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マンガで微分積分の本質を理解する 解析学の第一歩としての微分積分を直感的なイラストで完全理解 解析学の最初の難所ε-δ論法を使った極限の定義から微分積分までじっくりと解説。言葉だけではわかりにくい考え方も目からウロコのイラストですっきり理解。なぜこうするのか、どんな意味があるのか納得しながら学べる。 訳者まえがき Welcome to the world of Larry Gonick! (ラリー・ゴニックの世界にようこそ!) 数学を中学校・高校時代に勉強したきりのみなさん、まずは数学のいくつかの分野の中でも特に大切な「微分」と「積分」について、ラリー・ゴニックのマンガで徹底的に勉強してみませんか?
積分 とは「 微分 の反対」に相当する操作で、 関数 \(f(x)\) を使って囲まれた部分の面積を求めること を意味します。 例えば $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ は 「\(x\)軸 \(, y=f(x)\) \(, x=a\) \(, x=b\) で囲まれた部分の(符号付き)面積」を求めること を意味します。(ただし \(x\) 軸の下側にある部分の面積はマイナスとする) 今回は、具体例を通じて「積分の計算の意味」を見ていきましょう。 積分の計算と面積 例えば $\displaystyle \int_1^3 (x^2-3x+4) dx$ は、下図の黄色い部分の面積を求めることを意味します。 実際に計算してみると、$\displaystyle \int_1^3 (x^2-3x+4) dx=\dfrac{14}{3}$ と求まります。 (計算の仕方は 積分のやり方と基礎公式。不定積分と定積分の違いとは? の記事を参照) Tooda Yuuto 下図の赤い図形と比べると黄色の面積が \(\dfrac{14}{3}\) くらいになるのを実感できます。 x軸の下側の部分の面積はマイナス $\displaystyle \int_{-1}^3 (x^2-2x) dx$ は、下図の 黄色い部分の面積 から 青い部分の面積 を 引いた値 を求めることを意味します。 実際に計算してみると、$\displaystyle \int_{-1}^3 (x^2-2x) dx=\dfrac{4}{3}$ と求まります。 これは、2つの黄色い図形 \(4/3×2\) と青い部分 \(-4/3\) から成り立っています。 Tooda Yuuto 「 \(x\) 軸の下側にある部分の面積はマイナスとする」のが重要なポイントですね。 【まとめ】$\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ は「\(x\)軸 \(, y=f(x)\) \(, x=a\) \(, x=b\) で囲まれた部分の 符号付き面積 」を求めることを意味する。(ただし \(x\) 軸の下側にある部分の面積はマイナスとする) なぜ積分で面積が求まるのか? さて、それではなぜ $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ が「\(x\)軸 \(, y=f(x)\) \(, x=a\) \(, x=b\) で囲まれた部分の符号付き面積」となるのでしょうか?
積分に関しても同様です。 \(\displaystyle \int f(x)dx\) と書かれた場合は、関数\(f(x)\)を\(x\)で積分するという意味です。 積分の最後についている\(dx\)の記号によって、なにで積分するのかを明示しています。 口頭では、\(ax^2\)を積分すると\(\frac{a}{3}x^3\)であるなどという言い方があるので、 こういった表現にも注意しましょう。 この場合は、「\(x\)で」積分した場合です。 ちなみに、「\(a\)で」積分すると\(\frac{x^2}{2}a^2\)となります。 上記を式で書くと \(\displaystyle \int ax^2 dx = \frac{a}{3}x^3 +(積分定数)\) \(\displaystyle \int ax^2 da = \frac{x^2}{2}a^2+(積分定数) \) です。 記号\( dx, da \)の部分に注意して見てください。 「微分する」とは
突然ですが、「あなたの未来は微分・積分で予測できる(出来ている)」といわれたらどう思いますか?訳が分からない・・・そもそも数学なんて社会に出たらほとんど役に立たないんじゃないの?と思っている方が大多数だと思います。 でもたとえば ↓ これって不思議じゃないですか・・・ 今年は今世紀最大の流星群を見るチャンス。 どうやら今夜は今世紀最大に夜空に降り注ぐ流星群を見るチャンスとのこと。空気も澄んできた初冬。その南東の空から流れ星はやってくるらしい。新月で周りは暗く観測には絶好のチャンス。 近くの丘に登って平らな場所を見つけてシートを敷き、あったかいダウンをまとって寝転んでどこを見るわけでもなく、ただ空を見上げていると間もなく視界に尾を引いて輝く星が!消えないうちにお願いを言わないと・・・・そう思っているいるうちに次の流れ星が!!
