さて、連続型確率分布では、分布曲線下の面積が確率を示すので、確率密度関数を定積分して確率を求めるのでしたね。 正規分布はかなりよく登場する確率分布なのに、毎回 \(f(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{− \frac{(x − m)^2}{2\sigma^2}}\) の定積分をするなんてめちゃくちゃ大変です(しかも高校レベルの積分の知識では対処できない)。 そこで、「 正規分布を標準化して、あらかじめ計算しておいた確率(正規分布表)を利用しちゃおう! 」ということになりました。 \(m\), \(\sigma\) の値が異なっても、 縮尺を合わせれば対応する範囲の面積(確率)は等しい からです。 そうすれば、いちいち複雑な関数を定積分しないで、正規分布における確率を求められます。 ここから、正規分布の標準化と正規分布表の使い方を順番に説明していきます。 正規分布の標準化 ここでは、正規分布の標準化について説明します。 さて、\(m\), \(\sigma\) がどんな値の正規分布が一番シンプルで扱いやすいでしょうか?
また、正規分布についてさらに詳しく知りたい方は こちら をご覧ください。 (totalcount 73, 282 回, dailycount 1, 164回, overallcount 6, 621, 008 回) ライター: IMIN 正規分布
1 正規分布を標準化する まずは、正規分布を標準正規分布へ変換します。 \(Z = \displaystyle \frac{X − 15}{3}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。 STEP. 2 X の範囲を Z の範囲に変換する STEP. 1 の式を使って、問題の \(X\) の範囲を \(Z\) の範囲に変換します。 (1) \(P(X \leq 18)\) \(= P\left(Z \leq \displaystyle \frac{18 − 15}{3}\right)\) \(= P(Z \leq 1)\) (2) \(P\left(12 \leq X \leq \displaystyle \frac{57}{4}\right)\) \(= P\left(\displaystyle \frac{12 − 15}{3} \leq Z \leq \displaystyle \frac{\frac{57}{4} − 15}{3}\right)\) \(= P(−1 \leq Z \leq −0. 25)\) STEP. 3 Z の範囲を図示して求めたい確率を考える 簡単な図を書いて、\(Z\) の範囲を図示します。 このとき、正規分布表のどの値をとってくればよいかを検討しましょう。 (1) \(P(Z \leq 1) = 0. 5 + p(1. 00)\) (2) \(P(−1 \leq Z \leq −0. 25) = p(1. 00) − p(0. 4 正規分布表の値を使って確率を求める あとは、正規分布表から必要な値を取り出して足し引きするだけです。 正規分布表より、\(p(1. 00) = 0. 3413\) であるから \(\begin{align}P(X \leq 18) &= 0. 00)\\&= 0. 5 + 0. 3413\\&= 0. 8413\end{align}\) 正規分布表より、\(p(1. 3413\), \(p(0. 25) = 0. 0987\) であるから \(\begin{align}P\left(12 \leq X \leq \displaystyle \frac{57}{4}\right) &= p(1. 25)\\&= 0. 3413 − 0. 0987\\&= 0. 2426\end{align}\) 答え: (1) \(0.
