この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 数学に出て来る数多くの公式の中でも有名である、相加相乗平均の不等式。 シンプルな形をしていて覚えやすいとは思いますが、あなたはこの公式を証明することはできますか? 単に式だけを覚えていて、なんで成り立つのかはわからない… というあなた。それはとても危険です。 相加相乗平均に限らず、公式がなぜ成り立つのかを理解しておかないと、公式が成り立つための条件などを意識することができず、それが答案上で失点へと結びついてしまいます。 この記事では、相加相乗平均を2つの方法で証明するだけでなく、文字が3つある場合の相加相乗平均の公式や、実際の問題を解く際の相加相乗平均の使い方についてお伝えします。 大学入試において、どうしても解けないと思った問題が、相加相乗平均を使ったらあっさり解けてしまった、ということは(本当に)よくあります。 この記事で相加相乗平均をマスターして、入試における武器にしてしまいましょう! 相加平均 相乗平均 使い分け. 文字が2つのときの相加相乗平均の証明 ではまず、一番よく見るであろう、文字が2つのときの相加相乗平均について説明します。 そもそも「相加相乗平均」とは? そもそも「相加相乗平均」とはどういった公式なのでしょうか。 「相加相乗平均」とは実は略称であり、答案で書くべき名前は「相加相乗平均の不等式」です。 この公式を☆とおきます。 では、証明していきましょう! まずはオーソドックスな数式を使う相加相乗平均の証明 まずは数式で説明します。といっても簡単な証明です。 a≧0, b≧0のとき、 よって証明できました。 さて、☆にはなぜ、「a≧0かつb≧0」という条件が執拗なほどについてくるのでしょうか。 まず☆は√abを含んでいるので、この平方根を成立させるために、ab≧0である必要があります。 つまり (a≧0かつb≧0)または(a≦0かつb≦0) です。 しかし、a≦0かつb≦0のときを考えてみると、 (a+b)/2≧√ab≧0より、(a+b)/2は0以上でなければならないのにも関わらず、 (a+b)/2が0以上となるのはa=b=0のときのみですね。負の数に負の数を足したら負の数になるし、0に負の数を足しても負の数になることがその理由です。 そして、a=b=0は、「a≧0かつb≧0」に含まれています。 よって、☆が成り立つa, bの条件は、 a≧0かつb≧0 であるわけです。 問題を解いているときに、ついここを忘れて、負の数が入っているにも関わらず相加相乗平均を使ってしまい、まったく違う答えが出てしまったりします。 「相加相乗平均を使うときは、使う数がどっちも0以上でないといけない!!
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★★ 入試でも多用する,相加平均と相乗平均の大小関係について扱います. このページでは基本(2変数)を,主に最大・最小問題で自由自在に使えるようになるまで説明し,演習問題を多く用意しました. 相加平均と相乗平均の定義と関係式 ポイント 2変数の(相加平均) $\geqq$ (相乗平均) $\boldsymbol{a>0}$,$\boldsymbol{b>0}$ とするとき,$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均,$\sqrt{ab}$ を相乗平均といい $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}}$ が成り立つ. 実用上はこれを両辺2倍した $\displaystyle \boldsymbol{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}$ をよく使う. 等号成立は $\displaystyle \boldsymbol{a=b}$ のとき. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)の証明 この(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うときには,基本的に以下の3ステップを踏みます. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ STEP1: $a>0$,$b>0$ (主役2つが正である)ことを断る. STEP2: $\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ または $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ を使用する. STEP3:等号成立確認を行う(等号成立は $a=b$ のとき) 注意点 特にSTEP3の等号成立確認は 最小値を求めるときには必須です(不等式の証明に必要ない場合もありますが,確認をする癖をつけて損はないです). 例えばAKR(当サイト管理人)の身長はおよそ $172$ cmです.朝起きた後や運動直後では多少変動するかもしれませんが (AKRの身長) $\geqq 100$ cm という不等式は正しいです. しかし実際に $100$ cmを取れるかは別の話で,等号が成り立つか確認しなければなりません. 例題と練習問題 例題 $x>0$ とする. 【高校数学Ⅱ】「相加・相乗平均の大小関係の活用」 | 映像授業のTry IT (トライイット). (1) $x+\dfrac{16}{x}\geqq8$ を示せ. (2) $x+\dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ. (3) $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ.
