ここでは、 f_{x}=x ここで、f(x)は (-2\pi \leqq{x} \leqq 2\pi) で1周期の周期関数とします。 これに、 フーリエ級数 を適用して計算していきます。 その結果をグラフにしたものが下図です。 考慮する高調波数別のグラフ変動 この結果より、k=1、すなわち、考慮する高調波が0個のときは完全な正弦波のみとなっていますが、高調波を加算していくと、$$y=f(x)$$に近づいていく事が分かります。また、グラフの両端は周期関数のため、左側では、右側の値に近づこうとし、右側では左側の値に近づこうとしているため、屈曲した形となります。 まとめ 今回は フーリエ級数展開 について記事にしました。kの数を極端に多くすることで、任意の周期関数とほとんど同じになることが確認できました。 フーリエ級数 よりも フーリエ変換 の方が実用的だとおもいますので、今度時間ができたら フーリエ変換 についても記事にしたいと思います!
工学系の学生向けの教科書や講義において フーリエ級数 (Fourier series)を扱うとき, 三角関数 や 複素関数 を用いた具体的な 級数 を用いて表現する場合が多いと思います.本記事では, 関数解析 の教科書に記述されている, フーリエ級数 の数理的基盤になっている関数空間,それらの 内積 ,ノルムなどの概念を直接的に意識できるようないくつかの別の表現や抽象的な表現を,具体的な 級数 の表現やその導出と併せてメモしておくことにしました.Kreyszig(1989)の特に Example3. 4-5,Example3. 5-1を中心に,その他の文献も参考にしてまとめます. ================================================================================= 目次 1. 実数値連続関数を要素とする 内積 空間上の正規直交集合 1. 1. 内積 とノルム 1. 2. 正規直交集合を構成する関数列 2. 空間と フーリエ級数 2. 数学的基礎 2. 二乗可 積分 関数全体の集合 2. 3. フーリエ 係数 2. 4. フーリエ級数 2. 5. フーリエ級数 の 複素数 表現 2. 6. 実数表現と 複素数 表現の等価性 [ 1. 実数値連続関数を要素とする 内積 空間上の正規直交集合] [ 1. 内積 とノルム] 閉 区間 上の全ての実数値連続関数で構成される 内積 空間(文献[7]にあります) を考えます. 内積 が以下で与えられているものとします. (1. 1) ノルムは 内積 空間のノルムの定義より以下です. 円周率は本当に3.14・・・なのか？ - Qiita. (1. 2) この 距離空間 は完備ではないことが知られています(したがって は ヒルベルト 空間(Hilbert space)(文献[8]にあります)ではありません).以下の過去記事にあります. 連続関数の空間はLpノルムのリーマン積分版?について完備でないことを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ [ 1. 正規直交集合を構成する関数列] 以下の はそれぞれ の直交集合(orthogonal set)(文献[9]にあります)の要素,すなわち直交系(orthogonal sequence)です. (1. 1) (1. 2) なぜならば以下が成り立つからです(簡単な計算なので証明なしで認めます).
フーリエ級数として展開したい関数を空間の1点とする 点を指すベクトルが「基底」と呼ばれる1組のベクトルの一時結合となる. 平面ベクトルって,各基底ベクトル\(e_1\),\(e_2\)の線形ベクトルの一次結合で表現できたことは覚えていますか. 上の図の左側の絵のような感じですね. それが成り立つのは,基底ベクトル\(e_1\),\(e_2\)が直交しているからですよね. つまりお互いが90度に直交していて,原点で以外交わらないからですよね. こういった交わらないものは,座標系として成り立つわけです. これらは,ベクトル的にいうと, 内積=0 という特徴を持っています. さてさて, では, 右側の関数空間に関して は,どうでしょうか. 実は,フーリエ級数の各展開した項というのは, 直交しているの ですよね. これ,,,,控えめに言ってもすごくないすか. めちゃくちゃ多くの軸(sinとかcos)がある中,全ての軸が直交しているのですね. これはもちろん2Dでもかけませんし,3Dでもかけません. 数学の世界,代数的なベクトルの世界でしか表現しようがないのです. では,関数の内積ってどのように書くの?という疑問が生じると思いますが,これは積分です. 以下のスライドをみてください. この関数を掛けた積分が内積に相当する ので,これが0になれば,フーリエ級数の各項,は直交していると言っても良さそうです. なぜ内積が積分で表すことができるのか,簡単に理解したい人は,以下のスライドを見てください. 三角関数の直交性 証明. 各関数を無限次元のベクトルとして見なせば,積分が内積の計算として見なせそうですよね. それでもモヤっとしている方や,直交性についてもっと厳密に知りたい方は,こちらの記事をどうぞ. この記事はこんな人にオススメです, フーリエ級数や複素フーリエ級数を学習している人 積の積分がなぜ内積とみなさ… 数学的な定義だと,これらは直交基底と言われます. そしてまた,フーリエ係数\(a_0\), \(a_n\), \(b_n\)の導出に必要となる性質も頭に入れておいてください. これらを用いて,フーリエ係数\(a_0\), \(a_n\), \(b_n\)を導出します, 具体的には,フーリエ級数で展開した後の全ての関数に,cosやsinを掛けて,積分をします. すると直交基底を満たすものは,全て0になります.
