1)の 内積 の 積分 内の を 複素共役 にしたものになっていることに注意します. (2. 1) 以下が成り立ちます(簡単な計算なので証明なしで認めます). (2. 2) したがって以下の関数列は の正規直交系です. (2. 3) 実数値関数の場合(2. 1)の類推から以下を得ます. (2. 4) 文献[2]の命題3. と定理3. も参考になります. フーリエ級数 は( ノルムの意味で)収束することが確認できます. [ 2. 実数表現と 複素数 表現の等価性] 以下の事実を示します. ' -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 事実. 実数表現(2. 1)と 複素数 表現(2. 4)は等しい. 証明. (2. 1) (2. 3) よって(2. 2)(2. 3)より以下を得る. (2. 4) ここで(2. 1)(2. 4)を用いれば(2. 1)と(2. 4)は等しいことがわかる. (証明終わり) '-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ================================================================================= 以上, フーリエ級数 の基礎をまとめました. Python（SymPy）でFourier級数展開する - pianofisica. 三角関数 による具体的な表現と正規直交系による抽象的な表現を併せて明示することで,より理解が深まる気がします. 参考文献 [1] Kreyszig, E. (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley. [2] 東京大学 木田良才先生のノート [3] 名古屋大学 山上 滋 先生のノート [4] 九州工業大学 鶴 正人 先生のノート [5] 九州工業大学 鶴 正人 先生のノート [6] Wikipedia Fourier series のページ [7] Wikipedia Inner product space のページ [8] Wikipedia Hilbert space のページ [9] Wikipedia Orthogonality のページ [10] Wikipedia Orthonormality のページ [11] Wikipedia space のページ [12] Wikipedia Square-integrable function のページ [13] National Cheng Kung University Jia-Ming Liou 先生のノート
君たちは,二次元のベクトルを数式で書くときに,無意識に以下の書き方をしているだろう. (1) ここで, を任意とすると,二次元平面内にあるすべての点を表すことができるが, これが何を表しているか考えたことはあるかい? 実は,(1)というのは 基底 を定義することによって,はじめて成り立つのだ. この場合だと, (2) (3) という基底を「選んでいる」. この基底を使って(1)を書き直すと (4) この「係数付きの和をとる」という表し方を 線形結合 という. 実は基底は に限らず,どんなベクトルを選んでもいいのだ. いや,言い過ぎた... .「非零かつ互いに線形独立な」ベクトルならば,基底にできるのだ. 二次元平面の場合では,長さがあって平行じゃないってことだ. たとえば,いま二次元平面内のある点 が (5) で,表されるとする. ここで,非零かつ平行でないベクトル の線形結合として, (6) と,表すこともできる. じゃあ,係数 と はどうやって求めるの? ここで内積の出番なのだ! (7) 連立方程式(7)を解けば が求められるのだが, なんだかメンドクサイ... そう思った君には朗報で,実は(5)の両辺と の内積をそれぞれとれば (8) と,連立方程式を解かずに 一発で係数を求められるのだ! この「便利な基底」のお話は次の節でしようと思う. とりあえず,いまここで分かって欲しいのは 内積をとれば係数を求められる! ということだ. ちなみに,(8)は以下のように書き換えることもできる. 「なんでわざわざこんなことをするのか」と思うかもしれないが, 読み進めているうちに分かるときがくるので,頭の片隅にでも置いておいてくれ. 三角関数の直交性 大学入試数学. (9) (10) 関数の内積 さて,ここでは「関数の内積とは何か」ということについて考えてみよう. まず,唐突だが以下の微分方程式 (11) を満たす解 について考えてみる. この解はまあいろいろな表し方があって となるけど,今回は(14)について考えようと思う. この式と(4)が似ていると思った君は鋭いね! 実は微分方程式(11)の解はすべて, という 関数系 (関数の集合)を基底として表すことが出来るのだ! (特異解とかあるかもしれんけど,今は気にしないでくれ... .) いま,「すべての」解は(14)で表せると言った. つまり,これは二階微分方程式なので,(14)の二つの定数 を任意とすると全ての解をカバーできるのだ.
