(1) 統計学入門 練習問題解答集 統計学入門 練習問題解答集 この解答集は 1995 年度ゼミ生 椎野英樹(4 回生)、奥井亮(3 回生)、北川宣治(3 回生) による学習の成果の一部です. ワープロ入力はもちろん井戸温子さんのおかげ です. 利用される方々のご意見を待ちます. (1996 年 3 月 6 日) 趙君が 7 章 8 章の解答を書き上げました. (1996 年 7 月) 線型回帰に関する性質の追加. (1996 年 8 月) ホーム頁に入れるため、1999 年 7 月に再度編集しました. 改訂にあたり、 久保拓也(D3)、鍵原理人(D2)、奥井亮(D1)、三好祐輔(D1)、 金谷太郎(M1) の諸氏にお世話になりました. (2000 年 5 月) 森棟公夫 606-8501 京都市左京区吉田本町京都大学経済研究所 電話 075-753-7112 e-mail (2) 第 第 第 1 章 章章章追加説明追加説明追加説明 追加説明 Tschebychv (1821-1894)の不等式 の不等式の不等式 の不等式 [離散ケース 離散ケース離散ケース 離散ケース] 命題 命題:1 よりも大きな k について、観測値の少なくとも(1−(1/k2))の割合は) k (平均値− 標本標準偏差 から(平均値+k標本標準偏差)の区間に含まれる. 例え ば 2 シグマ区間の場合は 75% 4 3)) 2 / 1 ( ( − 2 = = 以上. 統計学入門 練習問題 解答 13章. 3シグマ区間の場合は 9 8)) 3 ( − 2 = 以上. 4シグマ区間の場合は 93. 75% 16 15)) ( − 2 = ≈ 以上. 証明 証明:観測個数をn、変数を x、平均値を x& 、標本分散を 2 ˆ σ とおくと、定義より i n 2) x nσ =∑ − = … (1) ここでk >1の条件の下で x i −x ≤kσˆ となる x を x ( 1), L, x ( a), x i −x ≥kσˆ とな るx をx ( a + 1), L, x ( n) とおく. この分割から、(1)の右辺は a k)( () nσ ≥ ∑− + − ≥ − σ = … (2) となる. だから、 n n− < 2 ⋅. あるいは)n a> − 2 となる. ジニ係数の計算 三角形の面積 積 ローレンツ曲線下の面 ジニ係数 = 1 − (n-k+1)/n (n-k)/n R2 (3) ローレンツ曲線下の図形を右のように台形に分割する.
東京大学出版会 から出版されている 統計学入門(基礎統計学Ⅰ) について第6章の練習問題の解答を書いていきます。 本章以外の解答 本章以外の練習問題の解答は別の記事で公開しています。 必要に応じて参照してください。 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章(本記事) 第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 6. 1 二項分布 二項分布の期待値 は、 で与えられます。 一方 は、 となるため、分散 は、 となります。 ポアソン 分布 ポアソン 分布の期待値 は、 6. 2 ポアソン 分布 は、次の式で与えられます。 4床の空きベッドが確保されているため、ベッドが不足する確率は救急患者数が5人以上である確率を求めればよいことになります。 したがって、 を求めることで答えが得られます。 上記の計算を行う Python プログラムを次に示します。 from math import exp, pow, factorial ans = 1. 0 for x in range ( 5): ans -= exp(- 2. 5) * pow ( 2. 5, x) / factorial(x) print (ans) 上記のプログラムを実行すると、次の結果が得られます。 0. 10882198108584873 6. 入門計量経済学 / James H. Stock Mark W. Watson 著 宮尾 龍蔵 訳 | 共立出版. 3 負の二項分布とは、 回目の成功を得るまでの試行回数 に関する確率分布 です。 したがって最後の試行が成功となり、それ以外の 回の試行では、 回の成功と 回の失敗となる確率を求めればよいことになります。 成功の確率を 失敗の確率を とすると、確率分布 は、 以上により、負の二項分布を導出できました。 6. 4 i) 個のコインのうち、1個のコインが表になり 個のコインが裏になる確率と、 個のコインが表になり1個のコインが裏になる確率の和が になります。 ii) 繰り返し数を とすると、 回目でi)を満たす確率 は、 となるため、 の期待値 は、 から求めることができます。 ここで が非常に大きい(=無限大)のときは、 が成り立つため、 の関係式が得られます。 この関係式を利用すると、 が得られます。 6. 5 定数 が 確率密度関数 となるためには、 を満たせばよいことになります。 より(偶関数の性質を利用)、 が求まります。 以降の計算では、この の値を利用して期待値などの値を求めます。 すなわち、 です。 期待値 の期待値 は、 となります(奇関数の性質を利用)。 分散 となるため、分散 歪度 、 と、 より、歪度 は、 尖度 より、尖度 は、 6.
