(この方法以外にも,帰納法でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数\(t\)に対して,
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
これが任意の\(t\)について成り立つので,\(f(t)=0\)の判別式を\(D\)とすると\(D/4\leqq 0\)が成り立ち,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
よって,
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
その他の形のコーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります. 1. (複素数)
\(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2\)
\(\alpha_k, \beta_k\)は複素数で,複素数の絶対値は,\(\alpha=a+bi\)に対して\(|\alpha|^2=a^2+b^2\). 2. コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ. (定積分)
\(\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2\)
但し,閉区間[a, b]で\(f_k(x), g_k(x)\)は連続かつ非負,また,\(a コーシー・シュワルツの不等式 $a,b,x,y$ を実数とすると
\begin{align}
(ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2)
\end{align}
が成り立ち,これを コーシー・シュワルツの不等式(Cauchy-Schwarz's inequality) という. 等号が成立するのは
a:b=x:y
のときである. 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-2変数版- 上のコーシー・シュワルツの不等式を証明せよ.また,等号が成立する条件も確認せよ. (右辺) $-$ (左辺)より
&(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\\
&=(a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2)\\
&-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)\\
&=b^2x^2-2(bx)(ay)+a^2y^2\\ &=(bx-ay)^2\geqq0
等号が成立するのは, $(bx − ay)^2 = 0$ ,すなわち $bx − ay = 0$ のときであり,これは
のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-3変数版- $a,b,c,x,y,z$ を実数とすると
& (ax+by+cz)^2\\
\leqq&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)
が成り立つことを証明せよ. また,等号が成り立つ条件も求めよ. 【コーシー・シュワルツの不等式】を４通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」｜あ、いいね！. (右辺) $-$ (左辺)より
& a^2(y^2+z^2)+b^2(x^2+z^2)\\
&\quad+c^2(x^2+y^2)\\
&\quad-2(abxy+bcyz+acxz)\\
&=a^2y^2-2(ay)(bx)+b^2x^2\\
&\quad+a^2z^2-2(az)(cx)+c^2x^2\\
&\quad+b^2z^2-2(bz)(cy)+c^2y^2\\
&=(ay-bx)^2+(az-cx)^2\\
&\quad+(bz-cy)^2\geqq 0
等号が成立するのは, $(ay-bx)^2=0, ~(az-cx)^2=0, $
$~(bz-cy)^2=0$ すなわち, $ ay-bx=0, ~az-cx=0, $ $~bz-cy=0$ のときであり,これは
a:b:c=x:y:z
\end{align} のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式に関しては,付録 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式 を参照のこと. コーシー・シュワルツ不等式【数学ⅡB・式と証明】 - YouTube $n=3$ のとき
不等式は,$(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2 \le (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$
となります.おそらく,この形のコーシー・シュワルツの不等式を使用することが最も多いと思います.この場合も $n=2$ の場合と同様に,(右辺)ー(左辺) を考えれば示すことができます. $$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2 $$
$$=a_1^2(b_2^2+b_3^2)+a_2^2(b_1^2+b_3^2)+a_3^2(b_1^2+b_2^2)-2(a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_2b_3+a_3a_1b_3b_1)$$
$$=(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_1b_3-a_3b_1)^2 \ge 0$$
典型的な例題
コーシーシュワルツの不等式を用いて典型的な例題を解いてみましょう! 特に最大値や最小値を求める問題で使えることが多いです. 問 $x, y$ を実数とする.$x^2+y^2=1$ のとき,$x+3y$ の最大値を求めよ. →solution
コーシーシュワルツの不等式より,
$$(x+3y)^2 \le (x^2+y^2)(1^2+3^2)=10$$
したがって,$x+3y \le \sqrt{10}$ である.等号は $\frac{y}{x}=3$ のとき,すなわち $x=\frac{\sqrt{10}}{10}, y=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ のとき成立する.したがって,最大値は $\sqrt{10}$
