があります。 やがて嘴(くちばし)に黒いシミのようなものができました。 よく見ると爪にもできていました。 肝臓疾患 ? とその時に心配して、過発情やエサに気をつけるようになりました。 …でも、 …黒いシミが消えてホッとしていたのですが、くちばしがどんどん伸びてきて胸に刺さるんじゃないかと思うほどになってしまいました。 エサは食べることができていたし、元気に遊んでいたのですが、さすがにこれは可哀そう… 獣医さんにくちばしを切ってもらう前に病院にて撮影。 嘴には血管が通っているし、素人が切ると変に割れてしまうこともあるようなので、これが動物病院に行くきっかけとなりました。 お腹の膨らみも大きくなってきているし、黒いシミが嘴や爪にできたり、くちばしが伸びてくるのは『 肝臓疾患 、 肝臓肥大 、 脂肪肝 』という記事をたくさん読んだので覚悟をしていました。 セキセイインコが肝臓疾患になる原因は? とても丁寧なお医者さんで、30分くらいかけて診察、ゲージの中を見ていろいろなアドバイス、栄養指導、そして嘴(くちばし)を切ってくれました。 くちばしスッキリ♪ 良かったね(*´▽`*) 腹部の膨らみ の原因を調べるにはレントゲンを撮る必要があるとのこと。 今回は初診だし、くちばし切りでストレスもかかっているので詳しい検査はまた次回に。 セキセイインコの肝臓疾患の原因 鳥さんの肝臓の病気はとても多いそうです。 人間と同じで 生活習慣病 が主な原因です。 夫が帰宅する時間まで起きていたりするので、23時に放鳥していることもありました。反省… 夜更かしをして好きなだけ遊んで、美味しいエサをたっぷり与えられ、冬はヒーターをつけるなど年中快適な環境で生活していたわが家の白ハルクイン… おかげさまで年中、 ベりーベリーハッピー!!!
【目次】ハリーポッターにも登場!シロフクロウの生態や飼い方 シロフクロウとは? シロフクロウの大きさ、体重 シロフクロウの寿命 シロフクロウの生態 シロフクロウの生息地 シロフクロウのめずらしい昼行性 シロフクロウの繁殖 オスとメスの区別 シロフクロウの食事・狩り シロフクロウの性格 シロフクロウの飼い方 シロフクロウを購入できる場所 シロフクロウの価格 シロフクロウの餌 ケージ 温度管理 皮手袋とトレーニング 爪とくちばしの手入れ 水浴び シロフクロウを飼う際の注意点 動物病院を探しておく 広い飼育スペースが必要 ロストに注意 トイレは覚えない 笑顔が可愛いシロフクロウ シロフクロウを飼ってみたいと思ったら シロフクロウ(白泉:学名:Bubo scandiacus)は、フクロウ目、フクロウ科に分類される 鳥類 です。 1758年に、自然学者のカロルス・リンネにより正式に報告された、古い歴史を持つ生き物です。 ワシミミズク属に分類される場合と、シロフクロウ属という孤立した属で扱うことがあり、シロフクロウ属で扱う場合の学名はNyctea scandiacusです。 シロフクロウの名前の通り、真っ白な体が最大の特徴です。 シロフクロウはフクロウの中でも大型に分類されます。 大きさは全長50㎝~65㎝、翼を広げると140㎝~160㎝と、大人の女性ほどもあります。 体重は1. 6㎏~2. 0㎏前後と、腕に載せるとなかなかの存在感があります。 シロフクロウの寿命は20年程です。 飼育下では25年程生きる個体もおり、 フクロウ の中でも大型なシロフクロウは長寿の持ち主です。 日本では、ときおり東北地方から北海道でシロフクロウの観測が報告されています。 普段は北極周辺のツンドラ地帯と呼ばれる、コケや地衣類などの開けた、あまり木の生えていない地域に生息しています。 シロフクロウは渡り鳥で、春から夏にかけての繁殖期には北極圏にまで北上し、その後は北アメリカやヨーロッパ、ロシアなどまで南下します。 フクロウと言えば夜中に「ホーホー」という鳴き声と共に活動しているイメージがありますよね。 しかし、シロフクロウは、フクロウのなかでは珍しく日中に活動します。 これは、北極圏では夏場、一日中日が沈まない白夜のもとで生活をしているため、日中に活動するよう進化したと考えられています。 毎年5月~9月にかけて、北の地域に移動し繁殖を行います。 ペアが誕生すると、オスは1.
インコを飼ったら爪切りをしなきゃいけないの? インコを飼いたい!飼ったことがないけれど、飼ってみたい!もしくは、飼い始めたばっかりだ!