(i)-(v) は多項式に対してもそのまま成り立つことが容易にわかる。実際、例えば ならば となる整数係数の多項式 が存在するから が成り立つ。 合同方程式とは、多項式 とある整数 における法について、 という形の式である。定理 2. 1 より だから、 まで全て代入して確かめてみれば原理的には解けるのである。 について、各係数 を他の合同な数で置き換えても良い。特に、法 で割り切れるときは、その項を消去しても良い。この操作をしたとき、 のとき、この合同式を n 次といい、 合同式 が n 次であることの必要十分条件は となる多項式 の中で最低次数のものが n 次であることである。そのような の最高次、つまり n 次の係数は で割り切れない(割り切れるならば、その係数を消去することで、さらに低い次数の、 と合同な多項式がとれるからである)。 を素数とすると、 が m 次の合同式で、 が n 次の合同式であるとき は m+n 次の合同式である。実際 となるように m次の多項式 と n 次の多項式 をとれば となる。ここで の m+n 次の係数は である。しかし は m 次の合同式で、 は n 次の合同式だから は で割り切れない。よって も で割り切れない(ここで法が素数であることを用いている)。よって は m+n 次の合同式である。 これは素数以外の法では一般に正しくない。たとえば となる。左辺の 1 次の係数同士を掛けると 6 を法として消えてしまうからである。 素数を法とする合同方程式について、以下の基本的な事実が成り立つ。 定理 2. 2 (合同方程式の基本定理) [ 編集] 法 が素数のとき、n 次の合同式 は高々 n 個の解を持つ。もちろん解は p を法として互いに不合同なものを数える。より強く、n 次の合同式 が互いに不合同な解 を持つならば、 と因数分解できる(特に である)。 n に関する数学的帰納法で証明する。 のときは と合同な 1次式を とおく。 であるから 定理 1. 初等整数論/合成数を法とする合同式 - Wikibooks. 8 より、 が と合同になるような が を法として、ただひとつ存在する。すなわち、 はただひとつの解を有する。そしてこのとき となる。 より定理は正しい。 n-1 次の合同式に対して定理が正しいと仮定し、 を n 次の合同式とする。 より となる多項式 が存在する。 より を得る。上の事実から は n-1 次の合同式である。 は素数なのだから、 定理 1.
9 より と表せる。このとき、 となる。 とおくと、 となる。(4) より、 とおけば、 は で割り切れる。したがって、合同の定義より方程式の (1) を満たす。また、同様に (3) を用いることで、(2) をも満たすことは容易に証明される。 よって、解が存在することが証明された。 さて、その唯一性であるが、 を任意の解とすれば、 となる。また同様にして となる。したがって合同の定義より、 は の公倍数。 より、 は の倍数である。したがって となり、唯一性が保証された。 次に、定理を k に関する数学的帰納法で証明する。 (i) k = 1 のとき は が唯一の解である(除法の原理より唯一性は保証される)。 (ii) k = n のとき成り立つと仮定する 最初の n の式は、帰納法の仮定によって なる がただひとつ存在する。 ゆえに、 を解けば良い。仮定より、 であるから、k = 2 の場合に当てはめて、この方程式を満たす が、 を法としてただひとつ存在する。 したがって、k = n のとき成り立つならば k = n+1 のときも成り立つことが証明された。 (i)(ii) より数学的帰納法から定理が証明される。 証明 2 この証明はガウスによる。 とおき、 とおく。仮定より、 なので 定理 1. 8 から なる が存在する。 すると、連立合同方程式の解は、 となる。なぜなら任意の について、 となり、他の全ての項は の積なので で割り切れる。 したがって、 となる。よって が解である。 もちろん、各剰余類 に対し、 となる剰余類 はただ一つ存在する。このことから と は 1対1 に対応していることがわかる。 特に は各 に対して となることと同値である。 さて、 1より大きい整数 を と素因数分解すると、 はどの2つをとっても互いに素である。 ここで、次のことがわかる。 定理 2. 3 [ 編集] と素因数分解すると、任意の整数 について、 を満たす は を法としてただひとつ存在する。 さらに、ここで が成り立つ。 証明 前段は中国の剰余定理を に適用したものである。 ならば は の素因数であり、そうなると は の素因数になってしまい、 となってしまう。 逆に を共に割り切る素数があるとするとそれは のいずれかである。そのようなものを1つ取ると より となる。 この定理から、次のことがすぐにわかる。 定理 2.
