二項定理の多項式の係数を求めるには? 二項定理の問題でよく出てくるのが、係数を求める問題。 ですが、上で説明した二項定理の意味がわかっていれば、すぐに答えが出せるはずです。 【問題1】(x+y)⁵の展開式における、次の項の係数を求めよ。 ①x³y² ②x⁴y 【解答1】 ①5つの(x+y)のうち3つでxを選択するので、5C3=10 よって、10 ②5つの(x+y)のうち4つでxを選択するので、5C4=5 よって、5 【問題2】(a-2b)⁶の展開式における、次の項の係数を求めよ。 ①a⁴b² ②ab⁵ 【解答2】 この問題で気をつけなければならないのが、bの係数が「-2」であること。 の式に当てはめて考えてみましょう。 ①x=a, y=-2b、n=6を☆に代入して考えると、 a⁴b²の項は、 6C4a⁴(-2b)² =15×4a⁴b² =60a⁴b² よって、求める係数は60。 ここで気をつけなければならないのは、単純に6C4ではないということです。 もともとの文字に係数がついている場合、その文字をかけるたびに係数もかけられるので、最終的に求める係数は [組み合わせの数]×[もともとの文字についていた係数を求められた回数だけ乗したもの] となります。 今回の場合は、 組み合わせの数=6C4 もともとの文字についていた係数= -2 求められた回数=2 なので、求める係数は 6C4×(-2)²=60 なのです! ② ①と同様に考えて、 6C1×(-2)⁵ = -192 よって、求める係数は-192 二項定理の分母が文字の分数を含む多項式で、定数項を求めるには? さて、少し応用問題です。 以下の多項式の、定数項を求めてください。 少し複雑ですが、「xと1/xで定数を作るには、xを何回選べばいいか」と考えればわかりやすいのではないでしょうか。 以上より、xと1/xは同じ数だけ掛け合わせると、お互いに打ち消し合い定数が生まれます。 つまり、6つの(x-1/x)からxと1/xのどちらを掛けるか選ぶとき、お互いに打ち消し合うには xを3回 1/xを3回 掛ければいいのです! 6つの中から3つ選ぶ方法は 6C3 = 20通り あります。 つまり、 が20個あるということ。よって、定数項は1×20 = 20です。 二項定理の有名な公式を解説! ここでは、大学受験で使える二項定理の有名な公式を3つ説明します。 「何かを選ぶということは、他を選ばなかったということ」 まずはこちらの公式。 文字のままだとわかりにくい方は、数字を入れてみてください。 6C4 = 6C2 5C3 = 5C2 8C7 = 8C1 などなど。イメージがつかめたでしょうか。 この公式は、「何かを選ぶということは、他を選ばなかったということ」を理解出来れば納得することができるでしょう。 「旅行に行く人を6人中から4人選ぶ」方法は「旅行に行かない2人を選ぶ」方法と同じだけあるし、 「5人中2人選んで委員にする」方法は「委員にならない3人を選ぶ」方法と同じだけありますよね。 つまり、 [n個の選択肢からk個を選ぶ] = [n個の選択肢からn-k個を選ぶ] よって、 なのです!
他にも,つぎのように組合せ的に理解することもできます. 二項定理の応用 二項定理は非常に汎用性が高く実に様々な分野で応用されます.数学の別の定理を証明するために使われたり,数学の問題を解くために利用することもできます. 剰余 累乗数のあまりを求める問題に応用できる場合があります. 例題 $31^{30}$ を $900$ で割ったあまりを求めよ. $$31^{30}=(30+1)^{30}={}_{30} \mathrm{C} _0 30^0+\underline{{}_{30} \mathrm{C} _{1} 30^1+ {}_{30} \mathrm{C} _{2} 30^2+\cdots +{}_{30} \mathrm{C} _{30} 30^{30}}$$ 下線部の各項はすべて $900$ の倍数です.したがって,$31^{30}$ を $900$ で割ったあまりは,${}_{30} \mathrm{C} _0 30^0=1$ となります. 不等式 不等式の証明に利用できる場合があります. 例題 $n$ を自然数とするとき,$3^n >n^2$ を示せ. $n=1$ のとき,$3>1$ なので,成り立ちます. $n\ge 2$ とします.このとき, $$3^n=(1+2)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k 2^k > {}_n \mathrm{C} _2 2^2=2(n^2-n) \ge n^2$$ よって,自然数 $n$ に対して,$3^n >n^2$ が成り立ちます. 示すべき不等式の左辺と右辺は $n$ の指数関数と $n$ の多項式で,比較しにくい形になっています.そこで,二項定理を用いて,$n$ の指数関数を $n$ の多項式で表すことによって,多項式同士の評価に持ち込んでいるのです. その他 サイト内でもよく二項定理を用いているので,ぜひ参考にしてみてください. ・ →フェルマーの小定理の証明 ・ →包除原理の意味と証明 ・ →整数係数多項式の一般論
