5. 1 [ 編集] が奇素数のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で と互いに素なものは と一意的にあらわせる。 の場合はどうか。 であるから、 の位数は である。 であり、 を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものの個数は 個である。したがって、次の事実がわかる: のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものは と一意的にあらわせる。 に対し は 8 を法として 7 と合同な剰余類を一意的に表している。同様に に対し は 8 を法として 5 と合同な剰余類を一意的に表している。よって2の冪を法とする剰余類について次のことがわかる。 定理 2. 2 [ 編集] のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類は と一意的にあらわせる。 以上のことから、次の定理が従う。 定理 2. 3 [ 編集] 素数冪 に対し を ( または のとき) ( のとき) により定めると で割り切れない整数 に対し が成り立つ。そして の位数は の約数である。さらに 位数が に一致する が存在する。 一般の場合 [ 編集] 定理 2. 初等整数論/合同式 - Wikibooks. 3 と 中国の剰余定理 から、一般の整数 を法とする場合の結果がすぐに導かれる。 定理 2. 4 [ 編集] と素因数分解する。 を の最小公倍数とすると と互いに素整数 に対し ここで定義した関数 をカーマイケル関数という(なお と定める)。定義から は の約数であるが、 ( は奇素数)の場合を除いて は よりも小さい。
(i)-(v) は多項式に対してもそのまま成り立つことが容易にわかる。実際、例えば ならば となる整数係数の多項式 が存在するから が成り立つ。 合同方程式とは、多項式 とある整数 における法について、 という形の式である。定理 2. 1 より だから、 まで全て代入して確かめてみれば原理的には解けるのである。 について、各係数 を他の合同な数で置き換えても良い。特に、法 で割り切れるときは、その項を消去しても良い。この操作をしたとき、 のとき、この合同式を n 次といい、 合同式 が n 次であることの必要十分条件は となる多項式 の中で最低次数のものが n 次であることである。そのような の最高次、つまり n 次の係数は で割り切れない(割り切れるならば、その係数を消去することで、さらに低い次数の、 と合同な多項式がとれるからである)。 を素数とすると、 が m 次の合同式で、 が n 次の合同式であるとき は m+n 次の合同式である。実際 となるように m次の多項式 と n 次の多項式 をとれば となる。ここで の m+n 次の係数は である。しかし は m 次の合同式で、 は n 次の合同式だから は で割り切れない。よって も で割り切れない(ここで法が素数であることを用いている)。よって は m+n 次の合同式である。 これは素数以外の法では一般に正しくない。たとえば となる。左辺の 1 次の係数同士を掛けると 6 を法として消えてしまうからである。 素数を法とする合同方程式について、以下の基本的な事実が成り立つ。 定理 2. 2 (合同方程式の基本定理) [ 編集] 法 が素数のとき、n 次の合同式 は高々 n 個の解を持つ。もちろん解は p を法として互いに不合同なものを数える。より強く、n 次の合同式 が互いに不合同な解 を持つならば、 と因数分解できる(特に である)。 n に関する数学的帰納法で証明する。 のときは と合同な 1次式を とおく。 であるから 定理 1. 初等整数論/合成数を法とする剰余類の構造 - Wikibooks. 8 より、 が と合同になるような が を法として、ただひとつ存在する。すなわち、 はただひとつの解を有する。そしてこのとき となる。 より定理は正しい。 n-1 次の合同式に対して定理が正しいと仮定し、 を n 次の合同式とする。 より となる多項式 が存在する。 より を得る。上の事実から は n-1 次の合同式である。 は素数なのだから、 定理 1.