7. a)1: P( X∩P) =P(X|P)×P(P) =0. 2×0. 3=0. 06. 4: P(Y∩P)=P(Y|P)×P(P)=(1-P(X|P))×P(P)=(1-0. 2)×0. 8×0. 24. b)ベイズの定理によるべきだが、ここでは 2、5、3、6 の計算を先にする.a と同様にして2: 0. 5=0. 4、5: (1-0. 8)×0. 1、3: 0. 7×0. 2=0. 14、 6: (1-0. 7)×0. 2=0. 06. P(Q|X)は 2/(1, 2, 3 の総和) だから、 P(Q|X) =0. 4/(0. 06+0. 4+0. 14)=2/3. また、P(X∪P)は 1,2,3,4 の確率の 総和だから、P(X∪P)=0. 14+0. 24=0. 84. c) 独立でない.たとえば、P(X∩P)は1の確率だから、0. 06.独立ならばこれ はP(X)と P(P)の積に等しくなるが、P(X)P(P)=0. 6×0. 18. (P(X)は 1,2, 3 の確率の総和;0. 14=0. 6)等しくないので独立でない. 統計学入門（東京大学出版）の練習問題解答【目次】 - こんてんつこうかい. 独立でな独立でな独立でな独立でな いことを示すには いことを示すには、等号が成立しないことを一つのセルについて示せばよい。 2×2の場合2×2の場合2×2の場合2×2の場合では、一つのセルで等号が成立すれば4 個の全てのセルについて 等号が成立する。次の表では、2と3のセルは行和がx、列和が q になることか ら容易に求めることができる。4のセルについても同様である。 8. ベイズ定理により 7. 99. 3. 95. = ≒0. 29. 9. P(A|B)=0. 7, P(A| C B)=0. 8. ベイズの定理により =0. 05/(0. 05+0. 95)≒0. 044. Q R X xq 2 P(X)=x Y 3 4 P(Y)=y P(Q)=q P(R)=r 1
両端は三角形となる. 原原原原 データが利用可能である データが利用可能であるとして、各人の相対所得をR から 1 R までとしよう. このn 場合、下かからk 段目の台形は下底が (n−k+1)/n、上底が (n−k)/n である. (相対順位の差は1/nだから、この差だけ上底が短い. )台形の高さはR だから、k 台形の面積は R k (2n−2k+1)/(2n)となる. (k =nでは台形は三角形になってい るが、式は成立する. )台形と三角形の面積を足し合わせると、ローレンツ曲線 下の面積 n R k (2n 2k 1)/(2n) + − ∑ = = となる. したがってこの面積と三角形の面積 の比は、 n R k (2n 2k 1)/n = である. 相対所得の総和は 1 であるから、この比は R 2+ − ∑ =. 1 から引くと、ジニ係数は n) kR = となる. 標本相関係数の性質 の分散 の分散、 共分散 y xy = γ xy S ⋅ =, ベクトルxr =(x 1 −x, L, x n −x)とyr =(y 1 −y, L, y n −y)を用いれば、S は x x r の大き さ(ノルム)、S は y y r の大きさ、S は x xy r と yrの内積である. 標本相関係数は、ベ クトル xr と yr の間の正弦cosθに他ならない. 従って、標本相関係数の絶対値は 1 より小になる. 変量を標準化して、, u = L,, v と定義する. u と v の標本共分散 n i i = は − = y x S S S)} y)( {( =. これはx と y の標本相関係数である. 統計学入門 – FP＆証券アナリスト 宮川集事務所. ところで v 1 2 1 2(1) 1) i ± = Σ ± Σ + Σ = ± γ + = ±γ Σ (4) であるが、2 乗したものの合計は負になることはないから、1±γxy ≥0である. だ から、−1≤γxy ≤1でなければならない. 他の証明方法 他の証明方法: 2 i x) (y y)} (x x) 2 (x x)(y y) (y y) {( − ±ρ − =Σ − ± ρΣ − − +ρ Σ − が常に正であるから、ρに関する 2 次式の判別式が負になることを利用する. こ れはコーシー・シュワルツと同じ証明方法である.
