実践演習 方程式・不等式・関数系 2020年11月26日 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) コーシー・シュワルツの不等式と呼ばれる有名不等式です。 今は範囲外ですが、行列という分野の中で「ケーリー・ハミルトンの定理」というものがあります。 参考書によっては「ハミルトン・ケーリーの定理」などとも呼ばれており、呼び方論争もあります。 コーシーシュワルツの不等式はシュワルツ・コーシーの不等式とは呼ばれません。 なぜでしょうか?
どんなときにコーシ―シュワルツの不等式をつかうの? コーシ―シュワルツの不等式を利用した解法を知りたい コーシ―シュワルツの不等式を使う時のコツを知りたい この記事では、数学検定1級を所持している管理人が、コーシーシュワルツの不等式の使い方について分かりやすく解説していきます。 \(n=2 \) の場合について、3パターンの使い方をご紹介します。やさしい順に並べてありますので、少しずつステップアップしていきましょう! レベル3で扱うのは1995年東京大学理系の問題ですが、恐れることはありません。コーシ―シュワルツの不等式を使うと、驚くほど簡単に問題が解けますよ。 答えを出すまでの考え方についても紹介しました ので、これを機にコーシーシュワルツの不等式を使いこなせるように頑張ってみませんか? コーシ―・シュワルツの不等式 \begin{align*} (a^2\! +\! 2351(コーシー・シュワルツの不等式の使い方) | 大学受験 高校数学 ポイント集. b^2)(x^2\! +\! y^2)≧(ax\! +\! by)^2%&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(ax+by+cz)^2 \end{align*}等号は\( \displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}}\) のとき成立 コーシーシュワルツの覚え方・証明の仕方については次の記事も参考にしてみてください。 【コーシー・シュワルツの不等式】を4通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」 コーシーシュワルツの不等式については、次の本が詳しいです。 リンク それでは見ていきましょう。 レベル1 \[ x^2+y^2=1\]のとき\(2x+y\)の最大値と最小値を求めなさい この問題はコーシ―シュワルツの不等式を使わなくても簡単に解けますが、はじめてコーシーシュワルツ不等式の使い方を学ぶには最適です。 なぜコーシーシュワルツの不等式を使おうと考えたのか?
コーシー・シュワルツの不等式を利用して最小値を求める コーシー・シュワルツの不等式 を利用して,次の関数の最大値と最小値を求めよ. $f(x, ~y)=x+2y$ ただし,$x^2 + y^2 = 1$とする. $f(x, ~y, ~z)=x+2y+3z$ ただし,$x^2 + y^2 + z^2 = 1$とする. $a = 1, b = 2$ とすると, コーシー・シュワルツの不等式より $\blacktriangleleft(ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ (x+2y)^2\leqq(1^2+2^2)(x^2+y^2) さらに,条件より $x^2 + y^2 = 1$ であるから &\quad(x+2y)^2\leqq5\\ &\Leftrightarrow~-\sqrt{5}\leqq x+2y\leqq\sqrt{5} $\tag{1}\label{kosishuwarutunohutousikisaisyouti1} $ が成り立つ. コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - MathWills. $\eqref{kosishuwarutunohutousikisaisyouti1}$の等号が成り立つのは x:y=1:2 のときである. $x = k,y = 2k$ とおき,$\blacktriangleleft$ 比例式 の知識を使った $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると &k^2+(2k)^2=1\\ \Leftrightarrow~&k=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5} このとき,等号が成り立つ. 以上より,最大値$f\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, ~\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\boldsymbol{\sqrt{5}}$ , 最小値 $f\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}, ~-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\boldsymbol-{\sqrt{5}}$ となる. $a = 1,b = 2,c = 3$ とすると, コーシー・シュワルツの不等式より $\blacktriangleleft(ax+by+cz)^2$ $\leqq(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$ &(x+2y+3z)^2\\ &\leqq(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2) さらに,条件より $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ であるから &(x+2y+3z)^2\leqq14\\ \Leftrightarrow&~-\sqrt{14}\leqq x+2y+3z\leqq\sqrt{14} \end{align} $\tag{2}\label{kosishuwarutunohutousikisaisyouti2}$ が成り立つ.
