覚えなくていい「ベクトル」2(内積) - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログ のつづきです。 コーシーシュワルツの不等式ってあまり聞きなれないかもしれないけど、当たり前の式だからなんてことないです。 コーシーシュワルツの不等式は または っていう複雑な式だけど 簡単にいえば, というだけ。 内積 は長さの積以下であるというのは自明です。簡単ですね。
問 $n$ 個の実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ が $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ を満たすとき,次の不等式を示せ. $$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \ge \frac{1}{n}$$ $$(x_1\cdot 1+x_2 \cdot 1+\cdots+x_n \cdot 1)^2 \le (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)n$$ これと,$x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ より示される. コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - MathWills. 一般の場合の証明 一般のコーシーシュワルツの不等式の証明は,初見の方は狐につままれたような気分になるかもしれません.非常にエレガントで唐突な方法で,その上中学校で習う程度の知識しか使いません.知らなければ思いつくことは難しいと思いますが,一見の価値があります. 証明: $t$ を実数とする.このとき $$(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+\cdots+(a_nt-b_n)^2 \ge 0$$ が成り立つ.左辺を展開すると, $$(a_1^2+\cdots+a_n^2)t^2-2(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)t+(b_1^2+\cdots+b_n^2) \ge 0$$ となる.左辺の式を $t$ についての $2$ 次式とみると,$(左辺) \ge 0 $ であることから,その判別式 $D$ は $0$ 以下でなければならない. したがって, $$\frac{D}{4}=(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2-(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2) \le 0$$ ゆえに, $$ (a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)$$ が成り立つ. 等号成立は最初の不等号が等号になるときである.すなわち, $$(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+\cdots+(a_nt-b_n)^2 = 0$$ となるような $t$ を選んだときで,これは と同値である.したがって,等号成立条件は,ある実数 $t$ に対して, となることである.
これらも上の証明方法で同様に示すことができます.
コーシー・シュワルツの不等式は、大学入試でもよく取り上げられる重要な不等式 です。 今回は\( n=2 \) の場合のコーシー・シュワルツの不等式を、4通りの方法で証明をしていきます。 コーシーシュワルツの不等式の使い方については、以下の記事に詳しく解説しました。 コーシーシュワルツの不等式の使い方を分かりやすく解説! この記事では、数学検定1級を所持している管理人が、コーシーシュワルツの不等式の使い方について分かりやすく... コーシ―・シュワルツの不等式 \[ {\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_i^2)}{\displaystyle(\sum_{i=1}^n b_i^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2} \] (\( n=2 \) の場合) (a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2%&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(ax+by+cz)^2 \] しっかりと覚えて、入試で使いこなしたい不等式なのですが、この不等式、ちょっと覚えにくいですよね。 実は、 コーシー・シュワルツの不等式の本質は内積と同じです。 したがって、 内積を使ってこの不等式を導く方法を身につけることで、確実に覚えやすくなるはずです。 また、この不等式を 2次方程式の判別式 で証明する方法もあります。私が初めてこの証明方法を知ったときは 感動しました! とても興味深い証明方法です。 様々な導き方を身につけて数学の世界が広げていきましょう!
夢に 国へ 《直訳》 歌の翼に乗せて 心から愛する君を連れてゆこう ガンジス河の流れる沃野へ 僕はそこでもっとも美しい場所を知っている そこには赤い花咲く庭があって 静かな月光のなか 蓮の花が 親愛な妹であるあなたが来るのを心待ちにしている すみれはクスクス笑い戯れ 空高く星々を仰ぎ見る バラはひそやかにかぐわしいおとぎ話を お互いの耳に語り合っている おとなしくて賢いカモシカが 飛び跳ねて寄ってきては 耳を澄ませている そして遠くでは聖なる河が さらさらと波音を立てている 僕は君とそこで ヤシの木のもとに身を沈めて 愛と安らぎを飲みつくし 至福の夢を夢見ていたい