表現上の注意 x y) xy xy xy と表記されることがある. 右端の等号は、「x と y の積の平均から、x の平均と y の平均の積を引く」という意味である. x と y が同じ場合は、次の表現もある. 2 2 2 2 i) x) 問題解答 問題解答((( (1 章) 章)章)章) 1.... 平均値は -8. 44、分散は 743. 47、だから標準偏差 27. 278. 従って 2 シグマ 区間は -62. 97 から 46. 096. 2 シグマ区間の度数は 110、全体の度数は 119 で、(110/119)>(3/4)なので、チェビシェフの不等式は妥当である. 2.... 単純(算術)平均は、 (10. 8+6. 4+5. 6+6. 8+7. 5)/5=7. 42 だから 7. 42% と なる. 次に平均成長率を幾何平均で求めるため、与えられた経済成長率に1 を加 えたものを相乗する. 1. 108×1. 064×1. 056×1. 068×1. 075≈1. 43. 求めたい平均成 長率をR とおくと、(1+R)5 =1. 43 の 5 乗根を求めて 1. 07405. 7. 41%. 後 期については 3. 4 と 3. 398. 所得の変化だけを見ると、 29080/11590=2. 509 だから、18 乗根を取り、1. 052 となり、5. 2%. 3.... 標本平均を x とおく. (1/n)n x i x = だから、 (5) 2 ( − =∑ − + =∑ −∑ +∑ x − ∑ + =∑ − + =∑ − 4.... x の平均を x 、y の平均を y とおく. ∑ − − = = (xi x)(yi y) = (xy xy yx xy) x y xy yx xy x n i i =) 1, ( n i なぜなら (式(1. 21)) 5. データの数は 75. 階級数の「目安」を知る為に Starjes の公式に数値をあ てはめる. 1+3. 3log75≈1+3. 3×1. 8751=1+6. 18783≈7. 19. とりあえず階級数を 10 にして知能指数の度数分布表を作成してみよう. 6. -0. 377. 平均 101. 44 データ区間 頻度 標準誤差 1. 206923 85 2 中央値(メジアン) 100 90 9 最頻値(モード) 97 95 11 標準偏差 10.
★はじめに 統計学 入門基礎 統計学 Ⅰ( 東京大学 出版)の練習問題解答集です。 ※目次であるこのページのお気に入り登録を推奨します。 名著と呼ばれる本書は、その内容は素晴らしく 統計学 を学習する人に強くオススメしたい教養書です。しかしながら、その練習問題の解答は略解で済まされているものが多いです。そこで、初読者の方がスムーズに本書を読み進められるよう、練習問題の解答集を作成しました。途中で、教科書の参照ページを記載したりと、本を持っている人向けの内容になりますが、お使い頂けたらと思います。 ※下記リンクより、該当の章に飛んでください。 ★目次 0章. 練習問題解答集について.. soon 1章. 統計学の基礎 2章. 1次元のデータ 3章. 2次元のデータ 4章. 確率 5章. 確率変数 6章前半. 確率分布(6. 1~6. 5) 6章後半. 5) 7章前半. 多次元の確率分布(7. 1~7. 5) 7章後半. 6~7. 9) 8章. 大数の法則と中心極限定理 9章. 標本分布 10章前半. 正規分布からの標本(10. 1~10. 6) 10章後半. 7~10. 9) 11章前半. 推定(11. 1~11. 6) 11章後半. 7~11. 9) 12章前半. 仮説検定(12. 1~12. 5) 12章後半. 6~12. 10) 13章. 回帰分析
STONER 「クリーン&リペル」は、汚れをすばやく取り除き強力な撥水コートを形成する、車用ガラスクリーナーです。 ワンステップでガラスをクリアにし、撥水効果をもたらします。 拭きスジやギラつきがなく、水滴を弾き、汚れにくい窓にしてくれます。 UNSPSCコード 52101500 ブランド名 品番 1731 商品の個数 1 商品の重量 710 グラム 商品体積 651 ミリリットル 型番 色 ガラスクリーナー おすすめ9:カーメイト 「エクスクリア ガラス内側クリーナー」 カーメイト 「エクスクリア ガラス内側クリーナー」 カーメイト(CARMATE) 【カーメイト CAR MATE】 エクスクリア ガラス内側クリーナー C69 ¥577〜 内側専用!汚れを残さずスッキリ透明に仕上げる! カーメイト 「エクスクリア ガラス内側クリーナー」は、ガラスの内側専用に開発された車用ガラスクリーナーです。 拭きにくいフロントガラスの内側を、油溶性クリーナー&レベリング効果で拭き残り拭きムラなく綺麗に拭けます 。内容量50mlと使いやすいサイズです。専用タオルが付いています。 95. 3 g 3. 6 x 3. 6 x 12. 2 cm C69 奥行き × 幅 × 高さ 3. 2 cm おすすめ10:CarZoot「【プロ仕様】窓ガラスの油膜・ウロコ・水垢完全除去」 CarZoot「【プロ仕様】窓ガラスの油膜・ウロコ・水垢完全除去」 CarZoot 【CarZootプロ仕様】油膜 ウロコ 水アカ 除去 ウィンドウケア ガラスクリーナー 車 窓ガラス ¥1, 980〜 プロも実店舗で使用しているガラスクリーナー! クモがたくさん出る家には、ある“共通点“があった？｜クモ｜害虫なるほど知恵袋. CarZoot「【プロ仕様】窓ガラスの油膜・ウロコ・水垢完全除去」は、プロが実店舗で使用している車用ガラスクリーナーです。 洗車では落ちない汚れにおすすめです。 除去力とコーティング剤との相性の良さで、劣化したコーティング剤やコート剤もしっかり落とせます 。汚れを除去してコート剤のノリをよくする力に優れています。 99. 8 g 20. 5 x 13. 3 x 4. 3 cm 4573120100838 おすすめ11:日本磨料工業株式会社 「グラスターポリッシュ」 日本磨料工業株式会社 「グラスターポリッシュ」 ピカール(Pikal) PiKAL [ 日本磨料工業] ガラスクリーナー グラスターポリッシュ 300g ¥ 308〜 しぶとい汚れや銀製品の汚れに効果を発揮!
