(この方法以外にも,帰納法でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数\(t\)に対して,
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
これが任意の\(t\)について成り立つので,\(f(t)=0\)の判別式を\(D\)とすると\(D/4\leqq 0\)が成り立ち,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
よって,
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
その他の形のコーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります. コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ. 1. (複素数)
\(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2\)
\(\alpha_k, \beta_k\)は複素数で,複素数の絶対値は,\(\alpha=a+bi\)に対して\(|\alpha|^2=a^2+b^2\). 2. (定積分)
\(\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2\)
但し,閉区間[a, b]で\(f_k(x), g_k(x)\)は連続かつ非負,また,\(a イメージですが、次のようにすると\(x\) と\( y \) を消去することができますよね。
x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y}&=1+4\\
&=5
この左辺
x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y}
の形はコーシ―シュワルツの不等式の右辺と同じ形です。
このことから「コーシーシュワルツの不等式を利用してみよう」と考えるわけです。
コーシ―シュワルツの不等式の左辺は2乗の形ですので、実際には、次のように調整します。
コーシーシュワルツの不等式より
\{ (\sqrt{x})^2+(2\sqrt{y})^2\}
\{ (\frac{1}{\sqrt{x}})^2+(\frac{1}{\sqrt{y}})^2 \} \\
≧
\left(\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{y}\cdot \frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2
整理すると
\[ (x+4y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)≧3^2 \]
\( x+4y=1\)より
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}≧9 \]
これより、最小値は9となります。
使い方がやや強引ですが、最初の式できてしまえばあとは簡単です! 続いて等号の成立条件を調べます。
\[ \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} =\frac{\frac{1}{\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}} \]
\[ ⇔\frac{1}{x}=\frac{1}{2y} \]
\[ ⇔ x=2y \]
したがって\( x+4y=1\)より
\[ x=\frac{1}{3}, \; y=\frac{1}{6} \]
で等号が成立します。
レベル3
【1995年 東大理系】
すべての正の実数\(x, \; y\) に対し
\[ \sqrt{x}+\sqrt{y}≦k\sqrt{2x+y} \]
が成り立つような,実数\( k\)の最小値を求めよ。
この問題をまともに解く場合、両辺を\( \sqrt{x} \) でわり,\( \displaystyle{\sqrt{\frac{y}{x}}}=t\)
とおいて\( t\) の2次不等式の形に持ち込みますが、やや面倒です。
それでは、どのようにしてコーシ―シュワルツの不等式を活用したらよいのでしょうか? 今回は
コーシー・シュワルツの不等式
について紹介します。
重要なのでしっかり理解しておきましょう! コーシー・シュワルツの不等式 (1)
(等号は のときに成立)
(2)
この不等式を、 コーシー・シュワルツの不等式 といいます。
入試でよく出るというほどでもないですが、
不等式の証明問題や多変数関数の最大値・最小値を求める際に
威力を発揮 する不等式です。
証明
(1), (2)を証明してみましょう。
(左辺)-(右辺)が 以上であることを示します。
実際の証明をみると、「あぁ、・・・」と思うかもしれませんが、
初めてやってみると案外難しいですし、式変形の良い練習になりますので、
ぜひまずは証明を自分でやってみてください! (数行下に証明を載せていますので、できた人は答え合わせをしてくださいね)
(1)
等号は 、つまり、 のときに成立します
等号は 、
つまり、 のときに成立します。
、、うまく証明できましたか? (2)の式変形がちょっと難しかったかもしれませんが、(1)の変形を3つ作れる!ということに気付ければできると思います。
では、このコーシー・シュワルツの不等式を使って例題を解いてみましょう。
2変数関数の最小値を求める問題ですが、このコーシー・シュワルツの不等式を使えば簡単に解くことができます! ポイントはコーシー・シュワルツの不等式をどう使うかです。
自分でじっくり考えた後、下の解答を見てくださいね! 例題
を実数とする。
のとき、 の最小値を求めよ。
解
コーシー・シュワルツの不等式より、
この等号は 、かつ 、
すなわち、 のときに成立する
よって、最小値は である
コーシー・シュワルツの不等式の(1)式で、 を とすればよいのですね。。
このコーシー・シュワルツの不等式は慣れていないと少し使いにくいかもしれませんが、練習すれば自然と慣れてきます! 大学受験でも有用な不等式なので、ぜひコーシー・シュワルツの不等式は使えるようになっていてください! 相加相乗平均の不等式の次にメジャーな不等式であるコーシー・シュワルツの不等式の証明と典型的な例題を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式: 実数 $a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_n$ について次の不等式が成り立つ. $$ (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$$
等号成立条件はある実数 $t$ に対して,
$$a_1t-b_1=a_2t-b_2=\cdots=a_nt-b_n=0$$
となることである. $a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_n$ は実数であれば,正でも負でも $0$ でもなんでもよいです. 等号成立条件が少々わかりにくいと思います.もっとわかりやすくいえば,$a_1, a_2, \cdots, a_n$ と $b_1, b_2, \cdots, b_n$ の比が等しいとき,すなわち,
$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$$
が成り立つとき,等号が成立するということです.ただし,$b_1, b_2, \cdots, b_n$ のいずれかが $0$ である可能性もあるので,その場合も考慮に入れて厳密に述べるためには上のような言い回しになります. 簡単な場合の証明
