$\eqref{kosishuwarutunohutousikisaisyouti2}$の等号が成り立つのは x:y:z=1:2:3 のときである. $x = k,y = 2k,z = 3k$ とおき, $ x^2 + y^2 + z^2 = 1$ に代入すると $\blacktriangleleft$ 比例式 の知識を使った. &k^2+(2k)^2+(3k)^2=1\\ \Leftrightarrow~&k=\pm\dfrac{\sqrt{14}}{14} このとき,等号が成り立つ. 以上より,最大値 $f\left(\dfrac{\sqrt{14}}{14}, ~\dfrac{2\sqrt{14}}{14}, ~\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\right)$ $=\boldsymbol{\sqrt{14}}$ , 最小値 $f\left(-\dfrac{\sqrt{14}}{14}, ~-\dfrac{2\sqrt{14}}{14}, ~-\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\right)$ $=\boldsymbol{-\sqrt{14}}$ となる. 画期的！コーシー・シュワルツの不等式の証明［今週の定理・公式No.18］ - YouTube. 吹き出しコーシー・シュワルツの不等式とは何か コーシー・シュワルツの不等式 は\FTEXT 数学Bで学習する ベクトルの内積 の知識を用いて \left(\vec{m}\cdot\vec{n}\right)^2\leqq|\vec{m}|^2|\vec{n}|^2 と表すことができる. もし,ベクトルを学習済みであったら,$\vec{m}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix},\vec{n}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$を上の式に代入して確認してみよう.
コーシー=シュワルツの不等式 定理《コーシー=シュワルツの不等式》 正の整数 $n, $ 実数 $a_1, $ $\cdots, $ $a_n, $ $b_1, $ $\cdots, $ $b_n$ に対して, \[ (a_1b_1\! +\! \cdots\! +\! a_nb_n)^2 \leqq (a_1{}^2\! +\! \cdots\! +\! a_n{}^2)(b_1{}^2\! +\! \cdots\! +\! コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ. b_n{}^2)\] が成り立つ. 等号成立は $a_1:\cdots:a_n = b_1:\cdots:b_n$ である場合に限る. 証明 数学 I: $2$ 次関数 問題《$n$ 変数のコーシー=シュワルツの不等式》 $n$ を $2$ 以上の整数, $a_1, $ $\cdots, $ $a_n, $ $b_1, $ $\cdots, $ $b_n$ を実数とする. すべての実数 $x$ に対して $x$ の $2$ 次不等式 \[ (a_1x-b_1)^2+\cdots +(a_nx-b_n)^2 \geqq 0\] が成り立つことから, 不等式 が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ. 解答例 数学 III: 積分法 問題《定積分に関するシュワルツの不等式》 $a \leqq x \leqq b$ で定義された連続関数 $f(x), $ $g(x)$ について, $\{tf(x)+g(x)\} ^2$ ($t$: 任意の実数)の定積分を考えることにより, \[\left\{\int_a^bf(x)g(x)dx\right\} ^2 \leqq \int_a^bf(x)^2dx\int_a^bg(x)^2dx\] 解答例
2016/4/15
2019/8/15
高校範囲を超える定理など, 定義・定理・公式など
この記事の所要時間: 約 5 分 12 秒
コーシー・シュワルツの不等式とラグランジュの恒等式
以前の記事「 コーシー・シュワルツの不等式 」の続きとして, 前回書かなかった別の証明方法を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式は次のような不等式です. ・\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2\)
等号は\(a:x=b:y\)のときのみ
・\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2\)
等号は\(a:x=b:y=c:z\)のときのみ
・\((a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geqq(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\)
等号は\(a_1:x_1=a_2:x_2=\cdots=a_n:x_n\)のときのみ
但し, \(a, b, c, x, y, z, a_1, \cdots, a_n, x_1, \cdots, x_n\)は実数. 利用する例などは 前回の記事 を参照してください. 証明. 1. ラグランジュの恒等式の利用
ラグランジュの恒等式
\[\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)=\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k \right)^2+\sum_{1\leqq k ということがわかりました。
以前,式を考えるときに,
『この式は$\bm{{}_n\text{C}_2=\frac{n(n-1)}2}$個の成立が必要だ。でも,$\bm{\frac{a_1}{x_1}=\frac{a_2}{x_2}=\cdots=\frac{a_n}{x_n}\cdots\bigstar}$は$\bm{n-1}$個の式だから,もっとまとめる必要があるのかな?』
