ちなみに1つ1つ地道に足していくのは今回はナシです。 ここで、前後ひっくり返した式を用意してみましょう。つまり、 S = 1 + 3 + 5 + 7 +9+11+13+15+17① S =17+15+13+11+9+ 7 + 5 + 3 + 1 ② ①と②の縦にそろっている数(1と17、3と15など)の和がすべて18になっているのに気づきましたか? ①+②をすると、 2S =18+18+18+18+18+18+18+18+18 =18×9 となるのがわかります。この18×9とはつまり、 [初項と末項を足した数]×[項数] です。 つまり、この数列では、 2S = [初項と末項を足した数]×[項数] ∴S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数]) となるわけです。 そして、この「S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数])」はすべての等差数列で使えます。一般化した例で考えてみましょう。 ※この説明は「... 」が入っている時点で数学的に厳密ではありません。興味のある方は数学的に厳密な証明を考えてみてください。シグマを使うやり方、項数が偶数である場合と奇数である場合に分けるやり方などがあります。 等差数列の問題を解いてみよう では、等差数列の公式をさらったところで、問題に取り組んでみましょう。
例題と練習問題 例題 (1)等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $12$ 項が $77$,第 $25$ 項が $129$ のとき,この数列の一般項を求めよ. (2)等差数列の和 $S=1+3+5+\cdots+99$ を求めよ. (3)初項が $77$,公差が $-4$ の等差数列がある.この数列の和の最大値を求めよ. 講義 上の公式を確認する問題を用意しました. (3)は数列の和の最大というテーマの問題で, 正の項を足し続けているときが和の最大 になります. 解答 (1) $\displaystyle a_{25}-a_{12}=13d=52$ ←間は $13$ 個 $\displaystyle \therefore d=4$ $\displaystyle \therefore \ a_{n}=a_{12}+(n-12)d$ ←$k=12$ を代入 $\displaystyle =77+(n-12)4$ $\displaystyle =\boldsymbol{4n+29}$ ※ 当然 $k=25$ を代入した $a_{n}=a_{25}+(n-25)d$ を使ってもいいですね. 等差数列の一般項と和 | おいしい数学. (2) 初項から末項まで $98$ 増えたので,間は $49$ 個.数列の個数は $50$ 個より $\displaystyle S=(1+99)\times 50 \div 2=\boldsymbol{2500}$ (3) 数列を $\{a_{n}\}$ とおくと $a_{n}=77+(n-1)(-4)=-4n+81$ 初項から最後の正の項までを足し続けているときが和の最大 なので,$a_{n}$ が正であるのは $a_{n}=77+(n-1)(-4)=-4n+81>0$ $\therefore \ n \leqq 20$ $a_{20}=1$ より (和の最大値) $\displaystyle =(77+1)\times 20 \div 2=\boldsymbol{780}$ ※ $S_{n}$ を出してから平方完成するよりも上の解き方が速いです. 練習問題 練習1 等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $17$ 項が $132$,第 $29$ 項が $54$ のとき,この数列の一般項を求めよ. 練習2 等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $12$ 項が $69$,第 $20$ 項が $53$ のとき,この数列の和の最大値を求めよ.
\) また、等差中項より \(2b = a + c …③\) ③ を ① に代入して、 \(3b = 45\) \(b = 15\) ①、② に戻して整理すると、 \(\left\{\begin{array}{l}a + c = 30 …①'\\ac = 216 …②'\end{array}\right. \) 解と係数の関係より、\(a\) と \(c\) は \(x\) に関する二次方程式 \(x^2 – 30x + 216 = 0\) の \(2\) 解であることがわかる。 因数分解して、 \((x − 12)(x − 18) = 0\) \(x = 12, 18\) \(a < c\) より、 \(a = 12、c = 18\) 以上より、求める \(3\) 数は \(12, 15, 18\) である。 答え: \(12, 15, 18\) 以上で、計算問題も終わりです! 等差数列は、最も基本的な数列の \(1\) つです。 覚えることや問題のバリエーションが多く、大変に感じるかもしれませんが、等差数列の性質や公式の成り立ちを理解していれば、なんてことはありません。 ぜひ、等差数列をマスターしてくださいね!