手始めに,$n=2, 3$ の場合について,その証明を考えてみましょう. $n=2$ のとき
不等式は,$(a_1b_1+a_2b_2)^2 \le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$ となります.これを示すには,単に (右辺)ー(左辺) を考えればよく,
$$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2$$
$$=(a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2)-(a_1^2b_1^2+2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_2^2)$$
$$=a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2$$
$$=(a_1b_2-a_2b_1)^2 \ge 0$$
とすれば示せます. 彼はひざのケガから回復したと思われていた。 He was believed to have recovered from his knee injury. その遺跡はおよそ紀元前300年に建てられたと見られている。 The. 小学校の外国語教育はどう変わる？2020年から小学生が学ぶ「英語」 | Teach For Japan. また、「~だと考えている・思う」という際は、「自分の意見に確信や根拠があるかないか」で英語を使い分ける必要があります。 「考える」=「think」であると思いがちですが、今回ご紹介したニュアンスの違いを身に付けて、状況に合った単語を使用したいですね 「〜と考えます」「〜と存じます」「〜と思います」という表現は頻繁に日本語のメールでは見られます。しかしこの「考えている」という日本語にはいろんな意味が含まれていて、単純にそう思っていることの表明の場合もあれば、何か It was thought that she was the key person. もしこの文が「彼女はキーパーソンだと考えられている」という現在形の文ならば It is thought that she is the key person あなたは普段英語で「私は考える」や「私は思う」という言葉を表現するとき、どのような言葉を使いますか?やはり使用するのは、thinkだと思います。よくI think~や相手に問うときはDo you think? を使っているのではないでしょうか
Obviously(明らかに)やOf course. (もちろん)も「あたりまえ」と考えることができます しかしある日ルーは知ってしまう。ウィルが決めた「生きる時間」があとわずかだということを・・・ 映画の感想で、「考えさせられた」って言いたいとき、英語でなんて言ったらいいんでしょうね?単に「面白かった」とか「楽しめた」とかいう
考えられているって英語でなんて言うの? - Dmm英会話なんて
報告書にある表現で、「・・・と推測される、思われる、考えられる」というような受け身的な言い回しは英語でどの様に言えばよいのでしょうか。例えば、「この試験結果は原料のロット差によるものと考えられる(推測される、思われる)
一般にそうであるとされているなら,「考えられている」がふさわしい.信ずるに足る十分な理由があって,主張している場合には「である」「であろう」などのより強い表現がふさわしい.「考えられる」は,「そうとも考えられるし,そう
世界中で何億人もの人が英語を使っている。だが、機械翻訳の技術向上や「ハイブリッド」言語の広がりは、英語の地位を. 円安のおかげで、日本経済は調子が良いと思います。
Thanks to the internet, we can get information quickly and easily. インターネットのおかげで、早く簡単に情報を得られます。
仕事での説明の説得力アップ!理由や原因を表す英語表現
because や since, as 以外にも、理由を述べる表現はたくさんあります。特に、報告や提案の根拠となる理由にフォーカスしたい場合、理由に注意を向けさせる表現を選ぶと、効果的です。
いくつかご紹介します。
〇〇個の理由があります – There are __ reasons (why)
There are two main reasons why I generally stay away from them. 普段、そこに近づかない大きな理由が2つあります。
I do think that the number of smokers is decreasing in my country. There are several reasons that can be attributed to the decreases. 日本では、喫煙者の数は減っていると確かに思います。この減少を招いた幾つかの理由があります。
「2つの理由がある。」「いくつかの理由がある。」
こう言われると、その理由が列挙されるのを自然と期待して、そちらに注意が向けられますね。
一つの理由として – one reason is __
こちらも、理由に注意が向く表現です。
One reason is that people simply don't have the time to spend on this sort of traditional custom. 一つの理由としては、単に、みんなこういった昔ながらの習慣に費やす時間が無いのです。
I think that one reason is the cost of raising children. 一つの理由は、子育てかかる費用だと思います。
〇〇の理由の一つは – One of the reasons that/why
いくつかある理由の一つとして挙げるのに使われます。
One of the reasons that people can't quit smoking is because it is highly addictive. ホーム >
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〜と考えられているの英訳と例文とそのネイティブスピーカーによる発音
英語に訳すと: thought to be
英語の発音も上達させましょう: 再生回数:56
英語の使い方の解説: 「〜と考えられている」というよく使われている表現は英語で"thought to be"と言える。
日本語の文例(1): ヨーグルトの発祥の地としては諸説あるが、トルコ人の故郷である中央アジアの食文化と考えられている。
英訳: There are various theories for the birthplace of the yoghurt, but it is thought to be the culinary culture of the Turkish people living in their native place in Middle Asia. 日本語の文例(2): 独断的、形而上学的と考えられた。
英訳: It was thought to be dogmatic and metaphysical. 日本語の文例(3): 哲学は批評的であり、認識論的でなければならないと考えられている。
英訳: Philosophy is critical and it is thought to be something that must be epistemological. 雑用
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コーシー=シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ
小学校の外国語教育はどう変わる？2020年から小学生が学ぶ「英語」 | Teach For Japan