まず、 x 3 +y 3 +z 3 -3xyz = (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx)・・・① です。ここで、x>0、y>0、z>0の時、①の右辺は、 x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx =(2x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy-2yz-2zx)/2 ={(x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2}/2≧0 となります。よって、①より x 3 +y 3 +z 3 -3xyz≧0となりますね。 式を変形して、 (x 3 +y 3 +z 3)/3≧xyz・・・② となります。 ここで、x=a 1/3 、y=b 1/3 、z=c 1/3 とおくと、②は、 (a+b+c)/3≧(abc) 1/3 となることがわかりました。 等号は、 x=y、y=z、z=xの時、すなわちa=b=cの時に成り立つことがわかります。 変数が3つの場合の相加相乗平均の証明は以上になります。 次の章では、相加相乗平均の問題をいくつか出題します。ぜひ解いてみてください! 相加相乗平均とは？公式・証明から使い方までが簡単に理解できます（練習問題付き）｜高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」. 6:相加相乗平均の問題 では、早速相加相乗平均の問題を解いていきましょう! 問題① a>0、b>0とする。 この時、(b/a)+(a/b)≧2となることを証明せよ。 (b/a)+(a/b)≧2・√(b/a)・(a/b) (b/a)+(a/b)≧2 となります。よって示された。 問題② この時、ab+(9/ab)≧6となることを証明せよ。 ab+(9/ab)≧2・√ab・(9/ab) ab+(9/ab)≧6 となる。よって、示された。 問題③ この時、(2a+b)(2/a+1/b)≧9となることを証明せよ。 まずは、 (2a+b)(2/a+2/b)≧9 の左辺を展開してみましょう。すると、 4+(2a/b)+(2b/a)+1≧9 (2a/b)+(2b/a)≧4 より、両辺を2で割って、 (a/b)+(b/a)≧2 となります。すると、問題①と同じになりましたね。 (a/b)+(b/a)≧2・√(a/b)・(b/a) なので、 が証明されました。 まとめ 相加相乗平均の公式や使い方が理解できましたか? 相加相乗平均は高校数学で忘れがちな公式の1つ です。 相加相乗平均を忘れてしまったときは、また本記事で相加相乗平均を復習しましょう! アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】 ※アンケート実施期間:2021年1月13日~ 受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から 10名様に500円分の図書カードをプレゼント いたします。 受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!
とおきます。このとき、 となります。 x>-3より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x+3=1/(x+3) ⇔(x+3)²=1 ⇔x+3=±1 ⇔x=-2(∵x>-3) よって、A+3の最小値は1であるので、求める値であるAの最小値は-2 【問題5】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説5】 x>0より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x=x=1/x² ⇔x³=1 ⇔x=1 よって、求める最小値は 3
こんにちは。 いただいた質問について,さっそく回答いたします。 【質問の確認】 不等式の証明で,どんなときに,相加平均・相乗平均の関係を使ったらよいのかわかりません。 というご質問ですね。 【解説】 相加平均と相乗平均の大小関係は, 「 a >0, b >0 のとき, (等号が成り立つのは, a = b のとき)」 でしたね。 この関係は, 不等式を証明するときなどに使うことができるもの でした。 ただし,実際の問題では,どんなときに相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいのか,どのような2数に対して当てはめればよいのか,迷うことがあると思います。 では,具体的に見ていきましょう。 ≪その1:どんなときに,相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいの?