正規分布 正規分布を標準正規分布に変形することを、 標準化 といいます。 (正規分布について詳しく知りたい方は 正規分布とは? をご覧ください。) 正規分布を標準化する式 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、 $$ Z = \frac{X-μ}{σ} $$ と変換すると、\(Z\)は標準正規分布\(N(0, 1)\)(平均0, 分散1)に従います。 標準正規分布の確率密度関数 $$ f(X) = \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ 正規分布を標準化する意味 標準正規分布表 をご存知でしょうか?下図のようなものです。何かとよく使うこの表ですが、すべての正規分布に対して用意するのは大変です(というか無理です)。そこで、他の正規分布に関しては標準化によって標準正規分布に直してから、標準正規分布表を使います。 正規分布というのは、実数倍や平行移動を同じものと考えると、一種類しかありません。なので、どの正規分布も標準化によって、標準正規分布に変換できます。そういうわけで、表も 標準正規分布表 一つで十分なのです。 標準化を使った例題 例題 とある大学の男子について身長を調査したところ、平均身長170cm、標準偏差7の正規分布に従うことが分かった。では、身長165cm~175cmの人の数は全体の何%占めるか? 解説 この問題を標準化によって解く。身長の確率変数をXと置く。平均170、標準偏差7なので、Xを標準化すると、 $$ Z = \frac{X-170}{7} $$ となる。よって \begin{eqnarray}165≦X≦175 &⇔& \frac{165-170}{7}≦Z≦\frac{175-170}{7}\\\\&⇔&-0. 71≦Z≦0. 71\end{eqnarray} であるので、標準正規分布が-0. 71~0. 71の値を取る確率が答えとなる。 これは 標準正規分布表 より、0. 5223と分かるので、身長165cm~175cmの人の数は全体の52. 23%である。 ちなみに、この例題では身長が正規分布に従うと仮定していますが、身長が本当に正規分布に従うかの検証を、 【例】身長の分布は本当に正規分布に従うのか!? で行なっております。興味のある方はお読みください。 標準化の証明 初めに標準化の式について触れましたが、どうしてこのような式になるのか、証明していきます。 証明 正規分布の性質を利用する。 正規分布の性質1 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、\(aX+b\)は正規分布\(N(aμ+b, a^2σ^2)\)に従う。 性質1において\(a = \frac{1}{σ}, b= -\frac{μ}{σ}\)とおけば、 $$ N(aμ+b, a^2σ^2) = N(0, 1) $$ となるので、これは標準正規分布に従う。また、このとき $$ aX+b = \frac{X-μ}{σ} $$ は標準正規分布に従う。 まとめ 正規分布を標準正規分布に変換する標準化についていかがでしたでしょうか。証明を覚える必要まではありませんが、標準化の式は使えるようにしておきたいところです。 余力のある人は是非証明を自分でやってみて、理解を深めて見てください!
5\) となる \(P(Z \geq 0) = P(Z \leq 0) = 0. 5\) 直線 \(z = 0\)(\(y\) 軸)に関して対称で、\(y\) は \(z = 0\) で最大値をとる \(P(0 \leq Z \leq u) = p(u)\) は正規分布表を利用して求められる 平均がど真ん中なので、面積(確率)も \(y\) 軸を境に対称でわかりやすいですね!
9}{5. 4}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。 \(\begin{align}P(X \geq 180) &= P\left(Z \geq \displaystyle \frac{180 − 171. 4}\right)\\&= P\left(Z \geq \displaystyle \frac{8. 1}{5. 4}\right)\\&≒ P(Z \geq 1. 5)\\&= 0. 5 − p(1. 5 − 0. 4332\\&= 0. 0668\end{align}\) \(400 \times 0. 0668 = 26. 72\) より、求める生徒の人数は約 \(27\) 人 答え: 約 \(27\) 人 身長が \(x \ \mathrm{cm}\) 以上であれば高い方から \(90\) 人の中に入るとする。 ここで、 \(\displaystyle \frac{90}{400} = 0. 225 < 0. 5\) より、 \(P(Z \geq u) = 0. 225\) とすると \(\begin{align}P(0 \leq Z \leq u) &= 0. 5 − P(Z \geq u)\\&= 0. 225\\&= 0. 275\end{align}\) よって、正規分布表から \(u ≒ 0. 755\) これに対応する \(x\) の値は \(0. 755 = \displaystyle \frac{x − 170. 4}\) \(\begin{align}x &= 0. 755 \cdot 5. 4 + 170. 9\\&= 4. 077 + 170. 9\\&= 174. 977\end{align}\) したがって、\(175. 0 \ \mathrm{cm}\) 以上あればよい。 答え: \(175. 0 \ \mathrm{cm}\) 以上 計算問題②「製品の長さと不良品」 計算問題② ある製品 \(1\) 万個の長さは平均 \(69 \ \mathrm{cm}\)、標準偏差 \(0. 4 \ \mathrm{cm}\) の正規分布に従っている。長さ \(70 \ \mathrm{cm}\) 以上の製品を不良品とみなすとき、この \(1\) 万個の製品の中には何個の不良品が含まれると予想されるか。 標準正規分布を用いて不良品の割合を調べ、予想個数を求めましょう。 製品の長さ \(X\) は正規分布 \(N(69, 0.
