こんにちは、おぐえもん( @oguemon_com)です。 さて、ある行列の 逆行列を求める公式 が成り立つ理由を説明する際、「余因子」というものを活用します。今回は余因子について解説し、後半では余因子を使った重要な等式である「余因子展開」に触れます。 目次 (クリックで該当箇所へ移動) 余因子について 余因子ってなに? 簡単に言えば、 ある行列の行と列を1つずつカットして残った一回り小さい行列の 行列式 に、正負の符号を加えたもの です。直感的に表現したのが次の画像です。 正方行列\(A\)の\(i\)行目と\(j\)列目をカットして作る余因子を \((i, j)\)成分の余因子 と呼び、 \(A_{ij}\) と記します。 余因子の作り方 余因子の作り方を分かりやすく学ぶために、実際に一緒に作ってみましょう!例として、次の行列について「2行3列成分」の余因子を求めてみます。 $$ A=\left[ \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{array} \right] ステップ1|「2行目」と「3列目」を抜き去る。 ステップ2|小行列の行列式を求める。 ステップ3|行列式に符号をつける。 行番号と列番号の和が偶数ならば「1」を、奇数ならば「-1」を掛け合わせます。 これで、余因子\(A_{23}\)を導出できました。計算こそ面倒ですが、ルール自体は割とシンプルなのがお判りいただけましたか? 余因子の作り方(一般化) 余因子の作り方を一般化して表すと次の通りです。まあ、やってることは方法は上とほぼ同じです(笑) 正方行列\(A\)から\((i, j)\)成分の余因子\(A_{ij}\)を作りたい! 正則なn次正方行列Aの余因子行列の行列式が|A|のn-1乗であることの証明. 行列\(A\)から \(i\)行 と \(j\)列 を抜き去る。 その行列の 行列式 を計算する。(これを\(D_{ij}\)と書きます) 求めた行列式に対して、行番号と列番号の和が偶数ならば「プラス」を、奇数ならば「マイナス」をつけて完成!$$ A_{ij} = \begin{cases} D_{ij} & (i+j=偶数) \\ -D_{ij} & (i+j=奇数) \end{cases}$$ そもそも、行列式がよく分からない人は次のページを参考にしてください。 【行列式編】行列式って何?
現在の場所: ホーム / 線形代数 / 余因子行列で逆行列の公式を求める方法と証明について解説 余因子行列を使うと、有名な逆行列の公式を求めることができます。実際に逆行列の公式を使って逆行列を求めることはほとんどありませんが、逆行列の公式について考えることで、行列式や余因子行列についてより深く理解できるようになります。そして、これらについての理解は、線形代数の学習が進めば進むほど役立ちます。 それでは早速解説を始めましょう。なお、先に『 余因子による行列式の展開とは?~アニメーションですぐわかる解説~ 』を読んでおくと良いでしょう。 1.
余因子行列のまとめと線形代数の記事 ・特に3×3以上の行列の余因子行列を作る際は、各成分の符号や行列式の計算・転置などの際のミスに要注意です。 ・2or3種類ある逆行列の作り方は、もとの行列によって最短で計算できる方法を選ぶ(少し慣れが必要です)が、基本はやはり拡大係数行列を使ったガウスの消去法(掃き出し法)です。 これまでの記事と次回へ 2019/03/25現在までの線形代数に関する全19記事をまとめたページです。 「 【ブックマーク推奨!】線形代数を0から学ぶ解説記事まとめ【更新中】 」 今回も最後までご覧いただき、有難うございました。 「スマナビング!」では、読者の皆さんのご意見や、記事のリクエストの募集を行なっています。 ご質問・ご意見がございましたら、ぜひコメント欄にお寄せください。 いいね!やB!やシェア、Twitterのフォローをしていただけると大変励みになります。 ・その他のお問い合わせ、ご依頼に付きましては、お問い合わせページからご連絡下さい。
4を掛け合わせる No. 余因子の求め方/余因子展開による行列式の計算法までイラストで解説. 6:No. 5を繰り返して足し合わせる 成分0の項は消えるため、計算を省略してもよい。 小行列式でも余因子展開を行えばさらに楽ができる。 $$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\0 & 0 & 3 & 0 \\-3 & 2 & -2 & 2 \\-1 & 0 & 1 & 0\end{vmatrix}&=-3\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\-3 & 2 & 2 \\-1 & 0 & 0\end{vmatrix}\\&=-3\cdot(-1)\begin{vmatrix}-1 & 1\\ 2 & 2 \end{vmatrix}\\&=-3\cdot(-1)\cdot\{(-1)\cdot 2-1\cdot 2\}\\&=-12\end{align*}$$ まとめ 余因子展開とは、行列式の1つの行(列)の余因子の和に展開するテクニックである! 余因子展開は、行列の成分に0が多いときに最も有効である!