数とは何かそして何であるべきか. 筑摩書房 ^ 足立恒雄 (2011). 数とは何か―そしてまた何であったか―. 共立出版 ^ UNESCO -World Data on Education [1] 外部リンク [ 編集] 微積分(UTokyo OpenCourseWare) 関連項目 [ 編集] ピエール・ド・フェルマー アイザック・ニュートン ゴットフリート・ライプニッツ 関孝和 分数階微積分学
がよく理解できなかったりします。 そういうのを考えるのは、これまた哲学の領域に近くなったりして、 大学の物理学って、数学の道具を使って、哲学するんですね。 このとき、微積分学(の意味するところ)を縦横無尽につかいこなせると、 飛躍的に、想像の限界をこえる(物理学の発展に貢献できる)ことができます。
スタジオジブリの代表作で邦画映画の興行収入第1位といえば「千と千尋の神隠し」。その主題歌「いつも何度でも」はタイトル通り、何度聞いても癒される名曲です。映画の世界を写し取った優しくも凛とした歌詞を紹介します。 日本映画の金字塔! 記録はいまだ破られず スタジオジブリが2001年に発表した アニメ ーション 映画 「千と千尋の神隠し」。 興業収入300億円を超えた唯一の邦画作品 として金字塔を打ち立て、その記録はいまだ破られていません。 2016年には同じく アニメ ーション 映画 「君の名は。」が大ヒット し、猛追が注目されました。 でも 「君の名は。」は250億円で邦画2位。 やはり「千と千尋の神隠し」の壁は高く分厚いですね。 日本中の相当数が見たであろう この 映画 の 主題歌 が木村弓さんが歌う「いつも何度でも」でした。 スッと耳に心地よく入って来る綺麗な歌声、繊細ではありますがどこか力強さがある歌い方。 まさに自然を表現したような 楽曲 が「いつも何度でも」です。 別の映画のために作られた?
悲しいのは。 悲しみに押しつぶされたらいけないのね? 先が見えず、暗いけれど、 この暗闇の向こうに光が待っている。 私を抱きしめてくれる あなたが そこに。 あなたに会いたいから。 もう少し、がんばってみようかな? ♪繰り返すあやまちの そのたびひとは ♪ただ青い空の 青さを知る 私って、本当にダメだ。 どうして、こんなに不器用なんだろう? 何度、同じ失敗を繰り返せば、賢くなれるんだろう? こぼれる涙で曇って何も見えない。 誰とも会いたくないよ。 部屋に一人でいる。 膝を抱えてベッドの上に一人。 そんな私の部屋の窓のカーテンを あなたが、サッと開けてくれた。 射し込む日差し。 うららかな空。 ああ、空はこんなに青かった・・・・ もう二度と日は昇らないような気さえしていたけれど 今日も、こんなに空は青い。 穏やかに微笑むあなた。 そうだね。 空は青い。 まだ少し悲しい色にも見えるけど、 大丈夫。 私は大丈夫。 ♪果てしなく 道は続いて見えるけれど ♪この両手は 光を抱ける 昨日今日明日・・・ 毎日毎日毎日、淡々と続いているような気がするけど 時々、すごく嬉しいこともあるよ! 今日と同じ日は二度と来ないね。 大好きな人達に囲まれて、楽しく幸せな毎日。 ずっとこのままでいたいけど、 この当たり前のような幸せも、 いつかは形を変えてしまうものなの? そうだとしたら・・・ 今日の、この幸せに感謝したい。 この、ささやかな私の幸せに満足したい。 ♪さよならのときの 静かな胸 ♪ゼロになるからだが 耳をすませる 世の常に習って、別れを告げる。 この体を脱ぎ捨てる時のことを想像してみる。 ♪生きている不思議 死んでいく不思議 ♪花も風も街も みんなおなじ 人はどこから来て、どこへ帰るの?
木村弓「いつも何度でも」 - Niconico Video