二項定理は非常に汎用性が高く,いろいろなところで登場します. ⇨予備知識 二項定理とは $(x+y)^2$ を展開すると,$(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$ となります. また,$(x+y)^3$ を展開すると,$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ となります.このあたりは多くの人が公式として覚えているはずです.では,指数をさらに大きくして,$(x+y)^4, (x+y)^5,... $ の展開は一般にどうなるでしょうか. 一般の自然数 $n$ について,$(x+y)^n$ の展開の結果を表すのが 二項定理 です. 二項定理: $$\large (x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{n-k}y^{k}$$ ここで,$n$ は自然数で,$x, y$ はどのような数でもよいです.定数でも変数でも構いません. たとえば,$n=4$ のときは, $$(x+y)^4= \sum_{k=0}^4 {}_4 \mathrm{C} _k x^{4-k}y^{k}={}_4 \mathrm{C} _0 x^4+{}_4 \mathrm{C} _1 x^3y+{}_4 \mathrm{C} _2 x^2y^2+{}_4 \mathrm{C} _3 xy^3+{}_4 \mathrm{C} _4 y^4$$ ここで,二項係数の公式 ${}_n \mathrm{C} _k=\frac{n! }{k! (n-k)! }$ を用いると, $$=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$$ と求められます. 注意 ・二項係数について,${}_n \mathrm{C} _k={}_n \mathrm{C} _{n-k}$ が成り立つので,$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{k}y^{n-k}$ と書いても同じことです.これはつまり,$x$ と $y$ について対称性があるということですが,左辺の $(x+y)^n$ は対称式なので,右辺も対称式になることは明らかです. ・和は $0$ から $n$ までとっていることに気をつけて下さい. ($1$ からではない!) したがって,右辺は $n+1$ 項の和という形になっています. 二項定理の証明 二項定理は数学的帰納法を用いて証明することができます.
数学的帰納法による証明: (i) $n=1$ のとき,明らかに等式は成り立つ. (ii) $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{n-k}y^{k}$ が成り立つと仮定して, $$(x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1} \mathrm{C} _k\ x^{n+1-k}y^{k}$$ が成り立つことを示す.
二項定理の応用です。これもパターンで覚えておきましょう。ずばり $$ \frac{8! }{3! 2! 3! }=560 $$ イメージとしては1~8までを並べ替えたあと,1~3はaに,4~5はbに,6~8はcに置き換えます。全部で8! 通りありますが,1~3が全部aに変わってるので「1, 2, 3」「1, 3, 2」,「2, 1, 3」, 「2, 3, 1」,「3, 1, 2」,「3, 2, 1」の6通り分すべて重複して数えています。なので3! で割ります。同様にbも2つ重複,cも3つ重複なので全部割ります。 なのですがこの説明が少し理解しにくい人もいるかもしれません。とにかくこのタイプはそれぞれの指数部分の階乗で割っていく,と覚えておけばそれで問題ないです。 では最後にここまでの応用問題を出してみます。 例題6 :\( \displaystyle \left(x^2-x+\frac{3}{x}\right)^7\)を展開したときの\(x^9\)の係数はいくらか?