!」 と覚えておきましょう。 さて、 が成立するのはどんなときでしょうか。 より、 √a-√b=0 ⇔√a=√b ⇔a=b(∵a≧0, b≧0) のときに、 となることがわかります。 この等号成立条件は、実際に問題で相加相乗平均を使うときに必須ですので、おまけだと思わずしっかり理解してください! 実は図形を使っても相加相乗平均は証明できる!? さて、数式を使って相加相乗平均の不等式を証明してきましたが、実は図形を使うことで証明することもできます。 上の図をみてください。 円の中心をO、直径と円周が交わる点をA、Bとおき、 直線ABと垂直に交わり、点Oを通る直線と、円周の交点をCとおきます。 また、円周上の好きなところにPをおき、Pから直線ABに引いた垂線の足をHとおきます。 そして、 AH=a BH=b とおきます。 ただし、a≧0かつb≧0です。辺の長さが負の数になることはありえませんから、当たり前ですね。 このとき、Pを円周上のどこにおこうと、 OC≧PH になることは明らかです。 [直径]=[AH+BH]=a+b より、 OC=[半径]=(a+b)/2 ですね。 ということは、PH=√ab が示せれば、相加相乗平均の不等式が証明できると思いませんか? 相加平均 相乗平均. やってみましょう。 PH=xとおきます。 三平方の定理より、 BP²=x²+b² AP²=a²+x² ですね。 また、線分ABは円の直径であり、Pは円周上の点であるので、 ∠APBは直角です。 そこで三角形APBに三平方の定理を用いると、 AB²=AP²+BP² ⇔(a+b)²=2x²+b²+a² ⇔2x²=a²+2ab+b²-(a²+b²) ⇔2x²=2ab ⇔x²=ab ⇔x=√ab(a≧0, b≧0) よって、PH=√abを示すことができ、 ゆえに、 を示すことができました! 等号成立条件は、OC=PH、つまり Hが線分ABの中点Oと重なるときですから、 a=b です!
Last Updated on 2021年5月22日 by 履き心地とデザイン性が共存するスニーカーを作り続け、世界中から絶大な支持を得ているスポーツブランド、NIKE ナイキ。NIKEのスニーカーはスポーツを楽しむ人のみならず、芸能人やセレブリティ、ミュージシャンなど幅広い層から愛され続けてきました。 今回は、そんなNIKEのスニーカーの中でも、定番とされているモデル3選をサイズ感や選び方とともにご紹介。スニーカー初心者の女性でも、使い方次第でコーディネートをぐっと今風にできる方法についても解説していきます! NIKE ナイキ スニーカーのサイズ表 JPN cm 22 22. 5 23 23. 5 24 24. 5 25 25. 5 26 26. 5 27 USA inch 5 5. 5 6 6. 5 7 7. 5 8 8. 5 9 9. 5 10 UK inch 3. 【スニダンで購入可】NIKE AIR FORCE 1 "1-800" 2TYPES 抽選/定価/販売店舗まとめ | スニーカーダンク. 5 4 4. 5 5 5. 5 EUR inch 36 36 2/3 37 1/3 38 38 2/3 39 1/3 40 40 2/3 41 1/3 42 42 2/3 NIKEで使われているサイズ表(JP)日本で使われているサイズ表 NIKE公式サイトで使われているサイズチャートとなりますので、サイズ選びの参考にしてください。 NIKE ナイキ AIR FORCE(エア フォース) 出典:NIKE公式 コロンとしたボリューム感が絶妙で、女性からの人気も高いNIKE ナイキのAIR FORCE(エア フォース)。こちらのスニーカーはソール部分に厚みがあるので、スタイルをよく見せてくれる効果があるんです。 このシューズは「ナイキエア」を世界で初めて搭載したバスケットボールシューズとして、スニーカーブームの先駆けとなりました。この「ナイキエア」の搭載によって、ソール部分がすり減らず、高いクッション性が実現したのです。 また、アッパー部分のベンチレーションホールが運動時の通気性確保に一役買ってくれ、気温の高い夏でも蒸れることなく快適に履くことができます。 AIR FORCEのサイズ感は、他のスニーカーよりもやや小さめに作られているようです。そのため、通常はハーフサイズ(0. 5cm)、日本人に多い甲高の方は1サイズ(1. 0cm)ほど大きいものをチョイスし、つま先のゆとり部分である捨て寸を確保するのがベスト。横幅に関しては、シューレースの締め具合で調節するのが良いでしょう。 出典:Instagram カラーリングが豊富なNIKE ナイキ AIR FORCE(エア フォース)ですが、おすすめのカラーは何と言ってもホワイト。どんなコーディネートも清潔感があってすっきりと仕上がる上、黒や紺、茶といった明度が低く暗い色合いのコーディネートにプラスすることで、コーディネートが重くなりすぎるのを防いでくれるんです。 出典:BUYMA またこちらのモデルは海外限定のモデル。白地にブルーのマークが爽やかで女性らしい一品です。BUYMA(バイマ)では日本で手に入りにくいモデルも多く取り扱っているため、要チェックです!