もしも心に 思い運ぶ 翼あれば 伝えてほしい 同じ涙 喜びと だから変わらぬ 重さの命なんだと 願いは誰も同じと 親しみをこめ もしも星の夜なら 身を寄せて眠れ 嘆きさえも愛しい 息づきだから もしも深い森なら 木もれ陽に踊れ ふれた心 思いは 残るのだから 何故苦しむのだろう 何故悲しむのだろう 生きていることがつらいなんて 思いたくはない 命は愛おしいと 抱きしめてみればいい その手の温もり伝わるなら 恐れは消え去る 体の傷より 痛む心よ 共に生きてる 命の 親しみをもて もしも星の夜なら 身を寄せて眠れ 嘆きさえも愛しい 息づきだから もしも深い森なら 木もれ陽に踊れ ふれた心 思いは 残るのだから 心の翼よ今 届かぬ思いをのせ 愛しい命のもと はばたけ願いをこめ ココでは、アナタのお気に入りの歌詞のフレーズを募集しています。 下記の投稿フォームに必要事項を記入の上、アナタの「熱い想い」を添えてドシドシ送って下さい。 この曲のフレーズを投稿する RANKING 大浦みずきの人気歌詞ランキング 最近チェックした歌詞の履歴 履歴はありません リアルタイムランキング 更新:PM 6:30 歌ネットのアクセス数を元に作成 サムネイルはAmazonのデータを参照 注目度ランキング 歌ネットのアクセス数を元に作成 サムネイルはAmazonのデータを参照
ハイネ歌曲の番外編として、メンデルスゾーンの最も有名な歌曲「歌の翼にのって」を訳してみた。"ガンジス川"や"ハスの花"のようなハイネの詩でお馴染みの言葉も出てくるのが興味深い。なお、岩波文庫の井上正蔵氏の解説によると、ハイネのいくつかの詩に見られる"ガンジス川"は、ボン大学在学中にA.W.シュレーゲルの講義に触発されたインド研究の影響らしい。原詩はハイネの詩集「歌の本(Buch der Lieder)」の「抒情挿曲」(「詩人の恋」の詩もある)に含まれている。メンデルスゾーンによる歌曲は1836年に出版された「6つの歌曲(6 Lieder)」Op. 34の2曲目で、8分の6拍子、変イ長調。A-A-A'の変形有節形式である(Aは原詩の2節分、A'は1節分)。冒頭の表示はAndante tranquilloである。歌声部の最高音は2点ヘ音、最低音は1点変ホ音で約1オクターブなので音域はそれほど広くない。メロディーは言うまでもなくきわめて甘く美しいもので、一度聴けば印象に残るほどである。歌曲としてよりも楽器用の編曲作品として知られているかもしれない。 私がこの曲をはじめて聴いたのはシュライアーとオルベルツによる録音だった。シュライアーの歌は、この曲の甘さを良い意味で程よく中和して、単なるBGMに陥らない格調高い清潔なもので本当に素晴らしかった。ピアノパートは分散和音に徹しているが、歌と絶妙なハーモニーを築き、特に間奏部分はメンデルスゾーンの才気を感じさせる。 ---------------------------------- Auf Flügeln des Gesanges, Op. 34-2 歌の翼にのって Auf Flügeln des Gesanges, Herzliebchen, trag ich dich fort, Fort nach den Fluren des Ganges, Dort weiß ich den schönsten Ort; 歌の翼にのって、 いとしい人、きみを連れて行こう、 ガンジス川ほとりの野まで、 そこはとても美しいところなんだ。 Dort liegt ein rotblühender Garten Im stillen Mondenschein, Die Lotosblumen erwarten Ihr trautes Schwesterlein.
メンデルスゾーン(Felix Mendelssohn/1809-1847) 『歌の翼に』(Auf Flügeln des Gesanges)は、ドイツロマン派の作曲家 メンデルスゾーン による1836年作曲の 歌曲 集「六つの歌」作品34の第2曲。 歌詞は、ドイツの詩人 ハインリッヒ・ハイネによる詩集『歌の本』 から採られたもの。ハイネの同じ詩に対しては、イタリアの作曲家トスティも曲をつけているが、こちらの方はあまり知られていない。 メンデルスゾーンは、裕福なユダヤ人家庭の生まれ。 モーツァルト や シューベルト と同じく比較的短い生涯だったが、この『歌の翼に』をはじめとして数々の美しい旋律を残している。 写真:メンデルスゾーンが生まれたドイツ・ハンブルクの街並み 【試聴】メンデルスゾーン 歌の翼に 歌詞の意味・日本語訳(意訳) Auf Flügeln des Gesanges, Herzliebchen, trag ich dich fort, Fort nach den Fluren des Ganges, Dort weiß ich den schönsten Ort. 歌の翼に愛しき君を乗せて ガンジスの野辺へと君を運ぼう そこは白く輝く美しい場所 Dort liegt ein rotblühender Garten Im stillen Mondenschein; Die Lotosblumen erwarten Ihr trautes Schwesterlein. 歌 の 翼 に 歌詞 菅田将暉. そこは赤い花が咲き誇る庭 静寂の中 月は輝き スイレンの花 愛する乙女を待つ Die Veilchen kichern und kosen, Und schaun nach den Sternen empor; Heimlich erzählen die Rosen Sich duftende Märchen ins Ohr. スミレは微笑み 星空を見上げ バラが耳元でささやく 芳しきおとぎ話 Es hüpfen herbei und lauschen Die frommen, klugen Gazelln; Und in der Ferne rauschen Des heiligen Stromes Welln. 賢くおとなしい小鹿 走り寄り 耳をそばだてる 遠くに聞こえる 聖なる川の流れ Dort wollen wir niedersinken Unter dem Palmenbaum, Und Liebe und Ruhe trinken, Und träumen seligen Traum.
歌の翼に 君を送らん 南遥かなる 美わし国に 花はかおる園に 月影冴え 蓮咲きいでて 君を待つよ 菫笑いて 星影仰ぎて ばらはひそやかに秘言ささやく かもしか静けく 耳を傾く 清き流れは さやに響く 清き流れは さやに響く
そこに座ろうよ、 しゅろの木の下に。 そして愛と安らぎにひたって、 楽しい夢を見るよ。 脚注 [ 編集] ^ ドイツ語・日本語訳の対比 ^ 歌の翼に(門馬直衛) ^ 歌の翼に(津川主一)