高校数学Ⅱ 式と証明 2020. 03. 24 検索用コード 400で割ったときの余りが0であるから無視してよい. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 下線部は, \ 下位5桁が00000であるから無視してよい. (1)\ \ 400=20^2\, であることに着目し, \ \bm{19=20-1として二項展開する. } \\[. 2zh] \phantom{(1)}\ \ 下線部の項はすべて20^2\, を含むので, \ 下線部は400で割り切れる. \\[. 2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局, \ それ以外の部分を400で割ったときの余りを求めることになる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 計算すると-519となるが, \ 余りを答えるときは以下の点に注意が必要である. 2zh] \phantom{(1)}\ \ 整数の割り算において, \ 整数aを整数bで割ったときの商をq, \ 余りをrとする. 2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき, \ \bm{a=bq+r\)}\ が成り立つ. ="" \\[. 2zh]="" \phantom{(1)}\="" \="" つまり, \="" b="400で割ったときの余りrは, \" 0\leqq="" r<400を満たす整数で答えなければならない. ="" よって, \="" -\, 519="400(-\, 1)-119だからといって余りを-119と答えるのは誤りである. " r<400を満たすように整数qを調整すると, \="" \bm{-\, 519="400(-\, 2)+281}\, となる. " \\[1zh]="" (2)\="" \bm{下位5桁は100000で割ったときの余り}のことであるから, \="" 本質的に(1)と同じである. ="" 100000="10^5であることに着目し, \" \bm{99="100-1として二項展開する. }" 100^3="1000000であるから, \" 下線部は下位5桁に影響しない. ="" それ以外の部分を実際に計算し, \="" 下位5桁を答えればよい. ="" \\[. 2zh]<="" div="">
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 二項定理はアルファベットや変な記号がたくさん出てきてよくわかんない! というあなた。 確かに二項定理はぱっと見だと寄り付きにくいですが、それは公式を文字だけで覚えようとしているから。「意味」を考えれば、当たり前の式として理解し、覚えることができます。 この記事では、二項定理を証明し、意味を説明してから、実際の問題を解いてみます。さらに応用編として、二項定理の有名な公式を証明したあとに、大学受験レベルの問題の解き方も解説します。 二項定理は一度慣れてしまえば、パズルのようで面白い単元です。ぜひマスターしてください!
2 分煮詰めます。 最後にお酢大さじ 2 を加えて火を止めます。 このソースをタッパーに入れて、焼いたシャケを並びいれ冷めたら冷蔵庫で保管します。 冷めた方が美味しいですよ。 ・ 豚肉とちくわ炒め 豚肉は細切れにしてお酒をふっておきます。 ちくわは斜め切りにします。 フライパンにごま油を敷いて豚肉を炒めていきます。 豚肉の色が変わってきたらちくわも入れて炒めます。 お酒、お砂糖、お醤油それぞれ大さじ 2 を良く混ぜて回しかけ、水分が飛ぶまで炒めます。 まとめ お弁当だけでなく食物は、生ぬるい状態が一番いけません。 お弁当を長持ちさせるには、 ・キッチンを清潔にしてから調理する ・生ものは入れない ・おかずにしっかり火を通す ・味付けを濃くする ・おかずは冷めてから詰める ・保冷剤を使う などがありましたね。 それぞれの環境によってお弁当の持ち方も変わってくるので、 自分の目と鼻そして舌で確かめて、おかしいなと思ったら食べないようにしましょうね。
弁当の数が増えると厳しい 我が家のお弁当は、私と妻の2つなので、今のところ問題ありませんが、子供が増えて4つ、5つと増えるとおかずが足りなくなり厳しいかもしれません。 3. ご飯は朝冷やした方が良い ご飯は冷蔵庫で保存すると固くなってしまうので、朝炊くか、冷凍を温めてたものをお弁当に詰めて、冷ました方が美味しく食べられます。気にならない方は冷蔵保存でも大丈夫だと思いますが。 まとめ 私は、朝にお弁当を作っていた頃よりも、夜に作り始めてかなり楽になりました。朝早く起きるのがツラい、朝作る時間がないという人にはかなりオススメです。みなさんも一度夜にお弁当を作ってみたらいかがでしょうか。
子どものお弁当は もちろん、 家計の節約 にも お弁当は効果的ですね♪ でも、お弁当って どのくらい持つのかな? と ふと思うことって ありませんか? 忙しい朝に お弁当を作るのは とっても大変ですが、 せっかく家族のために 作ったお弁当。 食べるときには 傷んだりしてないかな? と 衛生的 に大丈夫なのか ちょっと心配になったり… そこで今回は、 お弁当は常温で 何時間もつのかについて 調べてみました! Sponsored Link お弁当は朝作ってから何時間もつの? さっそくですが、 何時間もつのか? というのは お弁当を持っていくところの 気候や条件 など 保存状態によって 変わってきます! 朝作ったお弁当夜食べるのは夏でも問題なし？冷蔵庫保存ならOK?. お弁当がどれぐらい持つかは気温が関係していた! お弁当がもつかどうかは 気温 が大きく 関係しているんです! お弁当の中で 菌が活発に 繁殖し始めるのは、 およそ 35度前後。 この温度が 一番増殖するので 要注意です!! 35度というと まさに 真夏の外の気温 と 一緒ですね。 傷み始める時間は? では、 お弁当を作ってから 何時間で 傷み始めるのでしょうか? これは そのときの気温によっても だいぶ変わりますが、 30度~35度 で 常温保存した場合には およそ 2~3時間 で 菌は 爆発的に増加 し、 傷み始めます! 気温が 関係しているとはいえ、 まさか 2~3時間 という 短い時間で 菌が増えるとは 怖すぎます… 朝の6~7時ごろに お弁当を作ったとして お昼を食べるのが 12時とすると、 その時点ですでに 5~6時間 ほどは 経過しています。 これが冷房も きいていないところや、 通勤や通学の 時間が長くて 外で持ち歩いていれば お昼を食べるころには お弁当は 傷んでしまいます(泣) また、 傷みやすい温度の 35度より 低い場合 は、 朝作ってから 約6~7時間 は 安全だといえます。 ちょうどお昼すぎに 食べ終わると GOODですね☆ 傷み始めるかの鍵は 栄養・温度・水分。 この3つが揃うと 繁殖しやすくなる ので 注意が必要ですよ!! お弁当は常温で置いておいても平気? 常温といっても 環境や季節 によって 違いが出てきます。 夏と冬だと だいぶ気温の差が ありますよね! 夏は危険というのは なんとなく分かりますが、 それなら気温の低い冬は 安心なのかと思いきや そういうわけでも ありません。 冬の場合は、 会社や学校などで 暖房をつけていると ころが 多いですが、 その部屋にお弁当を置き 放置 していると、 菌は一気に繁殖する 危険性があります(驚) 冬でも 油断大敵 なんですね!!
