イメージですが、次のようにすると\(x\) と\( y \) を消去することができますよね。 x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y}&=1+4\\ &=5 この左辺 x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y} の形はコーシ―シュワルツの不等式の右辺と同じ形です。 このことから「コーシーシュワルツの不等式を利用してみよう」と考えるわけです。 コーシ―シュワルツの不等式の左辺は2乗の形ですので、実際には、次のように調整します。 コーシーシュワルツの不等式より \{ (\sqrt{x})^2+(2\sqrt{y})^2\} \{ (\frac{1}{\sqrt{x}})^2+(\frac{1}{\sqrt{y}})^2 \} \\ ≧ \left(\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{y}\cdot \frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2 整理すると \[ (x+4y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)≧3^2 \] \( x+4y=1\)より \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}≧9 \] これより、最小値は9となります。 使い方がやや強引ですが、最初の式できてしまえばあとは簡単です! 続いて等号の成立条件を調べます。 \[ \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} =\frac{\frac{1}{\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}} \] \[ ⇔\frac{1}{x}=\frac{1}{2y} \] \[ ⇔ x=2y \] したがって\( x+4y=1\)より \[ x=\frac{1}{3}, \; y=\frac{1}{6} \] で等号が成立します。 レベル3 【1995年 東大理系】 すべての正の実数\(x, \; y\) に対し \[ \sqrt{x}+\sqrt{y}≦k\sqrt{2x+y} \] が成り立つような,実数\( k\)の最小値を求めよ。 この問題をまともに解く場合、両辺を\( \sqrt{x} \) でわり,\( \displaystyle{\sqrt{\frac{y}{x}}}=t\) とおいて\( t\) の2次不等式の形に持ち込みますが、やや面倒です。 それでは、どのようにしてコーシ―シュワルツの不等式を活用したらよいのでしょうか?
実践演習 方程式・不等式・関数系 2020年11月26日 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) コーシー・シュワルツの不等式と呼ばれる有名不等式です。 今は範囲外ですが、行列という分野の中で「ケーリー・ハミルトンの定理」というものがあります。 参考書によっては「ハミルトン・ケーリーの定理」などとも呼ばれており、呼び方論争もあります。 コーシーシュワルツの不等式はシュワルツ・コーシーの不等式とは呼ばれません。 なぜでしょうか?
コーシーシュワルツの不等式使い方【頭の中】 まず、問題で与えられた不等式の左辺と右辺を反対にしてみます。 \[ k\sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y}\] この不等式の両辺は正なので2乗すると \[ k^2(2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\] この式をコーシ―シュワルツの不等式と見比べます。 ここでちょっと試行錯誤をしてみましょう。 例えば、右辺のカッコ内の式を\( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y}\)とみて、コーシ―シュワルツの不等式を適用すると (1^2+1^2) \{ (\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 \} \\ ≧( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y})^2 \[ 2\underline{(x+y)}≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \] 上手くいきません。実際にはアンダーラインの部分を\( 2x+y \) にしたいので、少し強引ですが次のように調整します。 \left\{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\! \! 覚えなくていい「コーシーシュワルツの不等式」 - 東大生の高校数学ブログ. 2}+1^2 \right\} \left\{ (\sqrt{2x})^2+(\sqrt{y})^2\right\} \\ ≧\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \! \sqrt{2x}+1\cdot \! \sqrt{y}\right)^2 これより \frac{3}{2} (2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 両辺を2分の1乗して \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ \frac{\sqrt{6}}{2} ここで、問題文で与えられた式を変形してみると \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ k ですので、最小値の候補は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \) となります。 次に等号について調べます。 \frac{\sqrt{2x}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{y}}{1} より\( y=4x \) つまり\( x:y=1:4\)のとき等号が成り立ちます。 これより\( k\) の最小値は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \)で確定です。 コーシーシュワルツの不等式の使い方 まとめ 今回は\( n=2 \) の場合について、コーシ―シュワルツの不等式の使い方をご紹介しました。 コーシ―シュワルツの不等式が使えるのは主に次の場合です。 こんな場合に使える!
#料理ハウツー #調味料 #レシピ 管理栄養士。病院や保健センターで赤ちゃんから妊婦、高齢者まで幅広い年代の栄養をサポート。現在はフリーランスとして、栄養&食に関する記事制作やレシピ制作、オンラインダイエットカウンセリングなどを行っています。「試してみようかな~?」と思ってもらえる記事をお届けします。 中華料理などのレシピに登場するオイスターソース。頻繁に使うわけではないので、使いたいときに家にない!なんて場面も多いはず。そんなときに役立つ代用アイデアを3つご紹介します。さらに「本当においしいの?」「一番オイスターソースに近いものは?」という疑問を解決すべく、検証した結果をお届けします。 目次 目次をすべて見る オイスターソースはどんな味? オイスターソースは牡蠣(カキ)を塩漬けにして発酵させて作るソースです。とろっとしていて濃厚で、独特の風味があり料理に深いコクと旨みを与えてくれます。中華料理に多く使われ、代表的なメニューは肉野菜炒めや青椒肉絲(チンジャオロースー)、焼きそばなどです。 オイスターソースは調味料を組み合わせて代用できる もしオイスターソースがない場合、いくつかの調味料を組み合わせることで代用することが可能です。具体的には オイスターソースと同じく発酵調味料である「 しょうゆ 」 野菜や果物、スパイス、酢などで作られる複雑な味わいの「 ソース類 」 肉や魚介の旨みをプラスしてくれる「 中華スープの素 」 などを組み合わせると近い味わいになります。砂糖や蜂蜜を少々追加すると、オイスターソースの甘みも再現できますよ。 では早速、これらを使った代用アイデアをご紹介します。 オイスターソースの代用アイデア3つ オイスターソースがない場合、以下の3パターンの組み合わせで代用できます。 1. オイスターソースの代わりになる調味料は？作りたい料理のレシピを... - Yahoo!知恵袋. しょうゆ+砂糖+中華スープの素 <材料> しょうゆ…大さじ1 砂糖…小さじ1 中華スープの素(顆粒)…ひとつまみ 砂糖を同量のはちみつに置き換えるとトロミが出てよりオイスターソースらしくなります。 中華スープの素がなければ、鶏がらスープの素でも代用できます。 2. ウスターソース+砂糖 <材料> ウスターソース…大さじ1 砂糖…小さじ1/2 こちらも砂糖ではなく、同量のはちみつを使うとトロミが出ます。 中濃ソース(とんかつソース)+しょうゆ+中華スープの素 <材料> 中濃ソース…大さじ1 しょうゆ…小さじ1 中華スープの素(顆粒)…ひとつまみ 中濃ソースでの代わりにとんかつソースでも代用できます。こちらも中華スープの素でなく、鶏がらスープの素でもOKです。 検証!一番おいしい代用法はどれ?
オイスターソースの効果って?使わなきゃだめ?
バルサミコ酢の代用品を知っていますか?今回は、バルサミコ酢の代用品の作り方や代用調味料のポイントを紹介します。バルサミコ酢が無い時に活用できるバルサミコ酢の料理別の代用品やレシピも紹介しているので、参考にしてみてくださいね。 バルサミコ酢とは?