問 $a, b, c$ を正の実数とするとき,次の不等式を示せ. $$abc(a+b+c) \le a^3b+b^3c+c^3a$$
両辺 $abc$ で割ると,示すべき式は
$$(a+b+c) \le \left(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b} \right)$$
となる.コーシーシュワルツの不等式より,
$$\left(\frac{a}{\sqrt{c}}\sqrt{c}+\frac{b}{\sqrt{a}}\sqrt{a}+\frac{c}{\sqrt{b}}\sqrt{b} \right)^2 \le \left(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b} \right)(a+b+c)$$
この両辺を $a+b+c$ で割れば,示すべき式が得られる. どうも。GWも絶賛仕事が入っているそのへんのひと。です。
みなさんはGW楽しんでますか? いいですねえー・・・・・。
そんな私の癒しである、BLCDで最近はまって聞いている「愛の~」シリーズ。今回は、「愛の裁きを受けろ!」の感想いきたいとおもいます。
愛の裁きを受けろ! あらすじ
タランチュラ出身でハイクラス種屈指の名家に生まれた七雲陶也は、空虚な毎日を送っている大学生。退屈を紛らわすためのクラブ通いにもうんざりしていたある日、陶也はロウクラス種の郁と出会う。カイコガという起源種のせいで口がきけず体も弱い郁は、陶也のことを好きなのだという。大のロウクラス嫌いの陶也は、手ひどく捨ててやるつもりで郁と付き合うことにするが、どんなに邪険に扱っても健気なまなざしを向けてくる郁に、いつしか癒されていることに気づき!? 究極の擬人化チックラブス トー リー登場。
(Googl Booksより)
2013年に小説が発売。前に感想をご紹介した「愛の蜜に酔え!」の次にあたる作品です。
ドラマCDが発売!! 愛の裁きを受けろ！. 2016年11月に発売されました。
興津和幸 × 斉藤壮馬 私は壮馬くん初BL。興津さんはいつもお世話になってます! なにがすごいって、壮馬くんの役は「しゃべれない」役なんですよ。
え??ってなるでしょ。ドラマCDでしゃべれない役って・・・・。成立するのですか・・・。って思うでしょ! ところがどっこい。彼はやる男だよ。やばいよ、壮馬くん。
興津さん演じるトウヤとは出会って間もないころは筆談で会話をしているけど、最後には口の動きで相手の言っていることがわかるっていう。これはやばいでしょ。やばいしかいえないでしょ。
筆談のころの壮馬くん演じる郁は、健気で筆談シーンも一生懸命感が伝わって来るシーンが印象的です。お別れのシーンではその筆談で使っていたノートをトウヤは欲しいと言い再会の時までずっと保管しているのですが、これもこの設定ならではのキュンポイント!よくこれをドラマCDに!と思ったけど、この設定にはすごいときめきポイントと切ないポイントが多かった。
身体が弱く、30歳まで生きられないかもしれない郁はこんな自分といてもトウヤを傷つけると身を引きますが、短い間かもしれないけど愛したいトウヤは彼を必死に追いかけます。
つらく、苦しい状況となることがわかっていても愛したい
もーなんて切ないの!!!! ※続巻自動購入の対象となるコンテンツは、次回配信分からとなります。現在発売中の最新巻を含め、既刊の巻は含まれません。ご契約はページ右の「続巻自動購入を始める」からお手続きください。
不定期に刊行される特別号等も自動購入の対象に含まれる場合がありますのでご了承ください。(シリーズ名が異なるものは対象となりません)
※My Sony IDを削除すると続巻自動購入は解約となります。
解約方法:マイページの「予約自動購入設定」より、随時解約可能です
Reader Store BOOK GIFT とは
ご家族、ご友人などに電子書籍をギフトとしてプレゼントすることができる機能です。
贈りたい本を「プレゼントする」のボタンからご購入頂き、お受け取り用のリンクをメールなどでお知らせするだけでOK! ぜひお誕生日のお祝いや、おすすめしたい本をプレゼントしてみてください。
※ギフトのお受け取り期限はご購入後6ヶ月となります。お受け取りされないまま期限を過ぎた場合、お受け取りや払い戻しはできませんのでご注意ください。
※お受け取りになる方がすでに同じ本をお持ちの場合でも払い戻しはできません。
※ギフトのお受け取りにはサインアップ(無料)が必要です。
※ご自身の本棚の本を贈ることはできません。
※ポイント、クーポンの利用はできません。
クーポンコード登録
Reader Storeをご利用のお客様へ
ご利用ありがとうございます! エラー(エラーコード:)
本棚に以下の作品が追加されました
本棚の開き方(スマートフォン表示の場合)
画面左上にある「三」ボタンをクリック
サイドメニューが開いたら「(本棚アイコンの絵)」ボタンをクリック
このレビューを不適切なレビューとして報告します。よろしいですか? ご協力ありがとうございました
参考にさせていただきます。
レビューを削除してもよろしいですか? 削除すると元に戻すことはできません。 --
原作未読。健気受けが喋れない、攻めがローテンションで燃え上がるのはラストまでおあずけな再会もの。後半まで郁の可愛と儚さが募ってきたところで、2枚目5トラック目の斎藤さんの泣きのモノローグがおかしくて冷めてしまった。大事なシーンでの斉藤さんの叫び泣きと泣きながらのモノローグが厳しかった。 --
原作未読。興津さんというだけで購入。そんなことより、なんだ?虫の擬人化って…そんな私がストーリーにハマりボロボロに泣くことになるなんて(笑) 興津さんの安定感は間違いない。そして、斉藤壮馬さんが凄かった。この人にはセリフなんて必要ないくらいの演技力があることを。 --
フリトで「泣けた」と聞いて期待値を上げ過ぎてしまった(フリト先に聞くのホント危険)。聴き終わってみれば目当てだった興津さんそっちのけで義兄弟の方に関心が。泣ける…確かに泣けました松岡さんが絶叫する所で。ここで合ってる?と思いながら涙。関連作の1と4も聴きましたが3作ワンパタでちょっと飽きました。意に沿わぬ相手に襲われたり、性格難有者は改心…という、ひょっとしたらシリーズで様式美かいな?悲しい場面でのBGMがほぁんほぁんな電子音なのも夢から覚める原因。でも興津さん役に呆れる中島さんの演技(吐息)が色っぽかったのは良かった。 --
コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ
【コーシー・シュワルツの不等式】を４通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」｜あ、いいね！
愛の裁きを受けろ！