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余弦定理の理解を深める | 数学:細かすぎる証明・計算 更新日: 2021年7月21日 公開日: 2021年7月19日 余弦定理とは $\bigtriangleup ABC$ において、$a = BC$, $b = CA$, $c = AB$, $\alpha = \angle CAB$, $ \beta = \angle ABC$, $ \gamma = \angle BCA$ としたとき $a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \alpha$ $b^2 = c^2 + a^2 − 2ca \cos \beta$ $c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos \gamma$ が成り立つ。これらの式が成り立つという命題を余弦定理、あるいは第二余弦定理という。 ウィキペディアの執筆者,2021,「余弦定理」『ウィキペディア日本語版』,(2021年7月18日取得, ). 直角三角形であれば2辺が分かれば最後の辺の長さが三平方の定理を使って計算することができます。 では、上図の\bigtriangleup ABC$のように90度が存在しない三角形の場合はどうでしょう? 実はこの場合でも、 余弦定理 より、2辺とその間の$\cos$の値が分かれば、もう一辺の長さを計算することができるんです。 なぜ、「2辺の長さ」と「その間の$\cos$の値」を使った式で、最後の辺の長さを表せるのでしょうか?
^2 = L_1\! ^2 + (\sqrt{x^2+y^2})^2-2L_1\sqrt{x^2+y^2}\cos\beta \\ 変形すると\\ \cos\beta= \frac{L_1\! ^2 -L_2\! ^2 + (x^2+y^2)}{2L_1\sqrt{x^2+y^2}}\\ \beta= \arccos(\frac{L_1\! ^2 -L_2\! ^2 + (x^2+y^2)}{2L_1\sqrt{x^2+y^2}})\\ また、\tan\gamma=\frac{y}{x}\, より\\ \gamma=\arctan(\frac{y}{x})\\\ 図より\, \theta_1 = \gamma-\beta\, なので\\ \theta_1 = \arctan(\frac{y}{x}) - \arccos(\frac{L_1\! ^2 -L_2\! ^2 + (x^2+y^2)}{2L_1\sqrt{x^2+y^2}})\\ これで\, \theta_1\, が決まりました。\\ ステップ5: 余弦定理でθ2を求める 余弦定理 a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos A に上図のαを当てはめると\\ (\sqrt{x^2+y^2})^2 = L_1\! ^2 + L_2\! 余弦定理と正弦定理 違い. ^2 -2L_1L_2\cos\alpha \\ \cos\alpha= \frac{L_1\! ^2 + L_2\! ^2 - (x^2+y^2)}{2L_1L_2}\\ \alpha= \arccos(\frac{L_1\! ^2 + L_2\! ^2 - (x^2+y^2)}{2L_1L_2})\\ 図より\, \theta_2 = \pi-\alpha\, なので\\ \theta_2 = \pi- \arccos(\frac{L_1\! ^2 + L_2\! ^2 - (x^2+y^2)}{2L_1L_2})\\ これで\, \theta_2\, も決まりました。\\ ステップ6: 結論を並べる これがθ_1、θ_2を(x, y)から求める場合の計算式になります。 \\ 合成公式と比べて 計算式が圧倒的にシンプルになりました。 θ1は合成公式で導いた場合と同じ式になりましたが、θ2はarccosのみを使うため、角度により条件分けが必要なarctanを使う場合よりもプログラムが少しラクになります。 次回 他にも始点と終点それぞれにアームの長さを半径とする円を描いてその交点と始点、終点を結ぶ方法などもありそうです。 次回はこれをProcessing3上でシミュレーションできるプログラムを紹介しようと思います。 へんなところがあったらご指摘ください。 Why not register and get more from Qiita?
ジル みなさんおはこんばんにちは。 Apex全然上手くならなくてぴえんなジルでございます! 今回は三角比において 大変重要で便利な定理 を紹介します! 『正弦定理』、『余弦定理』 になります。 正弦定理 まずはこちら正弦定理になります。 次のような円において、その半径をRとすると $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 下に証明を書いておきます。 定理を覚えれば問題ありませんが、なぜ正弦定理が成り立つのか気になる方はご覧ください! 余弦定理 次はこちら余弦定理です。 において $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ が成立します。 こちらも下に証明を載せておくので興味のある方はぜひご覧ください!