(i)-(v) は多項式に対してもそのまま成り立つことが容易にわかる。実際、例えば ならば となる整数係数の多項式 が存在するから が成り立つ。 合同方程式とは、多項式 とある整数 における法について、 という形の式である。定理 2. 1 より だから、 まで全て代入して確かめてみれば原理的には解けるのである。 について、各係数 を他の合同な数で置き換えても良い。特に、法 で割り切れるときは、その項を消去しても良い。この操作をしたとき、 のとき、この合同式を n 次といい、 合同式 が n 次であることの必要十分条件は となる多項式 の中で最低次数のものが n 次であることである。そのような の最高次、つまり n 次の係数は で割り切れない(割り切れるならば、その係数を消去することで、さらに低い次数の、 と合同な多項式がとれるからである)。 を素数とすると、 が m 次の合同式で、 が n 次の合同式であるとき は m+n 次の合同式である。実際 となるように m次の多項式 と n 次の多項式 をとれば となる。ここで の m+n 次の係数は である。しかし は m 次の合同式で、 は n 次の合同式だから は で割り切れない。よって も で割り切れない(ここで法が素数であることを用いている)。よって は m+n 次の合同式である。 これは素数以外の法では一般に正しくない。たとえば となる。左辺の 1 次の係数同士を掛けると 6 を法として消えてしまうからである。 素数を法とする合同方程式について、以下の基本的な事実が成り立つ。 定理 2. 2 (合同方程式の基本定理) [ 編集] 法 が素数のとき、n 次の合同式 は高々 n 個の解を持つ。もちろん解は p を法として互いに不合同なものを数える。より強く、n 次の合同式 が互いに不合同な解 を持つならば、 と因数分解できる(特に である)。 n に関する数学的帰納法で証明する。 のときは と合同な 1次式を とおく。 であるから 定理 1. 初等整数論/合成数を法とする剰余類の構造 - Wikibooks. 8 より、 が と合同になるような が を法として、ただひとつ存在する。すなわち、 はただひとつの解を有する。そしてこのとき となる。 より定理は正しい。 n-1 次の合同式に対して定理が正しいと仮定し、 を n 次の合同式とする。 より となる多項式 が存在する。 より を得る。上の事実から は n-1 次の合同式である。 は素数なのだから、 定理 1.
9 より と表せる。このとき、 となる。 とおくと、 となる。(4) より、 とおけば、 は で割り切れる。したがって、合同の定義より方程式の (1) を満たす。また、同様に (3) を用いることで、(2) をも満たすことは容易に証明される。 よって、解が存在することが証明された。 さて、その唯一性であるが、 を任意の解とすれば、 となる。また同様にして となる。したがって合同の定義より、 は の公倍数。 より、 は の倍数である。したがって となり、唯一性が保証された。 次に、定理を k に関する数学的帰納法で証明する。 (i) k = 1 のとき は が唯一の解である(除法の原理より唯一性は保証される)。 (ii) k = n のとき成り立つと仮定する 最初の n の式は、帰納法の仮定によって なる がただひとつ存在する。 ゆえに、 を解けば良い。仮定より、 であるから、k = 2 の場合に当てはめて、この方程式を満たす が、 を法としてただひとつ存在する。 したがって、k = n のとき成り立つならば k = n+1 のときも成り立つことが証明された。 (i)(ii) より数学的帰納法から定理が証明される。 証明 2 この証明はガウスによる。 とおき、 とおく。仮定より、 なので 定理 1. 8 から なる が存在する。 すると、連立合同方程式の解は、 となる。なぜなら任意の について、 となり、他の全ての項は の積なので で割り切れる。 したがって、 となる。よって が解である。 もちろん、各剰余類 に対し、 となる剰余類 はただ一つ存在する。このことから と は 1対1 に対応していることがわかる。 特に は各 に対して となることと同値である。 さて、 1より大きい整数 を と素因数分解すると、 はどの2つをとっても互いに素である。 ここで、次のことがわかる。 定理 2. 3 [ 編集] と素因数分解すると、任意の整数 について、 を満たす は を法としてただひとつ存在する。 さらに、ここで が成り立つ。 証明 前段は中国の剰余定理を に適用したものである。 ならば は の素因数であり、そうなると は の素因数になってしまい、 となってしまう。 逆に を共に割り切る素数があるとするとそれは のいずれかである。そのようなものを1つ取ると より となる。 この定理から、次のことがすぐにわかる。 定理 2.