1 (viii) より である限り となる が存在し、しかもそのような の属する剰余類はただ1つに定まることがわかる。特に となる の属する剰余類は乗法に関する の逆元である。これを であらわすことがある。このとき である。 また特に、法が素数のとき、0以外の剰余類はすべて逆元をもつので、この剰余系は(有限)体をなす。
1. 1 [ 編集] (i) (反射律) (ii) (対称律) (iii)(推移律) (iv) (v) (vi) (vii) を整数係数多項式とすれば、 (viii) ならば任意の整数 に対し、 となる が存在し を法としてただ1つに定まる(つまり を で割った余りが1つに定まる)。 証明 (i) は全ての整数で割り切れる。したがって、 (ii) なので、 したがって定義より (iii) (ii) より より、定理 1. 初等整数論/べき剰余 - Wikibooks. 1 から 定理 1. 1 より マイナスの方については、 を利用すれば良い。 問 マイナスの方を証明せよ。 ここで、 であることから、 とおく。すると、 ここで、 なので 定理 1. 6 より (vii) をまずは証明する。これは、 と を因数に持つことから自明である((v) を使い、帰納的に証明することもできる)。 さて、多変数の整数係数多項式とは、すなわち、 の総和である。先ほど証明したことから、 したがって、(v) を繰り返し使えば、一つの項についてこれは正しい。また、これらの項の総和が なのだから、(iv) を繰り返し使ってこれが証明される。 (viii) 定理 1. 8 から、このような が存在し、 を法として1つに定まることがすぐに従う(なお (vi) からも ならば であるから を法として1つに定まることがわかる)。 先ほどの問題 [ 編集] これを合同式を用いて解いてみよう。 であるから、定理 2.
いままでの議論から分かるように,線形定常な連立微分方程式の解法においては, の原像を求めることがすべてである. そのとき中心的な役割を果たすのが Cayley-Hamilton の定理 である.よく知られているように, の行列式を の固有多項式あるいは特性多項式という. が 次の行列ならば,それも の 次の多項式となる.いまそれを, とおくことにしよう.このとき, が成立する.これが Cayley-Hamilton の定理 である. 定理 5. 1 (Cayley-Hamilton) 行列 の固有多項式を とすると, が成立する. 証明 の余因子行列を とすると, と書ける. の要素は高々 次の の多項式であるので, と表すことができる.これと 式 (5. 16) とから, とおいて [1] ,左右の のべきの係数を等置すると, を得る [2] .これらの式から を消去すれば, が得られる. 式 (5. 19) から を消去する方法は, 上から順に を掛けて,それらをすべて加えればよい [3] . ^ 式 (5. 16) の両辺に を左から掛ける. 実際に展開すると、 の係数を比較して, したがって の項を移項して もう一つの方法は上の段の結果を下の段に代入し, の順に逐次消去してもよい. この方法をまとめておこう. と逐次多項式 を定義すれば, と書くことができる [1] . ただし, である.この結果より 式 (5. 18) は, となり,したがってまた, を得る [2] . 式 (5. 19) の を ,したがって, を , を を置き換える. を で表現することから, を の関数とし, に を代入する見通しである. 式 (5. 21) の両辺を でわると, すなわち 注意 式 (5. 19) は受験数学でなじみ深い 組立除法 , にほかならない. は余りである. 式 (5. 18) を見ると が で割り切れることを示している.よって剰余の定理より, を得る.つまり, Cayley-Hamilton の定理 は 剰余の定理 や 因数定理 と同じものである.それでは 式 (5. 18) の を とおいていきなり としてよいかという疑問が起きる.結論をいえばそれでよいのである.ただ注意しなければならないのは, 式 (5. 18) の等式は と と交換できることが前提になって成立している.
にある行列を代入したとき,その行列と が交換可能のときのみ,左右の式が等しくなる. 式 (5. 20) から明らかなように, と とは交換可能である [1] .それゆえ 式 (5. 18) に を代入して,この定理を証明してもよい.しかし,この証明法に従うときには, と の交換可能性を前もって別に証明しておかねばならない. で であるから と は可換, より,同様の理由で と は可換. 以下必要なだけ帰納的に続ければ と は可換であることがわかる. 例115 式 (5. 20) を用いずに, と が交換可能であることを示せ. 解答例 の逆行列が存在するならば, より, 式 (5. 16) , を代入して両辺に を掛ければ, , を代入して、両辺にあらわれる同じ のべき乗の係数を等置すると, すなわち, と は可換である.