行列式のn乗を求めて解答する問題があったが, その際設問の誘導に従って使用した式変形が有用であったのでここにその証明を付しておく. 参考 Proof. If $$ \mathrm{det}A\neq0, then \mathrm{det}(\mathrm{adj}A) = (\mathrm{det}A)^{n-1}. ここで, $\mathrm{det}A$(ディターミナントエー)は$A$の行列式, $\mathrm{adj}A$(アジョイントエー)は$A$の余因子行列を表す. このYouTube動画をそのまま踏襲したのでここに予め記しておきます. まず正則なn次正方行列$A$の余因子行列に対して, A\cdot\mathrm{adj}A=\mathrm{adj}A{\cdot}A=\mathrm{det}A{\cdot}I_n が成り立つ(ここで$I_n$はn次単位行列を表す). これは行列式の行と列に関する余因子展開により速やかに示される主張である. ここで証明を付すことはしないが, 入門程度の教科書にて一度証明を追った後は覚えておくと良い. 余因子行列で逆行列の公式を求める方法と証明について解説 | HEADBOOST. 次に上式の行列式を取ると, \mathrm{det}(A\cdot\mathrm{adj}A)=\mathrm{det}A{\cdot}\mathrm{det}(\mathrm{adj}A)(\because乗法定理^{*1}) =\mathrm{det}(\mathrm{det}A{\cdot}I_n)= \mathrm{det}\left( \begin{array}{cccc} \mathrm{det}A & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & \mathrm{det}A & \ldots & 0 \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr 0 & 0 & \ldots & \mathrm{det}A \end{array} \right)= (\mathrm{det}A)^n $^{*1}$2つのn次正方行列の積の行列式$\mathrm{det}AB$は各行列の行列式の積$\mathrm{det}A\cdot\mathrm{det}B$に等しい(行列式の交代性と多重線形性による帰結 1). となる. 最後に両辺を$\mathrm{det}A(\neq0)$で割って求める式 \mathrm{det}(\mathrm{adj}A) = (\mathrm{det}A)^{n-1} を得る.
余因子の求め方・意味と使い方(線形代数10) <今回の内容>: 余因子の求め方と使い方 :余因子の意味から何の役に立つのか、詳しい計算方法、さらに余因子展開(これも解説します)を利用した行列式の求め方までイラストを用いて詳しく紹介しています。 <これまでの線形代数学の入門記事>:「 0から学ぶ線形代数の解説記事まとめ 」 2019/03/25更新続編:「 余因子行列の作り方とその応用(逆行列の計算)を具体的に解説! 」完成しました。 余因子とは?
現在の場所: ホーム / 線形代数 / 余因子による行列式の展開とは?~アニメーションですぐわかる解説~ 行列式の展開とは、簡単に言うと「高次の行列式を、次元が一つ下の行列式(小行列式)の和で表すこと」です。そして、小行列式を表すために「余因子」というものを使います。これらについて理解しておくことで、有名な 逆行列の公式 をはじめとした様々な公式の証明が理解できるようになります。 ここでは、これについて誰にでもわかるように解説します。直感的な理解を助けるためのに役立つアニメーションも用意しているので、ぜひご覧いただければと思います。 それでは始めましょう。 1. 行列式の展開とは 行列式の展開は、最初は難しそうに見えるかもしれませんが、まったくそんなことはありません。まずは以下の90秒ほどのアニメーションをご覧ください。\(3×3\) の行列式を例に行列式の展開を示しています。これによってすぐに全体像を理解することがでます。 このように行列式の展開とは、余因子 \(\Delta_{ij}\) を使って、ある行列式を、低次の行列式で表すことが行列式の展開です。 三次行列式の展開 \[\begin{eqnarray} \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right| = a\Delta_{11}+b\Delta_{12}+c\Delta_{13} \end{eqnarray}\] これから文字でも解説しておきますので、ぜひ理解を深めるためにご活用ください。 2. 行列式の展開方法 ここからは \(3×3\) の行列式の展開方法を、あらためて文字で解説していきます。内容は上のアニメーションと同じです。 2. 余因子行列 行列式. 1.
ことわざを知る辞典 「鶴は千年、亀は万年」の解説 鶴は千年、亀は万年 鶴は千年、 亀 は 万年 も生きるとされ、ともに 長寿 で 縁起 がとてもよい。 [使用例] 鶴 千年亀万年人間常往いつも 月夜 に米の 飯 な らん を願い仮にも無常を観ずるなかれ[樋口一葉*別れ霜|1892] [解説] 「 淮南子 ―説林訓」などに見える中国の伝説によることば。古くから長寿の象徴とされ、慶事には 鶴亀 にことよせて祝う 習わし が今日まで続いています。また、 中世 から 近世 にかけて、 大晦日 や 節分 の夜に門付けして歩いた 厄払い の決まり文句でもありました。 出典 ことわざを知る辞典 ことわざを知る辞典について 情報 ©VOYAGE MARKETING, Inc. All rights reserved.
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