(この方法以外にも,帰納法でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数\(t\)に対して,
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
これが任意の\(t\)について成り立つので,\(f(t)=0\)の判別式を\(D\)とすると\(D/4\leqq 0\)が成り立ち,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
よって,
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
その他の形のコーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります. 1. コーシー・シュワルツの不等式|思考力を鍛える数学. (複素数)
\(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2\)
\(\alpha_k, \beta_k\)は複素数で,複素数の絶対値は,\(\alpha=a+bi\)に対して\(|\alpha|^2=a^2+b^2\). 2. (定積分)
\(\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2\)
但し,閉区間[a, b]で\(f_k(x), g_k(x)\)は連続かつ非負,また,\(a 2016/4/15
2019/8/15
高校範囲を超える定理など, 定義・定理・公式など
この記事の所要時間: 約 5 分 12 秒
コーシー・シュワルツの不等式とラグランジュの恒等式
以前の記事「 コーシー・シュワルツの不等式 」の続きとして, 前回書かなかった別の証明方法を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式は次のような不等式です. ・\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2\)
等号は\(a:x=b:y\)のときのみ
・\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2\)
等号は\(a:x=b:y=c:z\)のときのみ
・\((a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geqq(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\)
等号は\(a_1:x_1=a_2:x_2=\cdots=a_n:x_n\)のときのみ
但し, \(a, b, c, x, y, z, a_1, \cdots, a_n, x_1, \cdots, x_n\)は実数. 利用する例などは 前回の記事 を参照してください. 証明. 1. ラグランジュの恒等式の利用
ラグランジュの恒等式
\[\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)=\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k \right)^2+\sum_{1\leqq k コーシーシュワルツの不等式使い方【頭の中】
まず、問題で与えられた不等式の左辺と右辺を反対にしてみます。
\[ k\sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y}\]
この不等式の両辺は正なので2乗すると
\[ k^2(2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\]
この式をコーシ―シュワルツの不等式と見比べます。
ここでちょっと試行錯誤をしてみましょう。
例えば、右辺のカッコ内の式を\( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y}\)とみて、コーシ―シュワルツの不等式を適用すると
(1^2+1^2) \{ (\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2 \} \\
≧( 1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{y})^2
\[ 2\underline{(x+y)}≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \]
上手くいきません。実際にはアンダーラインの部分を\( 2x+y \) にしたいので、少し強引ですが次のように調整します。
\left\{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\! \! 2}+1^2 \right\} \left\{ (\sqrt{2x})^2+(\sqrt{y})^2\right\} \\
≧\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \! \sqrt{2x}+1\cdot \! \sqrt{y}\right)^2
これより
\frac{3}{2} (2x+y)≧(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2
両辺を2分の1乗して
\sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{2x+y}≧\sqrt{x}+\sqrt{y}
\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ \frac{\sqrt{6}}{2}
ここで、問題文で与えられた式を変形してみると
\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}≦ k
ですので、最小値の候補は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \) となります。
次に等号について調べます。
\frac{\sqrt{2x}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{y}}{1}
より\( y=4x \)
つまり\( x:y=1:4\)のとき等号が成り立ちます。
これより\( k\) の最小値は\( \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}} \)で確定です。
コーシーシュワルツの不等式の使い方 まとめ
今回は\( n=2 \) の場合について、コーシ―シュワルツの不等式の使い方をご紹介しました。