二乗可 積分 関数全体の集合] フーリエ級数 を考えるにあたり,どのような具体的な ヒルベルト 空間 をとればよいか考えていきます. 測度論における 空間は一般に ヒルベルト 空間ではありませんが, のときに限り ヒルベルト 空間空間となります. すなわち は ヒルベルト 空間です(文献[11]にあります). 閉 区間 上の実数値可測関数の同値類からなる ヒルベルト 空間 を考えます.以下が成り立ちます. (2. 1) の要素を二乗可 積分 関数(Square-integrable function)ともいいます(文献[12]にあります).ここでは 積分 の種類として ルベーグ 積分 を用いていますが,以下ではリーマン 積分 の表記を用いていきます.以降で扱う関数は周期をもつ実数値連続関数で,その ルベーグ 積分 とリーマン 積分 の 積分 の値は同じであり,区別が必要なほどの詳細に立ち入らないためです.またこのとき, の 内積 (1. 1)と命題(2. 1)の最右部の 内積 は同じなので, の正規直交系(1. 10)は の正規直交系になっていることがわかります.(厳密には完全正規直交系として議論する必要がありますが,本記事では"完全"性は範囲外として考えないことにします.) [ 2. フーリエ 係数] を周期 すなわち を満たす連続関数であるとします.閉 区間 上の連続関数は可測関数であり,( ルベーグ 積分 の意味で)二乗可 積分 です(文献[13]にあります).したがって です. は以下の式で書けるとします(ひとまずこれを認めて先に進みます). (2. 1) 直交系(1. 2)との 内積 をとります. (2. 2) (2. 3) (2. 三角関数の直交性 証明. 4) これらより(2. 1)の係数を得ます. フーリエ 係数と正規直交系(の要素)との積になっています. (2. 5) (2. 7) [ 2. フーリエ級数] フーリエ 係数(2. 5)(2. 6)(2. 7)を(2. 1)に代入すると,最終的に以下を得ます. フーリエ級数 は様々な表現が可能であることがわかります. (2. 1) (※) なお, 3. (c) と(2. 1)(※)より, フーリエ級数 は( ノルムの意味で)収束することが確認できます. [ 2. フーリエ級数 の 複素数 表現] 閉 区間 上の 複素数 値可測関数の同値類からなる ヒルベルト 空間 を考えます.以下が成り立ちます.(2.
業界人のヘビーユーザーも!日本のガレージブランドの勢いが止まらない 過去に野外選曲家・河合桂馬さんが、CAMP HACKの記事で紹介していた日本のガレージブランド「sunsetclimax(サンセットクライマックス)」。ご存知の方も多いと思います。 桂馬さん以外にも、キャンプをこよなく愛する人たちがこぞって使い始めていることから、人気もうなぎ上り! 改めて、なぜサンセットクライマックスのアイテムが選ばれるのか? その理由を再考します。 まずはラインナップから!サンセットクライマックスの代表商品たち ブランドの詳細や思い、新しい取り組みについては過去に記事で紹介しているので、ここでは新作を含めたサンセットクライマックスの現ラインナップを紹介します。 " 携帯する別荘 "をコンセプトに掲げた同ブランドの商品は、モノにこだわる人ならきっと心に刺さること必至ですよ! こだわり抜いた素材を使った看板商品「Tarp」シリーズ サンセットクライマックスといえば、何と言ってもあのクリーンなホワイトカラーと、アイテムごとに異なったカラーのパイピング(布の端をテープ上の布でくるむこと)が目を引く「Tarp」が人気です。 生地は、大手繊維メーカー・帝人がサンセットクライマックス用に特別製造する「TEIJINエコサークルファイバー®」を採用。9880mm(JIS L1092A)の高い耐水圧と99. 8%(UPF値50+)の高いUV遮蔽率を備えた高品質が特徴です。 「Tarp 01」は、450×400cmの中型ヘキサタープ。3〜4人に対応したファミリー向けで、本体重量は約2. 2kg(ステンレス製グロメット含)と軽量に作られています。 パイピングは遠目からも目立つレッドを使用。画像のようにポールと色を合わせれば一気に統一感が演出されますね。 Tarp 01の詳細は こちら をご覧ください。 「Tarp 02」は、400×350cmの小型ウイングタープ。1〜2人に対応し、ソロもしくは少人数のグループキャンプ向け。 本体重量は約1. 【TFスポーツ岩槻店】早い者勝ち！sunset climax(サンセットクライマックス）製、人気の大型ギアトートバッグ入荷！！[2018.07.18発行]｜リサイクルショップ トレファクスポーツ岩槻店. 0kg(ステンレス製グロメット含)と、さらに軽量化を実現! パイピングはシックなブラックを使用しています。 Tarp 02の詳細は こちら 。 さらに「Tarp 03」は、500×500cmの大型オクタタープ(八角形)。6〜8人まで対応でき、大人数のファミリーやグループキャンプ向け。 本体重量は約3.
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