この行列の転置 との積をとると 両辺の行列式を取ると より なので は正則で逆行列 が存在する. の右から をかけると がわかる. となる行列を一般に 直交行列 (orthogonal matrix) という. さてこの直交行列 を使って を計算すると, となる. 固有ベクトルの直交性から結局 を得る. 実対称行列 の固有ベクトルからつくった直交行列 を使って は対角成分に固有値が並びそれ以外は の行列を得ることができる. これを行列の 対角化 といい,実対称行列の場合は必ず直交行列によって対角化可能である. すべての行列が対角化可能ではないことに注意せよ. 成分が の対角行列を記号で と書くことがある. 対角化行列の行列式は である. 行列の対角化 条件. 直交行列の行列式の2乗は に等しいから が成立する. Problems 次の 次の実対称行列を固有値,固有ベクトルを求めよ: また を対角化する直交行列 を求めよ. まず固有値を求めるために固有値方程式 を解く. 1行目についての余因子展開より よって固有値は . 次にそれぞれの固有値に属する固有ベクトルを求める. のとき, これを解くと . 大きさ を課せば固有ベクトルは と求まる. 同様にして の場合も固有ベクトルを求めると 直交行列 は行列 を対角化する.
この節では 本義Lorentz変換 の群 のLie代数を調べる. 微小Lorentz変換を とおく.任意の 反変ベクトル (の成分)は と変換する. 回転群 と同様に微小Lorentz変換は の形にかけ,任意のLorentz変換はこの微小変換を繰り返す(積分 )ことで得られる. の条件から の添字を下げたものは反対称, である. そのものは反対称ではないことに注意せよ. 一般に反対称テンソルは対角成分が全て であり,よって 成分のうち独立な成分は つだけである. そこで に 個のパラメータを導入して とおく.添字を上げて を計算すると さらに 個の行列を導入して と分解する. ここで であり, たちはLorentz群 の生成子である. の時間成分を除けば の生成子と一致し三次元の回転に対応していることがわかる. たしかに三次元の回転は 世界間隔 を不変にするLorentz変換である. はLorentzブーストに対応していると予想される. に対してそのことを確かめてみよう. から生成されるLorentz変換を とおく. まず を対角化する行列 を求めることから始める. 固有値方程式 より固有値は と求まる. それぞれに対して大きさ で規格化した固有ベクトルは したがってこれらを並べた によって と対角化できる. 指数行列の定義 と より の具体形を代入して計算し,初項が であることに注意して無限級数を各成分で整理すると双曲線函数が現れて, これは 軸方向の速さ のLorentzブーストの式である. に対しても同様の議論から 軸方向のブーストが得られる. 生成パラメータ は ラピディティ (rapidity) と呼ばれる. 3次元の回転のときは回転を3つの要素, 平面内の回転に分けた. 同様に4次元では の6つに分けることができる. 軸を含む3つはその空間方向へのブーストを表し,後の3つはその平面内の回転を意味する. よりLoretz共変性が明らかなように生成子を書き換えたい. 【固有値編】行列の対角化と具体的な計算例 | 大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門. そこでパラメータを成分に保つ反対称テンソル を導入し,6つの生成子もテンソル表記にして とおくと, と展開する. こうおけるためには, かつ, と定義する必要がある. 註)通例は虚数 を前に出して定義するが,ここではあえてそうする理由がないので定義から省いている. 量子力学でLie代数を扱うときに定義を改める.
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ゴルフボールが顔を直撃、タモリさん入院 タレントのタモリ(本名・森田一義)さんがゴルフ場でプレー中、顔にボールを受け、東京都内の病院に入院していたことが5日分かった。 タモリさんの所属事務所によると、4日は休日で、友人3人とゴルフをしていた。午前11時すぎ、友人の打ったボールがタモリさんの左目近くに当たったという。診断は打撲で、骨や目に異常がないか検査するため、1週間程度入院する。 テレビでレギュラー出演しているのは4番組。生放送で司会を務めるフジテレビ系「笑っていいとも!」は5日から休み、レギュラー出演者が代わりに番組を進行した。 (18:39)