東大塾長の山田です。 このページでは、 数学 B 数列の「等差数列」について解説します 。 今回は 等差数列の基本的なことから,一般項,等差数列の和の公式とその証明 まで,具体的に問題(入試問題)を解きながら超わかりやすく解説していきます。 また,参考として調和数列についても解説しています。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 等差数列とは? 等差数列の一般項の求め方. まずは,等差数列の定義を確認しましょう。 等差数列 隣り合う2項の差が常に一定の数列のこと。 例えば,数列 1, 4, 7, 10, 13, 16, \( \cdots \) は,初項1に次々に3を加えて得られる数列です。 1つの項とその隣の項との差は常に3で一定です。 このような数列を 等差数列 といい,この差(3)を 公差 といいます。 したがって,等差数列 \( {a_n} \) の公差が \( d \) のとき,すべての自然数 \( n \) について次の関係が成り立ちます。 等差数列の定義 \( a_{n+1} = a_n + d \) すなわち \( a_{n+1} – a_n = d \) 2. 等差数列の一般項 2. 1 等差数列の一般項の公式 数列 \( {a_n} \) の第 \( n \) 項 \( a_n \) が \( n \) の式で表されるとき,これを数列 \( {a_n} \) の 一般項 といいます。 等差数列の一般項は次のように表されます。 なぜこのような式なるのかを,必ず理解しておきましょう。 次で解説していきます。 2. 2 等差数列の一般項の導出 【証明】 初項 \( a \),公差 \( d \) の等差数列 \( {a_n} \) の第 \( n \) 項は次の図のように表される。 第 \( n \) 項は,初項 \( a_1 = a \) に公差 \( d \) を \( (n-1) \) 回加えたものだから,一般項は \( \large{ \color{red}{ a_n = a + (n-1) d}} \) となる。 2. 3 等差数列の一般項を求める問題(入試問題) 【解答】 この数列の初項を \( a \),公差を \( d \) とすると \( a_n = a + (n-1) d \) \( a_5 = 3 \),\( a_{10} = -12 \) であるから \( \begin{cases} a + 4d = 3 \\ a + 9d = -12 \end{cases} \) これを解くと \( a = 15 \),\( d = -3 \) したがって,公差 \( \color{red}{ -3 \cdots 【答】} \) 一般項は \( \begin{align} \color{red}{ a_n} & = 15 + (n-1) \cdot (-3) \\ \\ & \color{red}{ = -3n + 18 \cdots 【答】} \end{align} \) 2.
計算問題①「等差数列と調和数列」 計算問題① 数列 \(\{a_n\}\) について、各項の逆数を項とする数列 \(\displaystyle \frac{1}{a_1}, \displaystyle \frac{1}{a_2}, \displaystyle \frac{1}{a_3}, \) … が等差数列になるとき、もとの数列 \(\{a_n\}\) を調和数列という。 例えば、数列 \(1, \displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{1}{3}, \displaystyle \frac{1}{4}, \) … は調和数列である。 このことを踏まえ、調和数列 \(20, 15, 12, 10, \) … の一般項 \(a_n\) を求めよ。 大学の入試問題では、問題文の冒頭で見慣れない単語の定義を説明し、受験生にそれを理解させた上で解かせる問題が、少なからず存在します。 こういった場合は、あわてず、問題の意味をしっかり理解した上で解きましょう!
4 等差数列の性質(等差中項) 数列 \( a, \ b, \ c \) が等差数列ならば \( b – a = c – b \) ゆえに \( 2b = a+c \) このとき,\( b \) を \( a \) と \( c \) の 等差中項 といいます。 \( \displaystyle b = \frac{a + c}{2} \) より,\( b \) は \( a \) と \( c \) の 相加平均 になります。 3. 等差数列の和 次は等差数列の和について解説していきます。 3. 1 等差数列の和の公式 等差数列の和の公式 3. 2 等差数列の和の公式の証明 まずは具体的に 「初項 1 ,公差2 ,項数10 の等差数列の和S 」 を求めることを考えてみましょう。 次のように,ますSを並べ,その下に和の順序を逆にしたものを並べます。 そして辺々を足します。 すると,「2S=20が10個分」となるので \( 2S = 20 \times 10 \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S} = \frac{1}{2} \times(20 \times 10) \color{red}{ = 100} \) と求めることができました。 順序を逆にしたものと足し合わせることで,和が同じ数字が項の数だけ出てくるので,数列の和を求めることができます! この考え方で,一般化して等差数列の和を求めてみましょう。 初項 \( a \),末項 \( l \),項数 \( n \) の等差数列の和を \( S_n \) とすると 右辺は,\( a + l \) を \( n \) 個加えたものなので \( 2 S_n = n (a+l) \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)} \cdots ① \) また,\( l \) は第 \( n \) 項なので \( l = a + (n-1) d \) これを①に代入すると \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}} \) が得られます。 よって公式②は①を変形したものです。 3. 等差数列の一般項. 3 等差数列の和を求める問題 それでは,公式を使って等差数列の和を求める問題にチャレンジしてみましょう。 (1) は初項・公差がわかっているので,公式①で一発です。 (2) は初項1,公差3,末項100とわかりますが, 項数がわかりません 。 まずは項数を求めてから,公式で和を求めます 。 (1) 初項20,公差3,項数10より \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 10 \left\{ 2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 3 \right\} \\ & \color{red}{ = 335 \cdots 【答】} (2) 初項1,公差3であるから,末項100が第 \( n \) 項であるとすると \( 1 + (n-1) \cdot 3 = 100 \) ∴ \( n = 34 \) よって,初項1,末項100,項数34の等差数列の和を求めると \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 34 (1 + 100) \\ & \color{red}{ = 1717 \cdots 【答】} 等差数列の和の公式の使い分け 4.