個数 : 1 開始日時 : 2021. 08. 05(木)05:49 終了日時 : 2021. 12(木)05:48 自動延長 : あり 早期終了 この商品も注目されています 支払い、配送 配送方法と送料 送料負担:落札者 発送元:神奈川県 海外発送:対応しません 発送までの日数:支払い手続きから1~2日で発送 送料: お探しの商品からのおすすめ
NIKE ナイキ AIR MAX(エア マックス) 出典:NIKE公式 こちらのNIKE ナイキ AIR MAX(エアマックス)は、NIKEの代名詞とも呼ばれる超人気モデル。全体的にボリューム感のある作りとなっていて、ダッドスニーカーの流行が継続中の昨今にもってこいなイットアイテムなんです。 NIKE特有の高いクッション性による歩きやすさは言うまでもありませんが、加えてアッパー部分がリアルレザーではないため、お手入れが簡単な点も嬉しいポイントです。 そんなAIR MAXのサイズ感は、シリーズを通して幅がかなり狭めに作られています。そのため、日本人に多い甲高かつ幅広タイプの足には、普段通りのサイズを選んでしまうと窮屈に感じてしまう可能性が高いです。そのため、1サイズ(1. 売ってない、ナイキ エアフォース1 ローカットを買う | シューズ使用マニュアル. 0cm)ほど大きいものを購入するようにしましょう。 出典:Instagram こちらもカラーバリエーションが豊富なモデルですが、春夏はライトブルーのデニムに合わせてこのようなシュガーピンクなどの明るい配色のものを選ぶのがおすすめ。「普段ごつめのスニーカーをあまり履かない…」という女性にも挑戦しやすいアイテムです。 NIKE ナイキ AIR JORDAN(エア ジョーダン) 出典:NIKE公式 カジュアルやスポーツティーなファッションがお好みの女性におすすめなのが、NIKE ナイキ AIR JORDAN(エア ジョーダン)。今回ご紹介する中で最もメンズライクなモデルとなっています。 そんなAIR JORDANのサイズ感ですが、意外なことにハイカット・ミッドカット・ローカットのいずれも通常と比較して幅は狭めの作りとなっているようです。特につま先部分がシャープになっているため、単純に足長だけではなく足幅を含めて慎重にサイズを選ぶ必要があります。よってこちらもハーフサイズ(0. 5cm)、甲高の方は1サイズ(1. 0cm)大きいものをお試ししてみるのが良さそうです。 出典:Instagram こちらはソールのカラーリングが面白い一品。カラフルなコーディネートに合わせるのも可愛いですし、シンプルなコーディネートに差し色的に使うのもおすすめです。 いかがでしたか?女性だからこそ、「はずしアイテム」としてのスポーティーなスニーカーはマストハブ。今回ご紹介したNIKE ナイキ の定番モデルの中から、お気に入りのものが見つかれば幸いです!
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