・既存の就業規則の変更で対応するのか? ・就業規則を変更せずに、個別に労働者と契約締結をするのか?
時間外・休日勤務 オンラインタイムカードやバーチャルオフィスを導入する場合は、通常の勤怠管理規定のままでも問題ありませんが、会社側で在宅勤務者の労働時間を把握できない場合などは許可制ないし禁止にする会社もあります。 (例)時間外・休日勤務を所属長の許可制にする場合 第○条 在宅勤務者が時間外労働・休日労働および深夜労働をする場合は、所定の手続きを経て所属長の許可を受けなければならない。 2 時間外および休日労働について必要な事項は就業規則第○条の定めるところによる。 3 時間外、休日および深夜の労働については、給与規程に基づき、時間外勤務手当、休日勤務手当および深夜勤務手当を支給する。 (例)在宅勤務者の時間外労働や休日労働を原則認めない場合 第○条 在宅勤務者については、原則として時間外労働、休日労働および深夜労働を認めない。ただし、やむを得ない事由がある場合は、所定の手続きを経て所属長の許可を受けなければならない。 4. 出退勤管理 出勤・退勤の時間管理 も考えられる手段をあらかじめ決めておく必要があります。 (例) 第○条 在宅勤務者は、就業規則第○条の規定に関わらず、勤務の開始および終了について次のいずれかの方法により報告しなければならない。 (1)電話 (2)電子メール (3)勤怠管理ツール (例)業務報告として勤怠管理も組み込む場合 第○条 在宅勤務者は、定期的または必要に応じて電話や電子メール等で所属長に対し、所用の業務報告をしなければならない。 5.
常時10人以上の従業員を使用する使用者は、労働基準法(昭和22年法律第49号)第89条の規定により、就業規則を作成し、所轄の労働基準監督 署長に届け出なければならないとされています。就業規則を変更する場合も同様に、所轄の労働基準監督署長に届け出なければなりません。 次に掲載しております「モデル就業規則」の規程例や解説を参考に、各事業場の実情に応じた就業規則を作成・届出してください。 モデル就業規則 (令和3年4月)
就業規則とテレワーク。テレワーク導入の際の就業規則のポイントについて社労士が解説します。 新型コロナウイルスの感染が拡大しつつあるなか、学校休校やイベント、セミナーなどの中止や延期といった動きが増加しています。経済活動へのダメージも心配されていますが、どうにかこの難局を乗り越えようと、テレワークの導入を迫られている企業が増えています。新型コロナウイルス感染症の影響で働き方改革が加速しそうです。とはいえ、今回の非常時に導入するにあたっては、スピード導入とともに、リスクヘッジもあわせて行わなければならず、いかにトラブルなく導入するかに頭を悩ませている経営者や担当者も多いでしょう。 今回は、企業がテレワークを導入するにあたって押さえておきたいポイントについて、解説していきます。 ※2020年3月14日時点での情報に基づき執筆しています。厚生労働省などの最新情報もあわせて確認していただくこともおすすめします。 就業規則とテレワーク- テレワークとは?
ただし、以下の場合は、上記の条件を満たさない場合も対象者とすることができる。 ① 災害などにより、交通機関の混乱が認められ出勤が困難な場合 ② 感染症の流行などにより、通勤、出勤の回避が必要な場合 ③ その他、社会的要請があった場合 在宅勤務の要件 在宅勤務については、会社が従業員の私生活にむやみに介入すべきではない自宅で行われることから、プライバシーにかかわることは聞くべきではありません。しかし、使用者には安全配慮義務が課されていることから必要最小限のことは在宅勤務の要件に加えるべきです。 考えられる項目は次のとおりです。 ・在宅勤務時の執務環境 ・ITインフラの環境 ・在宅勤務で行う業務の範囲 導入企業では、自宅の配置図面を提出させている例もあるようすが、プライバシーには相当な配慮をしなければなりません。また対象者直接の要件ではありませんが在宅勤務を実施する際には家族の方にも在宅勤務による働き方を適切に説明し、理解を得ておくことが必要です。 (在宅勤務の要件) 第○条 会社は在宅勤務を希望する従業員の業務内容、自宅の作業環境等が会社によって適性と判定された場合に限り在宅勤務を許可するものとする。 2.