ある人からプレゼントを頂いたけど…もらうと良くないものってあるのかな? そんな疑問をお持ちの方、いらっしゃるのではないでしょうか? 特別な日や誕生日など、あらゆるタイミングでもらうことがある『 プレゼント 』。形に残るものや食べ物など、いただくものも様々です。 贈り物には『 送り主の気持ち 』が込められていると言いますが…スピリチュアル的な観点から見て、危険性はあるのかどうか…気になっている方も多いと思います。 そこで今回は【 他人からもらうと危険なもの 】について、霊能師として世界で活躍する【 姉 】に、【 弟 】である私が話を聞いてきました。 【霊的に見る】他人からもらうと危険なものって?対処法もご紹介 弟 姉 他人からもらうと危険なものってある? 姉ちゃん、今回は【 他人からもらうと危険なもの 】について話を聞いていくよ。スピリチュアルの観点から見て、他人からもらうと危険なものってあったりするの? うん。実は結構あるんだ。1番危険なものは『 人形 』や『 ぬいぐるみ 』だね。 他にも、 海外のお守り アクセサリー 中古品 リメイク品 造花 なども、注意が必要かなと思うよ。 もらうと危険なものは意外と多い 案外多いんだね…!それって、どうしてもらうと危険なの? 気になるスピリチュアルカウンセラー 全部かかってみました！ - さくら 真理子 - Google ブックス. もらうと危険な理由とは これらのものは…とにかく【 念 】がこもりやすいんだ。 姉 誰かの念がこもったものをもらってしまうと、 自分の意思で上手く動けなくなる 自分ではないような行動をしてしまう みたいに、自身に 様々な影響が出る可能性 があるから危険なんだよね(⬇) 他人の念から深刻な影響を受けてしまうことも なるほど。じゃあ、どうして人形やぬいぐるみが中でも1番危険なの? 人形やぬいぐるみが1番危険な理由 頭、手、足などの【 五体 】がある人形やぬいぐるみって…念だけじゃなく、浮遊霊などの【 霊体 】も宿りやすいんだ(⬇) 霊体が宿ってしまうと、こちらに悪さをしてくることもあるから…ちょっと厄介なんだよね。 姉 人形やぬいぐるみが全部だめという訳では無いんだけど…気を付けた方が良いかな。あとは『 どんな人 』からもらうのか、ということにも気を付けたほうが良いんだ。 可愛く見えても、人形やぬいぐるみには注意が必要 そうなんだ。『どういう人』からプレゼントをもらうと危険なの? こんな人からプレゼントをもらった時は気をつけよう まず、 普段あまり馴染みの無い人 自分に一方的に好意を持っている人 から何かをもらうものは…ちょっと 注意が必要 だよ。 姉 あまり馴染みの無い人からもらうものって…何かしらの【 呪い 】が掛けられている可能性もあるんだよね(⬇) あと、自分に対して一方的に好意を持つ人からのプレゼントには「 自分を好きになって欲しい!
オーサワジャパンから、こんな商品が出ていました。 大豆ミートを使った、ベジ釜めしの素。 こういう、混ぜるだけでお手軽!という商品、けっこうあります。 マクロビだからベジだから、 加工品とかレトルトに頼れない・・・ってことは全然ありません! こういう便利な商品を使えば、時間のないときや 余裕のないときに大助かり(^v^) 上に三つ葉とかを乗せれば綺麗になります 今回は我が家は三つ葉はなかったので 生食OK!の貴重な水菜を添えて頂きました。美味しかった~! ちなみに、水菜は生で食べるのは危険だそうです。 (水菜の話は こちらの記事 ) ↑このときの数値、とんでもない数値でしたね・・・ オーガニックだから、有機だからって安心じゃないんです。 先日土の味さんのいちばで生食OKの水菜を見つけたときは 嬉しかったですね~!!しかも激安!!! すごい野菜を安く手に入れる方法って、実はあるんですね・・・ さてさて、以前はほんとに気が狂いそうになるくらい 嫌だった、とある行かなければならない場所への訪問。 行きたくないのに、行かなければならない・・・ 突破口なんて全く見えなかったし、 何もこのまま変わりそうに思えなかったことですが、 それでも、諦めなければ、確実に何かが変わっていき。 今では随分楽に構えられるようになってきました。 それでも、避けられないのは・・・おみやげ。 車に乗りきらないくらいのおみやげをもらわなければ? あることを意識しはじめてから、タダで物をもらう機会がめちゃくちゃ増えた不思議な話。-１ | ますかけにっき。. なりません。 おみやげ、贈り物って本来・・・ 相手が喜ぶもの、ですが・・・ まあそこはこの世のねじ曲がった一面として、 相手のことを考えるよりまず先に、 自分の欲を満たすことをまず考えて優先する人間が多いこの世ですから こちら側が困る贈り物、プレゼントをされることは多いんですよね。 そして一見、ほんとに「物質」だけ見ると こんなにもらってありがたいことでしょ!優しいでしょ!! と 周囲からは言いくるめられ 嫌がる自分が ものすごーーーーい根性悪、に思えてきて。 こんなに嫌がる自分は酷い人間なんじゃ、 と 自分で自分を責めることも起きてしまうわけです。 でも。 その思い、ちょっと待ったーー!!! 相手は本当に私たちのことを思ってくれてるのか。 それは真実の愛なのか。それとも「自己愛」なのか。 よ~~く見れば、わかるはず。 真実の愛なら、相手を苦しめることはないはずです。 自分が息苦しいと感じるのは、 相手側に、「こうなってよね」「こう思ってよね!