と思っていたのが間違いでした。$x_1$〜$x_n$の途中に$0$があれば,式$\bigstar$は分断されるので,関係を維持するために多くの式が必要になるからです。
この考え方により,例題の等号成立条件も
$$x^2y=xy^2$$ と考えるようになりました。 /\overrightarrow{n} \) となります。
したがって\( a:b=x:y\) です。
コーシ―シュワルツの不等式は内積の不等式と実質同じです。
2次方程式の判別式による証明
ややテクニカルですが、すばらしい証明方法です。
私は感動しました! \( t\)を実数とすると,次の式が成り立ちます。この式は強引に作ります! (at-x)^2+(bt-y)^2≧0 \cdots ②
この式の左辺を展開して,\( t \) について整理すると
&(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t\\
& +(x^2+y^2) ≧0
左辺を\( t \) についての2次式と見ると,判別式\( D \) は\( D ≦ 0 \) でなければなりません。
したがって
&\frac{D}{4}=\\
&(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≦0
これより
が成り立ちます。すごいですよね! 等号成立は②の左辺が0になるときなので
(at-x)^2=(bt-y)^2=0
x=at, \; y=bt
つまり,\( a:b=x:y\)で等号が成立します。
この方法は非常にすぐれていて,一般的なコーシー・シュワルツの不等式
{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)}\geq{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2} \]
の証明にも威力を発揮します。ぜひ一度試してみてほしいと思います。
「数学ってすばらしい」と思える瞬間です! イメージですが、次のようにすると\(x\) と\( y \) を消去することができますよね。
x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y}&=1+4\\
&=5
この左辺
x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y}
の形はコーシ―シュワルツの不等式の右辺と同じ形です。
このことから「コーシーシュワルツの不等式を利用してみよう」と考えるわけです。
コーシ―シュワルツの不等式の左辺は2乗の形ですので、実際には、次のように調整します。
コーシーシュワルツの不等式より
\{ (\sqrt{x})^2+(2\sqrt{y})^2\}
\{ (\frac{1}{\sqrt{x}})^2+(\frac{1}{\sqrt{y}})^2 \} \\
≧
\left(\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{y}\cdot \frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2
整理すると
\[ (x+4y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)≧3^2 \]
\( x+4y=1\)より
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}≧9 \]
これより、最小値は9となります。
使い方がやや強引ですが、最初の式できてしまえばあとは簡単です! 続いて等号の成立条件を調べます。
\[ \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} =\frac{\frac{1}{\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}} \]
\[ ⇔\frac{1}{x}=\frac{1}{2y} \]
\[ ⇔ x=2y \]
したがって\( x+4y=1\)より
\[ x=\frac{1}{3}, \; y=\frac{1}{6} \]
で等号が成立します。
レベル3
【1995年 東大理系】
すべての正の実数\(x, \; y\) に対し
\[ \sqrt{x}+\sqrt{y}≦k\sqrt{2x+y} \]
が成り立つような,実数\( k\)の最小値を求めよ。
この問題をまともに解く場合、両辺を\( \sqrt{x} \) でわり,\( \displaystyle{\sqrt{\frac{y}{x}}}=t\)
とおいて\( t\) の2次不等式の形に持ち込みますが、やや面倒です。
それでは、どのようにしてコーシ―シュワルツの不等式を活用したらよいのでしょうか? 0インチタッチパネル 外付けマイク 日本語取扱説明書 カメラポーチアマゾンジャパン合同会社25, 999円【48本入】トロピカーナ 100% オレンジ 330ml PET 送料無料 KIRIN Tropicana フルーツジュース セット ペットボトル 飲み物 栄養補給 キリンビバレッジ 【D】楽天市場5, 481円 楽天市場で詳細を見る Amazon(アマゾン)で詳細を見る ウェルチ 100%果汁ギフト 記念品【送料無料】御歳暮 お歳暮 バレンタイン お年賀 ギフトセット☆食品 ジュース 飲み物 詰め合わせ 出産内祝い 結婚内祝い 出産祝い 結婚祝い 引き出物 お祝い お返し 香典返し 快気祝い お祝い返し メッセージカード楽天市場3, 240円 楽天市場で詳細を見る Amazon(アマゾン)で詳細を見る NEW! 2021-02-20 09:40:24 テーマ: ブログ 0インチタッチパネル 予備バッテリー付属 日本語システムAmazon(アマゾン)25, 999円 Amazon(アマゾン)で詳細を見る 楽天市場で詳細を見る 【48本入】トロピカーナ 