コーシ―シュワルツの不等式が使えるのは主に次の場合です。
こんな場合に使える! 転載元:
696: 1/2 2008/05/05(月) 22:18:29 書いてたら長くなったので二つに分けます。 会社の先輩(女。結婚退職済み)の結婚式があったので行ってきました。 先輩は別の会社に長くつきあってる彼氏がいる、と聞いていたので、 結婚退職をされた時にも「その彼氏と結婚するんだな」と思っていました。 ところが招待状が届いてみると、新郎は同じ会社の人。同僚の全てに嫌われてるような奴。 女優のことを男好きな女と呼んだり、取引先に行って商談がまとまらないと 「僕、今日のスーツはアルマーニなんですけどね! と誘って楽しんでくれてるか反応を見る」(27歳/ホテル・旅行・アミューズメント/販売職・サービス系)
あえてデートや食事などに誘って、相手の反応をうかがってみるという作戦です。タイミングを変えて何度か誘ってみても、すべて冷たく断られてしまったら、やはり嫌われている可能性が高くなるでしょう。 あえて明るくふるまう 「好きな人に嫌われた」と思ってしょんぼりした態度でいると、勘違いだった場合に不審感を与えてしまいます。嫌っていた場合はネガティブなオーラでさらに嫌われてしまうかもしれません。ここはあえて明るくふるまい、好きな人に対してもへこんでるように見せずに反応を見ます。仮にあなたを嫌っていたとしても、明るい笑顔を見て気持ちが前向きに変わる可能性もありますよ! 嫌われる原因はこんなとこかも? 興味のない男性にはモテるのに、なぜか好きになった人には毎回のように煙たがられる女性っていますよね? 実は筆者自身もかつてはそのタイプで、いつも好きでもない男性達とばかりデートを重ねていました。恋活や婚活では決してモテない訳ではないのに、なぜか肝心の片思いの相手にはアプローチすると嫌がられてばかり……。
どうせ付き合うなら、誰だって好きな人と結ばれたいですよね?そこで今回の記事では、筆者自身の過去の恋愛や、恋活で遭遇した女性達を改めて振り返った上で、なぜか好きになる人に限って毎回嫌われてしまう女性の特徴をご紹介します。
どうでもいい人にはデートに誘われるのに意中の相手からは全く相手にされない、好きな人にアプローチすればするほど逃げられてしまう女性はぜひ参考にして下さいね。
好きな人に嫌われてしまう女性がとってしまう言動って? 嫌われた原因を活かして次の恋に進むのも一つ! 好きな人に嫌われてしまった…すごくショックですよね。
何とかやり直したい、もう一度好かれたい、と奮闘するもなかなか上手くいかず心が擦り切れてしまうことも。
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好きな人に嫌われたときこそ、自分を改善するチャンス
好きな人に嫌われたようなサインを見せられたら、とても悲しい気持ちになりますよね。
しかし、そんなときこそ自分を振り返り成長させる チャンス です。
嫌われた原因を見つけ出し、改善することでより素敵な人になれるはず です。
以前より 魅力的 になったあなたは、好きな人の心をつかめるかもしれません。
ピンチをチャンスに変えられるように、自分を改善してみてくださいね。
まとめ
好きな人に嫌われたのはネガティブ発言の連発や下品な態度が原因かもしれない
嫌いな異性には目を合わせない・会話をすぐに切り上げるなどの態度をとることが多い
好きな人に嫌われたら原因を考えて改善しよう
脈なしと分かれば諦めも肝心である$\eqref{kosishuwarutunohutousikisaisyouti2}$の等号が成り立つのは
x:y:z=1:2:3
のときである. $x = k,y = 2k,z = 3k$ とおき, $ x^2 + y^2 + z^2 = 1$ に代入すると $\blacktriangleleft$ 比例式 の知識を使った. &k^2+(2k)^2+(3k)^2=1\\
\Leftrightarrow~&k=\pm\dfrac{\sqrt{14}}{14}
このとき,等号が成り立つ. 以上より,最大値 $f\left(\dfrac{\sqrt{14}}{14}, ~\dfrac{2\sqrt{14}}{14}, ~\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\right)$
$=\boldsymbol{\sqrt{14}}$ , 最小値 $f\left(-\dfrac{\sqrt{14}}{14}, ~-\dfrac{2\sqrt{14}}{14}, ~-\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\right)$
$=\boldsymbol{-\sqrt{14}}$ となる. 吹き出しコーシー・シュワルツの不等式とは何か コーシー・シュワルツの不等式 は\FTEXT 数学Bで学習する ベクトルの内積 の知識を用いて
\left(\vec{m}\cdot\vec{n}\right)^2\leqq|\vec{m}|^2|\vec{n}|^2
と表すことができる. もし,ベクトルを学習済みであったら,$\vec{m}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix},\vec{n}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$を上の式に代入して確認してみよう.
コーシー・シュワルツの不等式|思考力を鍛える数学
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嫌われた、と思ったら、やはり不安になってしまうものですよね。その状態をなんとか改善しようとして、しつこく相手に迫ったり、メッセージアプリ、メールを送り続けたりすると、 逆効果 になってしまう ものなのです。
というのも、嫌だなぁ、ちょっと苦手だなぁ、と思っている人から、あなたも同じようなことをされたらどう思いますか?やはり、気持ちが良いものではありませんよね。そういった時は、 少し距離をとってみましょう 。
人の心というのは案外変わりやすいものがあるのです。あなたが、他のことに集中し、楽しそうにしているだけでも、相手の心と言うのは変わっていくものなのです。
まとめ
嫌われてしまったかも、疎遠になろうとされているのかも、とあなたは不安になっているのかもしれませんね。しかし、 あなたの今後の態度次第で、どうにでもなるものなの です。
相手のことを思いやり、そして気を遣ってあげましょう。それが押し付けがましくなく、かつ、自分のためでなければ、相手も、あなたのことを許してくれるはず。
まず、相手の求めていることを観察して、ニーズに合わせていきましょう。思い詰めないことが1番ですよ。
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