初等整数論/フェルマーの小定理 で、フェルマーの小定理を用いて、素数を法とする剰余類の構造を調べたので、次に、一般の自然数を法とする合同式について考えたい。まず、素数の冪を法とする場合について考え、次に一般の法について考える。 を法とする合同式について [ 編集] を法とする剰余類は の 個ある。 ならば である。よってこのとき任意の に対し となる が一意的に定まる。このような剰余類 は の形に一意的に書けるから、ちょうど 個存在する。 一方、 が の倍数の場合、 となる が存在するかも定かでない。例えば などは解を持たない。 とおくと である。ここで、つぎの3つの場合に分かれる。 1. のとき よりこの合同式はすべての剰余類を解に持つ。 2. のとき つまり であるが より、この合同式は解を持たない。 3. のとき は よりただ1つの剰余類 を解に持つ。しかし は を法とする合同式である。よって、これはちょうど 個の剰余類 を解に持つ。 次に、合同方程式 が解を持つのはどのような場合か考える。そもそも が解を持たなければならないことは言うまでもない。まず、正の整数 に対して より が成り立つことから、次のことがわかる。 定理 2. 4. 1 [ 編集] を合同方程式 の解とする。このとき ならば となる がちょうど1つ定まる。 ならばそのような は存在しないか、 すべての に対して (*) が成り立つ。 数学的帰納法より、次の定理がすぐに導かれる。 定理 2. 2 [ 編集] を合同方程式 の解とする。 を整数とする。 このとき ならば となる はちょうど1つ定まる。 例 任意の素数 と正の整数 に対し、合同方程式 の解の個数は 個である。より詳しく、各 に対し、 となる が1個ずつある。 中国の剰余定理 [ 編集] 一般の合成数を法とする場合は素数冪を法とする場合に帰着される。具体的に、次のような問題を考えてみる。 問 7 で割って 6 余り、13 で割って 12 余り、19 で割って 18 余る数はいくつか? 答えは、7×13×19 - 1 である。さて、このような問題に関して、次の定理がある。 定理 ( w:中国の剰余定理) のどの2つをとっても互いに素であるとき、任意の整数 について、 を満たす は を法としてただひとつ存在する。(ここでの「ただひとつ」というのは、互いに合同なものは同じとみなすという意味である。) 証明 1 まず、 のときを証明する。 より、一次不定方程式に関する 定理 1.
O's(@okure_sakura)さんのうちの子ライナちゃんの箱化を勝手に描かせていただきました。 8 17 ゴッドイーター3 フィム 頭以外箱化 #箱化 1 7 東方 フラン 全身箱化 #箱化 2 東方 フラン 頭残し箱化続き 4 東方 フラン 頭残し箱化 #箱化 5 viprpg変化シリーズ③続き ヘレン 頭以外箱化 0 viprpg変化シリーズ③ ヘレン 頭以外箱化 #箱化 3 対魔忍の世界は、 すーぱーそに子がNHKで 子供向け対魔忍ヒーローショーやって 人気あるってマ!? そりゃ箱化で喜ぶ大人生まれるよ。 状態変化アンケートのイラスト第2弾です 前回と同じく平面化2種類と箱化です 37 状態変化アンケートのイラスト第1弾です 今回は平面化2種類と箱化です 24 62 箱化ミズヒキ。頭だけの姿になる変化って抱えたくなるよね 6 22 火付与のガチャ武器ねえ……。 ライフル出たら、ルシフェル様がゴルハン貯金箱化しないかな…… 2015年3月4日は「最強銀河究極ゼロ~バトルスピリッツ~DVD-BOX」の発送日でした。ソードアイズに続き実現した究極ゼロ受注生産円盤箱。TVシリーズのBD箱化企画がブレイヴ止まりとなっており(突破箱企画の消滅とサガブレ箱の伸び悩みが痛い)究極ゼロファンは順番待ちのお預け状態です☺︎ #今日は何の日 38 状態変化ゲーム「ミノの変化な冒険」 ついにバージョン1. 対魔忍 箱化 画像. 0が完成しました! ミノタウロス娘が平面化、箱化、球体化etc... と 色々変化させられちゃうゲームです。 よろしければ、プレイしてみてください~ 41 132
安心してください、それが普通です。かなりアブノーマルなR-18要素なので、検索は自己責任でお願いします。 『アクション対魔忍』は好評配信中。基本プレイ無料のアイテム課金制です。 (C)2019 LILITH/GREMORY. ALL Rights Reserved.
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エベレストとは、世界一高い山である。山頂は中国とネパールの国境にある。インド測量局長官だったジョージ・エベレストにちなんで名付けられ、チベットでは「チョモランマ」、ネパールでは「サガルマータ」と呼ばれ... See more もう助からないゾ♡ 6時じゃね? 赤城山すら登り切れなかったワイにはバケモノやね はい 美談にすんなよ お客が 奪ったというか捧げたというか リアル二歩...
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箱忍 by もう まずは無料登録!ニジエに登録して、お絵かきをもっと楽しもう!! 無料登録してこの絵を見る Twitterで簡単アカウント登録 あけましておめでとうございます。旧年末にトンでもない爆弾を投下したリリスさまにささげます。 固め 状態変化 箱化 アイデア 対魔忍ユキカゼ このイラストにつけられたタグ一覧 固め タグがついたイラストを見る 状態変化 タグがついたイラストを見る 箱化 タグがついたイラストを見る アイデア タグがついたイラストを見る 対魔忍ユキカゼ タグがついたイラストを見る 気になるタグがある?公開設定のイラストを検索してみよう! (例:おっぱい アナル ちっぱい) あなたにオススメのイラスト