1 状態空間表現の導出例 1. 1. 1 ペースメーカ 高齢化社会の到来に伴い,より優れた福祉・医療機器の開発が工学分野の大きなテーマの一つとなっている。 図1. 1 に示すのは,心臓のペースメーカの簡単な原理図である。これは,まず左側の閉回路でコンデンサへの充電を行い,つぎにスイッチを切り替えてできる右側の閉回路で放電を行うという動作を周期的に繰り返すことにより,心臓のペースメーカの役割を果たそうとするものである。ここでは,状態方程式を導く最初の例として,このようなRC回路における充電と放電について考える。 そのために,キルヒホッフの電圧則より,左側閉回路と右側閉回路の回路方程式を考えると,それぞれ (1) (2) 図1. 1 心臓のペースメーカ 式( 1)は,すでに, に関する1階の線形微分方程式であるので,両辺を で割って,つぎの 状態方程式 を得る。この解変数 を 状態変数 と呼ぶ。 (3) 状態方程式( 3)を 図1. 2 のように図示し,これを状態方程式に基づく ブロック線図 と呼ぶ。この描き方のポイントは,式( 3)の右辺を表すのに加え合わせ記号○を用いることと,また を積分して を得て右辺と左辺を関連付けていることである。なお,加え合わせにおけるプラス符号は省略することが多い。 図1. 2 ペースメーカの充電回路のブロック線図 このブロック線図から,外部より与えられる 入力変数 が,状態変数 の微分値に影響を与え, が外部に取り出されることが見てとれる。状態変数は1個であるので,式( 3)で表される動的システムを 1次システム (first-order system)または 1次系 と呼ぶ。 同様に,式( 2)から得られる状態方程式は (4) であり,これによるブロック線図は 図1. 3 のように示される。 図1. 3 ペースメーカの放電回路のブロック線図 微分方程式( 4)の解が (5) と与えられることはよいであろう(式( 4)に代入して確かめよ)。状態方程式( 4)は入力変数をもたないが,状態変数の初期値によって,状態変数の時間的振る舞いが現れる。この意味で,1次系( 4)は 自励系 (autonomous system) 自由系 (unforced system) と呼ばれる。つぎのシミュレーション例 をみてみよう。 シミュレーション1. 【物理】「キルヒホッフの法則」は「電気回路」を解くカギ！理系大学院生が5分で解説 - ページ 4 / 4 - Study-Z ドラゴン桜と学ぶWebマガジン. 1 式( 5)で表されるコンデンサ電圧 の時間的振る舞いを, , の場合について図1.
1を用いて (41) (42) のように得られる。 ここで,2次系の状態方程式が,二つの1次系の状態方程式 (43) に分離されており,入力から状態変数への影響の考察をしやすくなっていることに注意してほしい。 1. 4 状態空間表現の直列結合 制御対象の状態空間表現を求める際に,図1. 15に示すように,二つの部分システムの状態空間表現を求めておいて,これらを 直列結合 (serial connection)する場合がある。このときの結合システムの状態空間表現を求めることを考える。 図1. 15 直列結合() まず,その結果を定理の形で示そう。 定理1. 2 二つの状態空間表現 (44) (45) および (46) (47) に対して, のように直列結合した場合の状態空間表現は (48) (49) 証明 と に, を代入して (50) (51) となる。第1式と をまとめたものと,第2式から,定理の結果を得る。 例題1. 2 2次系の制御対象 (52) (53) に対して( は2次元ベクトル),1次系のアクチュエータ (54) (55) を, のように直列結合した場合の状態空間表現を求めなさい。 解答 定理1. 2を用いて,直列結合の状態空間表現として (56) (57) が得られる 。 問1. 4 例題1. 2の直列結合の状態空間表現を,状態ベクトルが となるように求めなさい。 *ここで, 行列の縦線と横線, 行列の横線は,状態ベクトルの要素 , のサイズに適合するように引かれている。 演習問題 【1】 いろいろな計測装置の基礎となる電気回路の一つにブリッジ回路がある。 例えば,図1. 16に示すブリッジ回路 を考えてみよう。この回路方程式は (58) (59) で与えられる。いま,ブリッジ条件 (60) が成り立つとして,つぎの状態方程式を導出しなさい。 (61) この状態方程式に基づいて,平衡ブリッジ回路のブロック線図を描きなさい。 図1. 連立方程式と行列式 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会. 16 ブリッジ回路 【2】 さまざまな柔軟構造物の制振問題は,重要な制御のテーマである。 その特徴は,図1. 17に示す連結台車 にもみられる。この運動方程式は (62) (63) で与えられる。ここで, と はそれぞれ台車1と台車2の質量, はばね定数である。このとき,つぎの状態方程式を導出しなさい。 (64) この状態方程式に基づいて,連結台車のブロック線図を描きなさい。 図1.