今日の午前中はイングリッシュサロン(英語茶話会)でした。Sちゃんママ、Tくんママ、美味しいお菓子の差し入れありがとうございました♡ 次回のサロン(英語茶話会)は12月18日木曜10:00〜です。ご予約 サロンの始まりでは、ペアを組んで「昨日は何をしましたか?」と互いに質問をして、その後聞いた話しを「○○さんは〜〜をしたそうです」と皆さんに話してもらいます。 そこで出てきた 「昨日は映画に行った」 という言葉について。 映画は、映画館で見るとSee、テレビやiPadで見ればWatchを使います。 I saw a movie yesterday. 「昨日、映画(1本)を 見た よ」となりますが、 では「見る」という言葉の See, Watch, Look at はどう違うでしょう? See :「みる、観る」視覚から見えるもの。球場や映画館で見るときはSeeを使います。 I saw him at school 学校で彼を見たよ。 I saw a movie 映画を見たよ。 Watch :「視る」 物事の状態や変化を一定の時間見る。野球や映画を テレビで見る時は Watchを使います。 Watch me 私を見てて(何かやって見せる時)。 Watch TV テレビを視る。 Look at :「見る」対象物(者)がある時はLook at~と言います。 Look me! 映画 を 見 た 英. はだめ。 Look at me 私を見て(こっちを見なさい)。 Look at this Photo この写真を見て。 <オマケ> go to the movies で「映画にいく」という使い方をします。 このとき、movieは複数形となりthe moviesで映画館と表され、 「時々一人で映画にいくよ。」は Sometimes I go to the movies alone. 今日はここまで♪
seeとlookとwatch、いずれも「見る」英単語ですが、違いは何でしょうか。 「映画を見る」を英語で言うときは、どれを使えばよいでしょうか。 さっそく違いを見てみましょう。 see: 自然と視界に入る look: 意識的に視線を向ける watch: 動くものをじっと見る see: 自然と視界に入る seeは、自然と視界に入る ことを表します。 丘の上に登ると富士山が見えるというシチュエーションでは、 富士山が自然と視界に入ってくる ので、seeを使います。その他の例文も、自然と視界に入るイメージと合うか確認してみてください。 We can see on the top of the hill. 丘の上から、富士山を見ることができます。 On a clear day, you can see for miles. 晴れた日には、数マイル先まで見渡すことができます。 ※1マイル:約1. 6km You can see the ocean from the window. 窓から海が見えるよ。 Can you see the traffic sign over there? あそこの交通標識が見えますか? I saw you in the street yesterday. あなたのことを昨日道で見かけました。 I have never seen kangaroos. 映画 を 見 た 英特尔. カンガルーは見たことがない。 seeは、自然と視界に入るイメージを越えて、 人と会う という意味もあります。 See you later. また後で会いましょう。 Nice to see you again. また会えて嬉しいです。 look: 意識的に視線を向ける lookは、 意識的に視線を向ける 意味です。気になる女の子のほうをつい見てしまう場合はlookにぴったりですね。私がペアを組んでいる外国人の先生は、教室がざわざわすると、 Look to the front! (前を向いて)とよく言っています。おしゃべりをやめて、注意を先生のほうに向けて、という意味ですね。 She looked at me, smiling happily. 彼女は幸せそうに微笑みながら、私のほうを見た。 He is always looking at her. 彼はいつも彼女のことばかり見ている。 Look at this picture, please.
I really enjoyed it when went out together and watched that movie called (insert title) Just like a person a movie has is "called " (something) This is "its title" I really enjoyed it when went out together and watched that movie called.... (insert title) 人に名前があるように、映画にも名前があります。 It is called~、~と呼ばれています。 This is (タイトル)、これが(タイトル)です。 と言うことができます。 一緒にでかけて、... という映画をみたのが楽しかったよ。 2021/04/30 20:36 こんにちは。 様々な言い方ができると思いますが、例えば下記のような表現はいかがでしょうか: ・I saw a movie called... called は「〜という名前の」というニュアンスを持つ英語表現です。 例: I saw a movie called Harry Potter. 私は「ハリーポッター」という映画を見ました。 ぜひ参考にしてください。