初等整数論/フェルマーの小定理 で、フェルマーの小定理を用いて、素数を法とする剰余類の構造を調べたので、次に、一般の自然数を法とする合同式について考えたい。まず、素数の冪を法とする場合について考え、次に一般の法について考える。 を法とする合同式について [ 編集] を法とする剰余類は の 個ある。 ならば である。よってこのとき任意の に対し となる が一意的に定まる。このような剰余類 は の形に一意的に書けるから、ちょうど 個存在する。 一方、 が の倍数の場合、 となる が存在するかも定かでない。例えば などは解を持たない。 とおくと である。ここで、つぎの3つの場合に分かれる。 1. のとき よりこの合同式はすべての剰余類を解に持つ。 2. のとき つまり であるが より、この合同式は解を持たない。 3. のとき は よりただ1つの剰余類 を解に持つ。しかし は を法とする合同式である。よって、これはちょうど 個の剰余類 を解に持つ。 次に、合同方程式 が解を持つのはどのような場合か考える。そもそも が解を持たなければならないことは言うまでもない。まず、正の整数 に対して より が成り立つことから、次のことがわかる。 定理 2. 4. 1 [ 編集] を合同方程式 の解とする。このとき ならば となる がちょうど1つ定まる。 ならばそのような は存在しないか、 すべての に対して (*) が成り立つ。 数学的帰納法より、次の定理がすぐに導かれる。 定理 2. 2 [ 編集] を合同方程式 の解とする。 を整数とする。 このとき ならば となる はちょうど1つ定まる。 例 任意の素数 と正の整数 に対し、合同方程式 の解の個数は 個である。より詳しく、各 に対し、 となる が1個ずつある。 中国の剰余定理 [ 編集] 一般の合成数を法とする場合は素数冪を法とする場合に帰着される。具体的に、次のような問題を考えてみる。 問 7 で割って 6 余り、13 で割って 12 余り、19 で割って 18 余る数はいくつか? 答えは、7×13×19 - 1 である。さて、このような問題に関して、次の定理がある。 定理 ( w:中国の剰余定理) のどの2つをとっても互いに素であるとき、任意の整数 について、 を満たす は を法としてただひとつ存在する。(ここでの「ただひとつ」というのは、互いに合同なものは同じとみなすという意味である。) 証明 1 まず、 のときを証明する。 より、一次不定方程式に関する 定理 1.
1. 1 [ 編集] (i) (反射律) (ii) (対称律) (iii)(推移律) (iv) (v) (vi) (vii) を整数係数多項式とすれば、 (viii) ならば任意の整数 に対し、 となる が存在し を法としてただ1つに定まる(つまり を で割った余りが1つに定まる)。 証明 (i) は全ての整数で割り切れる。したがって、 (ii) なので、 したがって定義より (iii) (ii) より より、定理 1. 1 から 定理 1. 1 より マイナスの方については、 を利用すれば良い。 問 マイナスの方を証明せよ。 ここで、 であることから、 とおく。すると、 ここで、 なので 定理 1. 6 より (vii) をまずは証明する。これは、 と を因数に持つことから自明である((v) を使い、帰納的に証明することもできる)。 さて、多変数の整数係数多項式とは、すなわち、 の総和である。先ほど証明したことから、 したがって、(v) を繰り返し使えば、一つの項についてこれは正しい。また、これらの項の総和が なのだから、(iv) を繰り返し使ってこれが証明される。 (viii) 定理 1. 8 から、このような が存在し、 を法として1つに定まることがすぐに従う(なお (vi) からも ならば であるから を法として1つに定まることがわかる)。 先ほどの問題 [ 編集] これを合同式を用いて解いてみよう。 であるから、定理 2.
2016年に開催されたリオデジャネイロオリンピックで話題になったのは、 内村航平さんの二重 なんですよね。 リオ五輪では内村航平さんの二重が話題に!