100% オレンジ 330ml PET 送料無料 KIRIN Tropicana フルーツジュース セット ペットボトル 飲み物 栄養補給 キリンビバレッジ 【D】楽天市場5, 481円 楽天市場で詳細を見る Amazon(アマゾン)で詳細を見る ウェルチ 100%果汁ギフト 記念品【送料無料】御歳暮 お歳暮 バレンタイン お年賀 ギフトセット☆食品 ジュース 飲み物 詰め合わせ 出産内祝い 結婚内祝い 出産祝い 結婚祝い 引き出物 お祝い お返し 香典返し 快気祝い お祝い返し メッセージカード楽天市場3, 240円 楽天市場で詳細を見る Amazon(アマゾン)で詳細を見る NEW! 2021-02-11 08:23:03 テーマ: ブログ 📷 先端技術情報20210211 /////////////////////////////////////////////////////////////////////先端技術情報////////////////////////////////////////////////////////////IOT Fibocomがトップクラスの商用対応nuSIMIoTモジュールを提供へ 時事通信 中国・深セン--(BUSINESS WIRE)-- (ビジネスワイヤ) --IoT(モノのインターネット)向け無線ソリューションと無線通信モジュールを提供する世界... ヤマト運輸、LEDとSIMが一体化するIoT電球で見守るサービス実証を全国拡大 マイナビニュース ヤマト運輸は、同社が昨年6月から東京都多摩市で実証事業として実施しているハローライト社のIoT電球「HelloLight」を活用した高齢者見守り... 首輪にデバイスを付けるだけで愛犬の健康をアプリで管理できるJM smartのペットケアIoTデバイス... u/DIME ペットケアIoTデバイス「PuppyDoc」が日本上陸. 「PuppyDoc」は、主に無呼吸や睡眠などのヘルスケアを研究するモバイルテクノロジーサービスを... 仮想通貨 柴犬の仮想通貨「ドージコイン」が急騰 マスク氏の冗談投稿などで AFPBB News 【2月6日 AFP】柴犬をマスコットとしてジョークとして生まれた暗号資産(仮想通貨)「ドージコイン(Dogecoin)」の価格が最近急騰している。 「仮想通貨の強気相場は今後9〜22ヵ月間継続し得る」 投資企業幹部、ビットコイン価格も予想 株式会社CoinPost まずはビットコインの価格が上昇し、それが一服したところでイーサリアム(ETH)や時価総額の高い銘柄、今だとDeFi(分散型金融)関連の優良銘柄... 4万ドル回復後のシナリオは?仮想通貨チャート分析:ビットコイン・イーサ・XRP(リップル... コインテレグラフ・ジャパン(ビットコイン、仮想通貨、ブロックチェーンのニュース) BTC/USD. ビットコインは過去2日間、38, 000ドルのレベルで抵抗に直面しているが、2月4日の調整でもトレーダー... AI テキストアドベンチャー「AIDungeon」のLatitudeが「無限の物語」を生み出すゲーム制作のため... TechCrunch Japan AIが生成したストーリーというと、短編映画「Sunspring」のような愉快で無茶苦茶な実験を思い浮かべるかもしれないが、Latitudeの最初のタイトル... LINE、AI自動電話で神奈川県の新型コロナウイルス療養者の体調確認を支援、県職員の負担を軽減... 時事通信 [LINE株式会社]. 情報開発と利活用20210220 20Feb 📷 "竹中平蔵の利益相反行為を糾弾せよ!" 四十九日法要までにお墓を建てなくてはいけないという決まりはありません。しかし事前にお墓を用意している場合には、四十九日法要を目処に納骨をする方も多いです。急なことで四十九日法要までにお墓が用意できないという方もいると思いますが、そのような時は一周忌や初盆などを目処に用意をするとよいでしょう。 四十九日の法事に招かれたら 四十九日の法事の案内状が届いた場合は、なるべく早く出欠の可否の連絡をします。もし出席ができない場合は、お詫びの返事とお香典、もしくはお供え物を送って欠席の旨を伝えます。施主は人数によって引き出物などの準備があるので、いずれの場合でも配慮が必要になります。 参列する際の服装は喪服が基本 です。男性は、スーツ、ネクタイ、靴下、靴を黒で統一し、ワイシャツは白いものを着用します。女性の場合も、バッグを含め黒で統一をします。 アクセサリーで目立つものは控えます。身に着けるのが許されているのは結婚指輪や真珠、オニキスなどです。 四十九日にまつわるよくある疑問 Q. 四十九日法要を避けた方がいい日はあるのか? 法要全般に関して特に気にする必要はなく四十九日法要を避けるべき日はありません。 Q. 四十九日法要までにお墓を建てないといけないの? 四十九日法要までにお墓を建てなくてはいけないという決まりはありません。四十九日法要までにお墓が用意できないという場合は一周忌や初盆などを目処に用意をするとよいでしょう。 まとめ 早めに準備を済ませましょう。 亡くなった日を1日目として数えるのが通例で、四十九日は亡くなってから四十八日目に実施される法要です。 四十九日法要を避けた方がいい日はありません。 四十九日法要までにお墓を建てなくてはいけないという決まりはありません。 葬儀が終わってから四十九日まではとても早いものです。日にちが近づいて慌てないように、早めに準備を済ませることをおすすめします。 法要に合わせて納骨を考えている人は、お墓の手配などもしなくてはいけません。もしそのような時にお墓のことでお困りでしたら、お気軽にお問い合わせください。 わからないことやお困りになっていることなどに、丁寧にお答えします。 法事・法要について詳しく知りたい方は、「 いいお墓 」の以下の記事をご覧ください。 最後までお読みいただきありがとうございました。 あなたの希望に合ったお墓探しをしませんか?コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ
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