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Fri, 23 Aug 2024 06:08:01 +0000
$1$分の$\phi - 1$って? 分母が$1$なんて無意味じゃん」 僕 「ともかく、式を読もう。この式は成り立つよね?」 \dfrac{1}{\phi} = \dfrac{\phi - 1}{1} ユーリ 「成り立つけど、そーする意味がわかんないの!」 僕 「分数の形で書いてみると、《比の値》に見えてくる。つまり、 ってことは、 1:\phi = (\phi - 1):1 が成り立つってこと」 ユーリ 「はあ。そんで?」 僕 「ついさっき、出てきたよね。$1:\phi$という比の話題が」 ユーリ 「$1:\phi$って……黄金長方形だ!」 黄金長方形(二辺は$1$と$\phi$) 僕 「そうだね。$1:\phi$に出てきた$1$と$\phi$が、黄金長方形の二辺に見えてきた。では、$(\phi-1):1$に出てきた$\phi-1$と$1$は、どんな長方形を作るかな?」 ユーリ 「待って待って。ユーリ、わかる! $\phi-1$って$\phi$から$1$を引くから、横から縦を引いた分だよね? 数学 自由研究 黄金比. だから、これ! こんな長方形!」 二辺が$\phi-1$と$1$になる長方形 僕 「そうだね。黄金長方形の《短い辺》が一辺となる正方形を切り取った残りの長方形になる」 ユーリ 「……てことは、ねー、お兄ちゃん、お兄ちゃん! もしかして、その長方形も《黄金長方形》じゃないの?」 僕 「その通り! 僕たちが導いた、$$ は、そのことを主張しているね。残りの長方形の二辺の比は$1:\phi$に等しいわけだから。 大きな黄金長方形の《短い辺》が、小さな黄金長方形の《長い辺》になる。 正方形を切り取るごとに、黄金長方形が生まれるんだね!」 黄金長方形の性質 黄金長方形の《短い辺》を一辺とする正方形を、黄金長方形から切り取ると、残った長方形もまた、黄金長方形になる。 ユーリ 「なにそれすごいじゃん! おもしろいにゃあ……」 僕 「おもしろいよね。正方形を切り取った残りもまた黄金長方形になる。つまり、全体の長方形と残りの長方形は、 相似 になるということ。 これは黄金比の《美しい》性質だと思うよ。 黄金長方形が見た目に美しいかどうかはさておいて、 黄金比はこういう《その値でなければ得られない性質》を持っているよね。 僕はその《ゆるぎない》ところが美しいと思うんだけどな……その値でしか、その性質は持ち得ない」 ユーリ 「はっ、もしかして!

数学の自由研究のテーマを選ぶための5つの切り口!! | 気になるマメ知識。

そんなの、数学的に決められるわけないじゃん」 僕 「まあまあ。たとえば、縦が$1$で横が$\phi$(ファイ)の長方形だね。この比率の長方形を 黄金長方形 と呼ぶ人もいる」 黄金長方形 ユーリ 「うーん……《もっとも美しい》って決めつけられるの、やだ。《美しさ》って一つじゃないよ?」 僕 「僕もよく知らないけれど、多くの人が美しいと感じるってことかも」 ユーリ 「えー、《美しさ》って、多数決で決まるもんなの?」 僕 「わかったわかった。数学の話をしようよ。少なくとも、黄金比にはきれいな関係式が成り立つのはわかるよ。 黄金比$\phi$は二次方程式、 $$ x^2 - x - 1 = 0 の解の一つだったから、$x$に$\phi$をあてはめた式、 \phi^2 - \phi - 1 = 0 が成り立つことがわかる」 ユーリ 「これがきれいな関係式なの?」 僕 「うん。この式から、黄金比のいろんな性質がわかるんだよ。たとえば……」 ユーリ 「あー、ちょっと待って待って」 僕 「がく。どうした?」 ユーリ 「そんなにさっさか話を進めないでよー。黄金比$\phi$って、 \phi = \dfrac{1+\SQRT5}{2} = 1. 6180\cdots なわけじゃん? 具体的にわかってるのに、なんでわざわざ二次方程式に話を戻すの? 数学の自由研究のテーマを選ぶための5つの切り口!! | 気になるマメ知識。. せっかく、 解の公式で答えが出たのに、なんで話を戻すかなー」 僕 「なるほど。なかなか鋭い意見だな、ユーリ。僕たちはいま、黄金比が持っている性質を研究したいわけだよね」 ユーリ 「そだね。《黄金比の研究》かっこいー! シャーロック・ホームズみたい!」 僕 「ホームズは《黄金比の研究》じゃなくて《緋色の研究》だよ」 ユーリ 「マジレス、かっこわりー!」 僕 「ともかく。黄金比$\phi$の値は$\frac{1+\SQRT5}{2}$だとわかったし、 小数で表すなら$1. 6180\cdots$になる。 これはもちろんまちがいじゃないし、およその大きさも具体的にわかった。 でもね、十進法を使っているから$1. 6180\cdots$という数字列で黄金比は表せるけど、 僕たちは、何進法とは関係がない、もっと本質的な性質を調べたいわけだよね」 ユーリ 「ほほー。そーいえば、バビロニアで$\SQRT2$を六十進法で書いてたね( 第184回 バビロニアの数学(後編) 参照)」 僕 「そうだったね。だから、黄金比を研究するのに、$1.

公開日時 2019年08月31日 18時13分 更新日時 2021年06月08日 17時03分 このノートについて ナリマ 美しさと数学って関係あるの!? この話がすごく好きで、思わずまとめました。 最後の考察は甘めなので、ぜひ意見をお持ちの方は気にせず投稿していただけると幸いです!! このノートが参考になったら、著者をフォローをしませんか?気軽に新しいノートをチェックすることができます! コメント コメントはまだありません。 このノートに関連する質問

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