— 宇多田三四郎 (@utadasanshiro) September 30, 2018 このとき、お二人の関係は世間にも公認でしたし、家族ぐるみの付き合いがあるらしく、誰しもが「ああ、二人はいつか結婚するんだろうなぁ」なんて思ったりも。 ただ、 2012年ロンドン五輪に集中させたい! とのことで、 2011年の夏くらいから少し距離を置いた そうですね。 ここまでで、 岡部紗季子さんとのお付き合いはざっくり 2011年の夏まで 。 そして 上谷千穂(内村千穂)さんとは 2011年の10月から 。 この 「夏から10月まで」の微妙な期間が、世間に変な誤解を与えた んです。 ③:できちゃった結婚 なぬ…!内村航平でき婚か~い! — ゆ (@yurue7) December 4, 2012 内村航平マジできちゃったあああああ ( @konami573ch live at) — 槌賊 (@tsutizoku) December 27, 2012 金メダリストの内村航平とかけまして、できちゃった結婚の内村航平と解きます。その心は、どちらも床(ゆか・とこ)上手でしょう。 — たくまっくま (@taaakumaokamoto) December 6, 2012 そして「略奪婚」の3つ目のポイントがこれ。 できちゃった結婚 。 この 3つのポイントが混ざって世間に「 略奪婚 」という噂を作らせてしまったのです 。 だって、3つをまとめるとこんな感じですよ。 タイトル 4年間付き合っていた女性が離れた ② ときに アプローチ ① をかけて できちゃった結婚 ③ をした こんな感じに書かれたら、そりゃ誰だって「 内村航平の嫁は略奪婚だ! 」とか言っちゃいますよね!私も調べなかったら、わかりませんでしたから(汗)。 ただまあ、私の意見としては、 「内村航平の嫁は 略奪ではない 」 と思っています。疎遠になってからのアプローチなので、そのタイミングが絶妙だっただけでは?なんて思っています。 タイミングがバッチリだっただけじゃね? これ、あくまで私の見解なので、悪しからず♪ 内村航平の嫁はでしゃばり!? 今度は「内村千穂さんはでしゃばりだ!」と言われていること。 ギャル時代が!?とか、略奪婚が! ?とか、いろいろと噂され、 さらに「でしゃばり! 内村航平の嫁と子供のテレビ生出演画像！美人の奥さんは高島彩似！. ?」 とか言われているのですが、それは一体なぜでしょう。 見ていきます。 内村航平の嫁のギャル時代画像!
記事 での「 内村航平 嫁 上谷千穂 」の 検索結果 4 件 内村航平 世界体操 頭強打 宙返り失敗の理由 [ たろ助] 03:08 11/01 体操の世界選手権(グラスゴー)の男子予選のゆかの演技で 前の選手の採点の結果を10分間待たされて集中力が切れてしまったのか 宙返りに失敗して頭強打!演技に失敗してしまったようだ タグ: 内村航平 嫁 上谷千穂 内村航平 嫁 姑 体操内村航平の嫁は上谷千穂 元カノは [ とれんどスタイル] 00:17 10/10 愛犬を大事にするならコレ↓犬用サプリメントでずっと元気 体操世界選手権で史上最多の個人総合5連覇を達成した内村航.. タグ: 内村航平 内村航平 嫁 内村航平 嫁 上谷千穂 内村航平 嫁 名前 [ 今日の気になるネタ] 20:32 12/07 内村航平さんの嫁さんは誰なんでしょう。 内村航平選手が結婚したのは、大学時代の知り合いだった 一つ年下の一般女性ということです。 彼女も体操選手で、かな.. タグ: 内村航平 嫁 上谷千穂 内村航平 結婚 子供 内村航平 結婚相手 上谷千穂 内村航平 結婚相手 画像 上谷千穂 [ 芸能人とスポーツ選手の結婚を大公開!結婚相手は誰!?] 14:13 12/23 体操選手の内村航平(23)が2012年11月11日に結婚したことが明らかになった。 気になる結婚相手(嫁)は上谷千穂という噂があるが、どんな人物なのか? 結婚相手の画像も交えて、内村航平の結婚につ.. タグ: 内村航平 嫁 上谷千穂 内村航平 結婚相手 画像 内村航平 上谷千穂 画像