!」 という、こちら側をコントロールしようとする思いがあるから。 これをもらって、すごく喜んでよね! これだけたくさんもらって、嬉しいでしょ? こんなにたくさん準備した私のこと、すごいと思うでしょ? これは全部いいものなんだから、いいものって言ってよね!! これだけのものをあげた私のこと、好きになりなさい!! 私のこと、感謝しなさい!!! ・・・つまり、私たち側の感情をコントロールしようとしてる時がある。 自分をコントロールしようとするエネルギーがあったら、 そりゃあ違和感を感じて当然です。 それは気のせいでもなんでもないんです。 贈り物、プレゼント、お土産など 何かをもらって でも 何かしらの違和感を感じたとき。 その感覚には、絶対、意味があるんです!! 自分のどこかが、何かを・・・感じとった、ということなんです。 (私の具体的な体験談は こちら ) そのお土産、プレゼントをあげようとした想いは何だったのか。 見栄か、義理か、それとも真実の思いやりか。 または・・・これを贈ることで何かを有利に働かせたい、という策略か。 私のことをいい人と思って感謝しなさい、というコントロールか。 真実の思いやりや愛情なら、 もらった側の負担には決してなりません。 それをもらった後なんか家族の中にトラブルが起こるとか 虫が急にどこからか入ってきたとか 予定のことがうまくいかなかったりとか 小トラブルが家庭に起こることは、ありません。 光のエネルギーは相手を苦しめるために存在しているのではないので。 もらったたくさんのものを玄関にうず高く置いていると ほんとに 憂鬱な気分になるのは抑えきれず・・・ これでも一時期に比べたら それこそ5分の1くらいには減ってきて進歩なんですが。 何とかしたくて、お仲間のTさんに電話。 明日、もしかして、会えないかな・・・ そしたら何と、夜だったのですが、 今からでももらいに行くよ、との嬉しいお言葉が!!! も~~~嬉しくて嬉しくて、 お互いの家の中間地点あたりで待ち合わせすることに。 Tさんはほんとに喜んでくれて、 私もすっごく、嬉しくて・・・ 実はTさんはこの日ちょっとブルーなことがあって でも そこに意識を合わせちゃいけない、と軌道修正して そしたら私からの電話があって、驚いたそうで。 Tさんは料理上手だしたくさん作るし 野菜はどんだけでも!!もらうよと言ってくれる人です!
愛と喜びのパワーを! まだまだ 2012年末(アセンション)頃 までは物質中心の時代が続きます。 もらったら返す事も習慣にすることで、あなたに、もっともっと良い物が集まって来る事でしょう! それが宇宙の法則なのです! お金のない幼い子供が、ご両親の誕生日に「肩もみ券」とか「手伝い券」を手渡すのも見返りのない愛と喜びのギフトなのです。もらったご両親は、嬉しくて又、何かを買ってあげたくなります。 これも宇宙の法則なのです! ギフトって楽しいですよ! いつもギフトをする人は光輝いています! 人が喜ぶ顔ってとても嬉しくなるし、その眩しい笑顔が、又、あなたのエネルギーにもなるのです! 自分が幸せになるのには、もらう事や与えられることばかりを考えたらいけません。 あなたも今日から誰かに、あなたの愛と喜びのエネルギーが入った贈り物を・・・・・ あなたの与えることは、宇宙としては黙ってられない出来事なのです! その日からあなたは神様に注目されてしまうのです! 「与えよさらば与えられん!」・・・・それが宇宙(神様)の法則です! 愛と喜びのパワーをいつも誰かに! It's up to you 、 すべては自分次第! このブログを見る方が幸せになりますように! そして全ての人が幸せになりますように! ホームページ
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