【入試問題】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 −2x−1 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ. (京大2013年理系) (解説) 一般に n の値ごとに商と余りは異なるので,これらを Q n (x), a n x+b n とおく. 以下,数学的帰納法によって示す. (Ⅰ) n=1 のとき x 1 を整式 x 2 −2x−1 で割った余りは x だから a 1 =1, b 1 =0 これらは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない. (Ⅱ) n=k (k≧1) のとき, a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないと仮定すると x k =(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x+b k ( a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない)とおける 両辺に x を掛けると x k+1 =x(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x 2 +b k x この式を x 2 −2x−1 で割ったとき第1項は割り切れるから,余りは残りの項を割ったものになる. 整式の割り算の余り(剰余の定理) | おいしい数学. a k x 2 −2x−1) a k x 2 +b k x a k x 2 −2a k x−a k (2a k +b k)x+a k したがって a k+1 =2a k +b k b k+1 =a k このとき, a k, b k は整数であるから, a k+1, b k+1 も整数になる. もし, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数 p が存在すれば a k+1 =2a k +b k =A 1 p b k+1 =a k =B 1 p となり a k =B 1 p b k =A 1 p−2B 1 p=(A 1 −2B 1)p となって, a k, b k をともに割り切る素数は存在しないという仮定に反する. したがって, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数は存在しない. (Ⅰ)(Ⅱ)から,数学的帰納法により示された. 【類題4. 1】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 +2x+3 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり, a を3で割った余りは1になり, b は3で割り切れることを示せ.
この画像をクリックしてみて下さい. 整式を1次式で割った余りは剰余の定理により得ることができます. 2次以上の式で割るときは縦書きの割り算を実行します. 本問(3)でこの割り算を回避することができるでしょうか.
ただし,負の整数 −M を正の整数 m で割ったときの商を整数 −q ,余りを整数 r とするとき, r は
−M=m(−q)+r (0≦r 今日15日(火)は、岐阜行きを中止して、孫のランドセルと学習机の購入を決めるために大垣市のイオンモール等へ出かけることになった。
通信課題も完成させて明日投函するだけなので、今日の岐阜学習センター行きは中止した。なお、17日(木)は、予定通り。 タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★ 整式の割り算の余りの問題について扱います.入試でも頻出です. 剰余の定理の言及もします. 整式の割り算の余りの求め方
整式の割り算は過去の範囲で既習済みのはずですが,今回は割り算の余りに注目します. ポイント
整式 $P(x)$ を $D(x)$ で割るとき,商を $Q(x)$,余りを $R(x)$ とおいて
$P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$
を立式する.普通 $Q(x)$ が正体不明だが,$D(x)=0$ となるような $x$ を代入して $R(x)$ の情報を得る. ※ 上の恒等式は (割られる数) $=$ (割る数) $\times$ (商) $+$ (余り) という構造です. ※ $P(x)$ は polynomial, $D(x)$ は divisor, $Q(x)$ は quotient, $R(x)$ は remainder が由来です. 上の構造式を毎回設定して解けばいいので,下に紹介する 剰余の定理は存在を知らなくても大きな問題にはなりません. 剰余の定理
剰余の定理(remainder theorem)とは,整式を1次式で割ったときの余りに関する定理です. Ⅰ 整式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割るとき,余りは $P(\alpha)$ である. Ⅱ 整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割るとき,余りは $P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ である. ※ Ⅱ は Ⅰ の一般化です. 証明
例題と練習問題
例題
(1) 整式 $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めよ. (2) 整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $7$,$x+9$ で割ると余りが $2$ である.$P(x)$ を $(x-1)(x+9)$ で割った余りを求めよ. 講義
剰余の定理をダイレクトでは使わず,知らなくてもいいように答案を書いてみます. (2)は頻出の問題で,$(x-1)(x+9)$ ( $2$ 次式)で割った余りは $1$ 次式となるので,求める余りを $\color{red}{ax+b}$ とおきます. 解答
(1)
$x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの商を $Q(x)$ 余りを $r$ とすると
$x^{4}-3x^{2}+x+7=(x-2)Q(x)+r$
両辺に $x=2$ を代入すると
$5=r$
余りは $\boldsymbol{5}$
※ 実際に割り算を実行して求めてもいいですが計算が大変です. 0以上の物がいいですが、低くても構いません。 iPhone 4Kモニタで1K動画を見ると画質が1kモニタより悪くなると聞いたのですが、この理由がわかりません。 割り切れないような解像度の変更ならまだわかりますが、 動画1ドットの色を4ドットに表示するだけのスケーリングなので 画質が悪くなるとは思えないのですが。 簡単に理解できる説明できる方。よろしくおねがいします!!! 動画、映像 Macで動画編集ソフトのfilmoraを使用しています。今は無料版ですが、そろそろ有料版に変えるつもりです。 キーフレーム機能を使って、画像にアニメーションをつけているのですが、そのアニメーションを他に使いましたり出来ますか? ようは画像Aにキーフレームでつけたアニメーションと全く同じアニメーションを画像Bにも適用できますか?ということです。 よろしくお願いします。 (ちなみにAviUtlだと、アニメーションを着けた画像Aをコピペして、表示する画像をBに変えることでできるらしいです。直接アニメーションを追加できないなら、こういうことが出来るかも教えて欲しいです) 語彙力ないので、僕が何言ってるか分からなかったら言ってください。 動画、映像 ダビンチリゾルブ17で、複数のクリップをひとつにまとめる、ところまでできました。ここで、問題が発生、各クリップの映像の差は良いとしても、「音の高さをある程度揃える」をしておかないと、と思いました。 音だけ切り離して、音声ソフトで加工を考えましたが、ズレが発生する可能性大です。なんとか音の具合を揃える方法はないでしょうか。 動画、映像 Googleフォトで 知人に動画をGmailで送信しました。 わたしは動画をバックアップしていません。送信したせいか バックアップマークが見つかりません… 私がこの動画をデパイスから削除すると この動画はどうなりますか? 知人のデパイスの Googleフォトからも消えてしまいますか? おわかりになる方 ご回答よろしくお願い致します。 Google フォト PCでゲームを録画したくて、そのための録画ソフトって何かありますか? Zoomの画面共有で画質が悪い！ちらつく！どう対処したらいいの？ | まりもの気まぐれ日記. 無料なやつでお願いします。 編集ソフトはaviutlやゆっくりMovieMaker4を使う予定です。 動画、映像 MMD初心者です。 何が何だか分かっていないので分かりずらい文章でしたら申し訳ありません。 自作でモデルを作り人様からモーション、表情モーションをお借りして読み込んだのですが目や眉毛は動くのですが何故か口だけピクリとも動きません。自作のモデルの表情設定に問題があるのかMMDの設定に問題があるのかお伺いしたいです。よろしくお願いいたします。 動画、映像 前までレイヤーの上に拡大? インスタのストーリーの画像サイズ
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