SOFT99 「ガラスリフレッシュ」は、今まで落とせなかったシミや油膜をすっきり除去してくれます。 新開発されたトリプル研磨粒子が、こびりついた汚れを綺麗に除去してくれる車用ガラスクリーナー です。トリプル研磨粒子の相乗効果で頑固なシミを落とし、ループファイバーパッドがその効果を活かします。油膜汚れにおすすめです。 日本製 材質・素材 研磨材 付属品 ループファイバーパッド付属 80ml おすすめ6:CARALL 「油膜取りパッド」 CARALL 「油膜取りパッド」 オカモト産業(Okamoto Sangyou) オカモト産業(CARALL) ガラスクリーナー 油膜取りパッド 2077 ¥ 475〜 スプレーや液は不要!水をつけてこするだけ! CARALL 「油膜取りパッド」は、除去促進剤P・A・A配合で超スピード仕上げ、女性でもしっかり落とせておすすめです。 水をつけてこするだけの簡単な作業 なので、 女性にも楽に使える車用ガラスクリーナー です。パッドに水を含ませて、汚れをこすり水で流します。スプレーや液をつける必要はありません。 2077 54. 4 g 17. 5 x 12. 2 x 5 cm おすすめ7:SONAX 「エクストリーム グラスクリア」 SONAX 「エクストリーム グラスクリア」 ソナックス(Sonax) SONAX(ソナックス) ガラスクリーナー エクストリーム グラスクリア [HTRC3] 238241 ¥ 1, 001〜 拭きスジやムラのない透明な仕上がりが魅力! SONAX 「エクストリーム グラスクリア」は、洗車と同時にコーティング、汚れをつきにくくする車用ガラスクリーナーです。 純水技術でスジやムラのないクリアな仕上がりになり、ナノ皮膜でコーティングされて汚れをつきにくくしてくれます 。これ一つで洗浄とコーティングができて、おすすめです。窓ガラスの内側と外側、どちらにも使用できます。 238241 558 g 9. 7 x 5. 7 x 23. 3 cm 商品の寸法 奥行き × 幅 × 高さ 9. 3 cm 年式 2017 おすすめ8:STONER 「クリーン&リペル」 STONER 「クリーン&リペル」 KURE(呉工業) STONER ガラスクリーナー&撥水コート クリーン&リペル 1731 ¥1, 048〜 雨や雪、汚れをしっかりはじく!
医学博士 白井 良和 医学博士。1994年京都大学農学部農林生物学科卒業、1996年京都大学大学院農学研究科修了、殺虫剤メーカー勤務を経て、2001年富山医科薬科大学大学院医学系研究科博士後期課程修了。 ペットを飼っていると、 子どもや自分にノミがうつらないか心配になりますよね。 ノミはアレルギーの原因 「アレルゲン」 の1つでもあります。犬猫用には液体薬品の 「フロントライン」を首筋に垂らすのが定番 です。しかし、人間用のフロントラインはありません。 畳やカーペット、マットレス、ベッド、毛布、枕などをノミから守るには、どうすれば良いのでしょうか。 人間に寄生するヒトノミは滅多に見なくなりましたが、 猫や犬につくネコノミは人の血を吸います。 ねずみに付くネズミノミも人間の血を吸うことがあります。ここでは、 ノミを撃退するための方法 についてご紹介します。 ペットを飼育していなくても、ノミが発生することはありますか?