そこで,右側から順に電圧⇔電流を「将棋倒しのように」求めて行けます. 内容的には, x, y, z, s, t, E の6個の未知数からなる6個の方程式の連立になりますが,これほど多いと混乱し易いので,「筋道を立てて算数的に」解く方が楽です. 末端の抵抗 0. 25 [Ω]に加わる電圧が 1 [V]だから,電流は =4 [A] したがって z =4 [A] Z =4×0. 25=1 [V] 右端の閉回路にキルヒホフの第2法則を適用 0. 25×4+0. 25×4−0. 5 t =0 t =4 ( T =2) y =z+t=8 ( Y =4) 真中の閉回路にキルヒホフの第2法則を適用 0. 5y+0. 5t−1 s =0 s =4+2=6 ( S =6) x =y+s=8+6=14 ( X =14) 1x+1s= E E =14+6=20 →【答】(2) [問題6] 図のように,可変抵抗 R 1 [Ω], R 2 [Ω],抵抗 R x [Ω],電源 E [V]からなる直流回路がある。次に示す条件1のときの R x [Ω]に流れる電流 I [A]の値と条件2のときの電流 I [A]の値は等しくなった。このとき, R x [Ω]の値として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。 条件1: R 1 =90 [Ω], R 2 =6 [Ω] 条件2: R 1 =70 [Ω], R 2 =4 [Ω] (1) 1 (2) 2 (3) 4 (4) 8 (5) 12 第三種電気主任技術者試験(電験三種)平成23年度「理論」問7 左下図のように未知数が電流 x, y, s, t, I ,抵抗 R x ,電源 E の合計7個ありますが, I は E に比例するため, I, E は定まりません. x, y, s, t, R x の5個を未知数として方程式を5個立てれば解けます. (これらは I を使って表されます.) x = y +I …(1) s = t +I …(2) 各々の小さな閉回路にキルヒホフの第2法則を適用 6 y −I R x =0 …(3) 4 t −I R x =0 …(4) 各々大回りの閉回路にキルヒホフの第2法則を適用 90 x +6 y =(E)=70 s +4 t …(5) (1)(2)を(5)に代入して x, s を消去する 90( y +I)+6 y =70( t +I)+4 t 90 y +90I+6 y =70 t +70I+4 t 96 y +20I=74 t …(5') (3)(4)より 6 y =4 t …(6) (6)を(5')に代入 64 t +20I=74 t 20I=10 t t =2I これを戻せば順次求まる s =t+I=3I y = t= I x =y+I= I+I= I R x = = =8 →【答】(4)
桜木建二 赤い点線部分は、V2=R2I2+R3I3だ。できたか? 4. 部屋ごとの電位差を連立方程式として解く image by Study-Z編集部 ここまでで、電流の式と電圧ごとの二つの式ができました。この3つの式すべてを連立方程式とすることで、この回路全体の電圧や電流、抵抗を求めることができます。 ちなみに、場合によっては一つの部屋(閉回路)に電圧が複数ある場合があるので、その場合は左辺の電圧の合計を求めましょう。その際も電圧の向きに注意です。 キルヒホッフの法則で電気回路をマスターしよう キルヒホッフの法則は、電気回路を解くうえで非常に重要となります。今回紹介した電気回路以外にも、様々なパターンがありますが、このような流れで解けば必ず答えにたどりつくはずです。 電気回路におけるキルヒホッフの法則をうまく使えるようになれば、大部分の電気回路の問題は解けるようになりますよ!
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