4 [ 編集] と素因数分解する。 を法とする既約剰余類の個数は である。 ここで現れた を の オイラー関数 (Euler's totient) という。これは 円分多項式 の次数として現れたものである。 フェルマー・オイラーの定理 [ 編集] 中国の剰余定理から、フェルマーの小定理は次のように一般化される。 定理 2. 5 [ 編集] を と互いに素な整数とすると が成り立つ。 と互いに素な数で 1 から までのもの をとる。 中国の剰余定理から である。 はすべて と互いに素である。さらに、これらを で割ったとき余りはすべて異なっている。 よって、これらは と互いに素な数で 1 から までのものをちょうど1回ずつとる。 したがって、 である。積 も と互いに素であるから 素数を法とする場合と同様 を と互いに素な数とし、 となる最小の正の整数 を を法とする の位数と呼ぶ。 位数の法則 から が成り立つ。これと、フェルマー・オイラーの定理から位数は の約数であることがわかる(この は、多くの場合、より小さな値をとる関数で置き換えられることを 合成数を法とする剰余類の構造 で見る)。
2018. 09. 04 一緒に。もっと、 コラム ストレス 今回は ガニング亜紀 さんの記事です。 ガニング亜紀さんの他の記事はこちら → ガニングさんの記事一覧 犬のために流される音楽 アメリカの2500以上のアニマルシェルターで、犬たちのストレスレベルを下げ、吠え行動や興奮を軽減するために犬舎に流されている音楽があります。 作曲者はテリー・ウッドフォード氏。ウッドフォード氏の音楽は『ケーナイン・ララバイ(犬のための子守唄)』と呼ばれ、全国のシェルターのスタッフの間で絶大な評価を得ています。 ウッドフォード氏の音楽が科学的な研究の対象になったことはないのですが、現場での高い評価が広まり、アメリカ国内だけでなくイギリス、インド、オーストラリアのアニマルシェルターでも利用されています。 犬の心をしずめるのはどんな音楽?
The dogs also spent less time standing and barking when the music was being played. 出典元: BBCより(検索日2017/1/30) やはり、音楽を聴いていた犬の方が吠えたり立っている時間が少なかったという結果になっています。ちなみに、ストレスレベル低下の持続効果は短く、1日で元に戻ったケースもありました。 この調査をきっかけに、SPCAではスコトランドのグラスゴーとエディンバラの保護施設にある犬舎には犬が好む音楽のプレイリストを作って流しているそうです。なんて愛のある人達なんだろう!! まとめ 犬がリラックスする音楽は、クラシックよりもレゲエやソフトロックが良いことが分かりました。しかし、Neil Evans教授によると「人間と同じように、犬によって好みがあるだろう」とも書かれてありました。なんじゃそれ!! と思わず突っ込んでしまいましたが、 音楽が犬のストレスレベルを下げることには変わりありませんのでお忘れなく。 ちなみに、カラオケのチェーン店シダックスには「 ワンだふるルーム 」という犬とカラオケが楽しめる専用のお部屋があります。わたしもはじめて知りました。 実際に愛犬とカラオケに行ったレポブログ見つけましたよ。 「シダックス それ必要? ワンコとカラオケ!? 」 結論、もう行かないそうです笑 でも最近は、犬と行く陶芸教室や料理教室などもありますので「自分の愛犬には俺の美声が一番!」なんて方には良いのかもしれません。 さて、週末に愛犬と雪遊びに滋賀県に行ってきました! レポ記事を書こうと思ったのですがそれほどネタがなかったので・・・変わりに?大興奮する我が愛犬ノア氏を見てやってください!! 犬がリラックスする音楽. ※音量注意!