本記事では、波の関数の物理量に運動量やエネルギーを対応させ、そこから粒子のエネルギーの公式を数学的に抽出することでシュレディンガー方程式が得られることをお話します。くわえて、複素指数関数の性質について復習し、複素指数関数がどのような波を表すかを考えます。 はじめに: 化学者に数学は必要ですか? 物理のための数学 物理入門コース 10. 数学ができると化学がもっと面白くなる と思い、この記事を書こうと思いました。 s 軌道が球状であるのに、p 軌道がダンベル状なのはなぜでしょうか。軌道のエネルギー準位が上がるにつれて、軌道に節が増えるのはなぜでしょうか。こういった疑問を解くために量子化学を学ぼうと意気込むと、数学の壁にぶち当たります。付け焼き刃の計算テクニックを身につけて微分方程式や行列を演算できても、数式の意味まで味わえるのはまた別の話です。 本連載は、計算テクニックではない数学の考え方に立ち返り、それを化学の知識と結びつけることを目標とします。今回のテーマはシュレディンガー方程式です。ここから 3 回くらいにわけて、最終的に共役ポリエンの π 軌道の形と数学を結び付けたいと考えています。 そもそもシュレディンガー方程式って何? 原子スケールの自然法則を支配する基本方程式です 。その形式は次のような 位置と時間に関する偏微分方程式 です 。 この方程式は、電子の 粒子と波動の二重性 を統合するために考案されました。 こんな式が天下り的に与えられても、次の疑問が浮かびます。 この微分方程式はどこから湧いてきたの? 複素数 i が登場してるけど、物理的にはどういうこと? この記事では、これらの疑問に答えられるように、シュレディンガー方程式の起源に迫ります。ただし、いきなり複雑な三次元の方程式を導くのは骨が折れるので、ポテンシャルエネルギーのない一次元のシュレディンガー方程式を導くことにします。 シュレディンガー方程式はどこから湧いてきたの?
1章 複素数と数列 2章 複素関数と連続性 3章 正則関数 4章 複素積分とコーシーの積分定理 5章 コーシーの積分公式とテイラー展開 6章 孤立特異点と無限遠点 7章 整関数と有理形関数 8章 解析接続 9章 周積分 10章 関数のいろいろな表現 11章 等角写像 12章 Γ関数,β関数,ζ関数 13章 ベッセル関数 14章 漸近的方法
微分という完全に数学的な操作によって、電子のエネルギーを抽出できるように仕掛けていた わけです。 同様に波動関数を x で微分して運動エネルギーを抽出したいところですが、運動エネルギーには p 2 が必要です。難しいことはありません。1 階微分で関数の形が変わらないことはわかっているので、単に 2 回微分することで、p が 2 回出てくることが想像できます。 偏微分の結果をまとめましょう。右辺が運動エネルギーになるように両辺に係数を掛けてやります。 この式は、「 波動関数を 2 回位置微分する (と同時におまじないの係数をかける) と、関数の形は変えずに 運動エネルギーを抽出できる 」ことを表しています。 Step 5: 力学的エネルギーの公式を再現する 最後の仕上げです。E = p 2 /2m の公式と今までの結果を見比べます。すると、波動関数の時間微分 (におまじないを掛けたもの) と波動関数の位置の 2 階微分 (におまじないを掛けたもの) が結びつくことがわかります。これらを等式で結べば、位置エネルギーがない一次元のシュレディンガー方程式になります。 ここから大胆に飛躍して、ポテンシャルエネルギー V を与えて、三次元に拡張すれば、無事一般的なシュレディンガー方程式となります。 で、このシュレディンガー方程式はどういう意味? 「 ある関数から微分によって運動量やエネルギーをそれぞれ抽出すると、古典的なエネルギーの関係が成り立った。そのような関数はなーんだ? 数学・物理学の知識を理解するための「足りない知識」を「ツリー構造」で掘り下げていける学習サイト「コグニカル」レビュー - GIGAZINE. 」という問題を出題してるようです (2) 。導出の過程を踏まえると、なんらかの物理的な状況を想定しているわけではなく、完全に数学的な操作で導出されたようにさえ見えます。しかし実際に、この方程式を解いて得られた波動関数は実験事実をうまく説明できるのです。そのことについては、次回以降の記事でお話しすることにします。 ともかく、シュレディンガー方程式の起源に迫ることができたので、この記事の残りを使って「なぜ複素数を使ったのか?」という疑問について考えます。 どうして複素数をつかったの? 三角関数では微分するごとに sin とcos が入れ替わって厄介 だからです。たとえば sin 関数を t で微分すると、t の係数が飛び出てきて、sin 関数は cos 関数に変わってしまいます (下式)。これでは「関数の形を変えずに E を抽出する」ことができません。 どうして複素数の指数関数が波を表すの?
物理を正確に語るための言葉として, 数学は避けられない. universo é scritto in lingua matematica — 宇宙は数学の言葉で書かれている — (Galileo Galilei)
78 ID:u3uiMqeX タウン形成外科 青森で団子鼻を治すため鼻の整形を考えているのですがタウンの鼻整形の評判はどうですか?また、おすすめの医師いましたら教えて頂きたいです 383 名無しさん@Before→After 2021/01/19(火) 03:06:44. 31 ID:ZSl3rLG1 >>1 ここで定期的に話題になってる中村潔には施術絶対頼んじゃダメだ 杜撰な手術で麻酔やってるのにも関わらずめちゃくちゃ痛いしデザインした通りにできない(なんなら術前と変化がほとんどない)、それらについて術後の定期検診の際に話すと医師とは到底思えない乱暴な言葉で無理矢理追い出す 私も中村に担当されてこういう目に遭ったし >>308 とか >>323-324 見て未だに成長してないのかとガッカリしたよ 他の先生もあんまり評判よくないけど少なくともこいつにだけは絶対に任せちゃいけない 医師の指名がないとお金欲しさにすぐしゃしゃり出てくるから気を付けて 384 名無しさん@Before→After 2021/01/19(火) 08:25:14. 86 ID:3XQ1ILEI 盛岡どこに移転するの? 385 名無しさん@Before→After 2021/01/19(火) 12:11:19. 24 ID:TbdJr90x 386 名無しさん@Before→After 2021/01/20(水) 15:17:58. 12 ID:xge2J3k1 >>384 知らなかった!盛岡市から別の街に移転するの? 盛岡市内で違う場所ってことかな? 387 名無しさん@Before→After 2021/01/24(日) 20:08:21. 盛岡タウン形成外科クリニック｜美容整形は美容外科学会認定専門医にお任せください。八戸、弘前、盛岡の患者さんも多数来院。. 58 ID:8/4SchzM >>261 そのコメントだけでどの医師か分かった。 皆に同じ台詞吐いてるんですね 388 名無しさん@Before→After 2021/01/29(金) 20:02:14. 95 ID:NboFgb+L 普通に皮膚取って食い込み無くせば ケロイドは残らないし目を閉じても綺麗 大手はそうやる 狭くすればあとはどうでもいいだろ? 何が不満なんだ?という態度だよね 389 名無しさん@Before→After 2021/02/13(土) 20:57:31. 12 ID:SxZ37s8s 糞医院あげ >>387 イニシャル教えて 392 名無しさん@Before→After 2021/02/19(金) 12:44:46.
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