以上,解答の過程に着目して欲しいのですが「\(\sum ar^{n-1}\)の公式」など必要ありませんし,覚えていても上ような形に添わないため使い物にすらなりません. 一般に,教科書が「公式」だと言っているから必ず覚えてなくてはならない,という訳では決してありません.教科書で「覚えろ」と言わんばかりの記述であっても,それが本当に覚える価値のある式なのか,それとも導出過程さえ押さえればいい式なのか,自分の頭で考え,疑う癖をつけることは数学を学ぶ上では非常に大事です. 問題 \(\displaystyle \sum^n_{k=1}(ak+b)\)を計算せよ.ただし\(a, b\)は定数. これを計算せよと言われたら次のように計算すると思います. \displaystyle \sum^n_{k=1}(ak+b)&=a\sum^n_{k=1}k+\sum^n_{k=1}b&\Sigma\text{の分配法則}\\ &=a\frac{1}{2}n(n+1)+bn&\Sigma\text{の公式}\\ &=\frac{a}{2}n^2+\frac{a}{2}n+bn&\text{計算して}\\ &=\frac{a}{2}n^2+(\frac{a}{2}+b)n&\text{整理} しかし,これは次のように計算するのが実戦的です. \displaystyle \sum^n_{k=1}(ak+b)&=\frac{n\left\{(a+b)+(an+b)\right\}}{2}\\ &=\frac{n(an+a+2b)}{2} このように一行で済みます.これはどう考えたのかというと・・・ まず, \(\Sigma\)の後ろが\(k\)についての1次式\(ak+b\)である ことから,聞かれているものが「 等差数列の和 」であることが見て取れます(ここを見抜くのがポイント).ですからあとは等差数列の和の公式を使えばいいだけです.等差数列の和の公式で必要な要素は項数,初項,末項でしたが,これらは暗算ですぐに調べられます: 項数は? 今,\(\sum^n_{k=1}\),つまり\(1\)番から\(n\)番までの和,ですから項数は\(n\)個です. 数学B 確率分布と統計的な推測 §6 母集団と標本 高校生 数学のノート - Clear. 初項は? \(ak+b\)の\(k\)に\(k=1\)と代入すればいいでしょう.\(a\cdot 1+b=a+b\). 末項は? \(ak+b\)の\(k\)に\(k=n\)と代入すればいいでしょう.\(a\cdot n+b=an+b\).
ここに数列\((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとします.
公開日時 2020年10月04日 10時39分 更新日時 2021年07月26日 10時31分 このノートについて ナリサ♪ 高校2年生 数研出版 数学B 空間のベクトル のまとめノートです。 練習問題も解いてますのでぜひご活用下さい✌️ このノートが参考になったら、著者をフォローをしませんか?気軽に新しいノートをチェックすることができます! コメント コメントはまだありません。 このノートに関連する質問
さて,ここまでで見た式\((1), (2), (3)\)の中で覚えるべき式はどれでしょうか.一般的(教科書的)には,最終的な結果である\((3)\)だけでしょう.これを「公式」として覚えておいて,あとはこれを機械的に使うという人がほとんどかと思います.例えば,こういう問題 次の数列\((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\)の一般項を求めよ.\[1, ~3, ~7, ~13, ~21, ~\cdots\] 「あ, 階差数列は\(b_n=2n\)だ!→公式! 」と考え\[a_n = \displaystyle 1 + \sum_{k=1}^{n-1}2k \quad (n \geq 2)\]とすることと思います.他にも, 次の条件で表される数列\((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\)の一般項を求めよ.\[a_1=1, ~a_{n+1}-a_{n}=4^n\] など.これもやはり「あ, 階差数列だ!→公式! 」と考え, \[a_n=1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 4^k \quad (n \geq 2)\]と計算することと思います.では,次はどうでしょう.大学入試問題です. ヤフオク! - 改訂版 教科書傍用 4STEP 数学Ⅱ＋B 〔ベクトル .... 次の条件で表される数列\((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\)の一般項を求めよ. \[a_1=2, ~(n-1)a_n=na_{n-1}+1 \quad (n=2, 3, \cdots)\] まずは両辺を\(n(n-1)\)で割って, \[\frac{a_n}{n}=\frac{a_{n-1}}{n-1}+\frac{1}{n(n-1)}\]移項して,\(\frac{a_n}{n}=b_n\)とおくことで「階差」タイプに帰着します: \[b_n-b_{n-1}=\frac{1}{n(n-1)}\]ここで,\((3)\)の結果だけを機械的に覚えていると,「あ, 階差数列だ!→公式! 」からの \[b_n=b_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k-1)} \quad (n \geq 2)\quad \text{※誤答}\] という式になります.で,あれ?\(k=1\)で分母が\(0\)になるぞ?教科書ではうまくいったはずだが??まあその辺はゴニョゴニョ…. 一般に,教科書で扱う例題・練習題のほとんどは親切(?
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