お弁当は常温で何時間もつのか まとめ まとめましたが、 いかがでしたか? 気温が大きく関係している ということが 分かりました! 繁殖し始めるのは およそ35度前後。 一番増殖する ので 要注意ですよ!! 菌は爆発的に増加し、 傷み始めます。 一方、 35度前後より低い場合は また、常温で置いても 傷みにくいポイントも 10個 ありました! ぜひ、 毎日のお弁当作りに 役立ててくださいね♪ - その他, 豆知識
うちも毎日お弁当作ってます! 子供のお弁当も夫のお弁当も、 梅雨時期や夏の暑い時期になると大丈夫かなぁと心配になります。 でも、だいたい朝作ったお弁当って、 どれくらいもつものなのでしょうか? 長持ちするおかずのレシピ などもご紹介していきます。 スポンサードリンク 1日以上冷蔵庫に入れておいたお弁当は大丈夫? 朝作る塾弁の消費期限は？食中毒は絶対回避しよう！ - 学問のオススメ. お弁当の中身にもよりますし、どうやって作ったか、雑菌がどれだけ付いてるかなどにもよりますが、 冷蔵庫に保存していたのなら、次の日くらいは大丈夫です。 うちにも何度かご近所さんが、高級レストランのお弁当を持ってきてくださった事があったのですが、 もう私たちは早くに夕食を済ませていたので、次の日のランチとしていただきましたが、とっても美味しかったです。 でも、お刺身や生物は無理。 臭いは大丈夫みたいでしたが、食中毒を起こしたくなかったので食べませんでした。 唐揚げやトンカツなんかは、チンしなくても美味しかったですし、煮物やお漬物も最高でしたよ。 そういう私も娘と娘のお友達に、チャーハンと卵焼きのお弁当を作って持って行った事があります。 でもタッチの差でみんなが食事を済ませていて、冷蔵庫に保管。 次の日のお昼にみんなで、チンしてワイワイ食べたそうです。 昼間だとお弁当にいくつ保冷剤置けば良い? これも 職場や学校の状況、その日の気温 などによって随分変わってきますが、 私はいつも 保冷剤 3 つ 入れていました。 そのままお弁当の上に置くと、水っぽくなるので 薄いハンカチなどで包んでから置くと良いですよ。 あなたの職場の環境によって変わってきますので、色々試してみましょうね。 お弁当を長持ちさせる工夫ってある? ・ 調理する時に清潔を保つ お弁当のおかずを調理する自分の手はもちろん、まな板や包丁も良く洗ってあるでしょうか? この時に雑菌が付着すると後で、 食中毒の原因 になります。 ・ 生ものは入れない 野菜の葉っぱものや、お刺身、明太子、巻き寿司などは長持ちしないので入れないようにします。 彩りを考えたかったら、プチトマトのヘタをとって入れたりすると良いでしょう。 他にも今はキャラ弁ブームで、色々あります。 @ のりパラダイスプチ 忙しい朝でもこんなに可愛いのりがあれば、サッと作れて子供がフタを開けたら大喜びしそうです。 @ 葉っぱのピック お弁当には緑のカラーを入れるのが難しいのですが、こんなに可愛い葉っぱのピックで代用できます。 プチトマトがさくらんぼに早変わりです!