演習問題2 以下のような特性方程式を有するシステムの安定判別を行います.
ラウス表を作る ラウス表から符号の変わる回数を調べる 最初にラウス表,もしくはラウス数列と呼ばれるものを作ります. 上の例で使用していた4次の特性方程式を用いてラウス表を作ると,以下のようになります. \begin{array}{c|c|c|c} \hline s^4 & a_4 & a_2 & a_0 \\ \hline s^3 & a_3 & a_1 & 0 \\ \hline s^2 & b_1 & b_0 & 0 \\ \hline s^1 & c_0 & 0 & 0 \\ \hline s^0 & d_0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} 上の2行には特性方程式の係数をいれます. そして,3行目以降はこの係数を利用して求められた数値をいれます. 例えば,3行1列に入れる\(b_1\)に入れる数値は以下のようにして求めます. \begin{eqnarray} b_1 = \frac{ \begin{vmatrix} a_4 & a_2 \\ a_3 & a_1 \end{vmatrix}}{-a_3} \end{eqnarray} まず,分子には上の2行の4つの要素を入れて行列式を求めます. 分母には真上の\(a_3\)に-1を掛けたものをいれます. この計算をして求められた数値を\)b_1\)に入れます. 他の要素についても同様の計算をすればいいのですが,2列目以降の数値については少し違います. 今回の4次の特性方程式を例にした場合は,2列目の要素が\(s^2\)の行の\(b_0\)のみなのでそれを例にします. \(b_0\)は以下のようにして求めることができます. ラウスの安定判別法 0. \begin{eqnarray} b_0 = \frac{ \begin{vmatrix} a_4 & a_0 \\ a_3 & 0 \end{vmatrix}}{-a_3} \end{eqnarray} これを見ると分かるように,分子の行列式の1列目は\(b_1\)の時と同じで固定されています. しかし,2列目に関しては\(b_1\)の時とは1列ずれた要素を入れて求めています. また,分子に関しては\(b_1\)の時と同様です. このように,列がずれた要素を求めるときは分子の行列式の2列目の要素のみを変更することで求めることができます. このようにしてラウス表を作ることができます.
著者関連情報 関連記事 閲覧履歴 発行機関からのお知らせ 【電気学会会員の方】電気学会誌を無料でご覧いただけます(会員ご本人のみの個人としての利用に限ります)。購読者番号欄にMyページへのログインIDを,パスワード欄に 生年月日8ケタ (西暦,半角数字。例:19800303)を入力して下さい。 ダウンロード 記事(PDF)の閲覧方法はこちら 閲覧方法 (389. 7K)
$$ D(s) = a_4 (s+p_1)(s+p_2)(s+p_3)(s+p_4) $$ これを展開してみます. \begin{eqnarray} D(s) &=& a_4 \left\{s^4 +(p_1+p_2+p_3+p_4)s^3+(p_1 p_2+p_1 p_3+p_1 p_4 + p_2 p_3 + p_2 p_4 + p_3 p_4)s^2+(p_1 p_2 p_3+p_1 p_2 p_4+ p_2 p_3 p_4)s+ p_1 p_2 p_3 p_4 \right\} \\ &=& a_4 s^4 +a_4(p_1+p_2+p_3+p_4)s^3+a_4(p_1 p_2+p_1 p_3+p_1 p_4 + p_2 p_3 + p_2 p_4 + p_3 p_4)s^2+a_4(p_1 p_2 p_3+p_1 p_2 p_4+ p_2 p_3 p_4)s+a_4 p_1 p_2 p_3 p_4 \\ \end{eqnarray} ここで,システムが安定であるには極(\(-p_1, \ -p_2, \ -p_3, \ -p_4\))がすべて正でなければなりません. システムが安定であるとき,最初の特性方程式と上の式を係数比較すると,係数はすべて同符号でなければ成り立たないことがわかります. 例えば\(s^3\)の項を見ると,最初の特性方程式の係数は\(a_3\)となっています. それに対して,極の位置から求めた特性方程式の係数は\(a_4(p_1+p_2+p_3+p_4)\)となっています. システムが安定であるときは\(-p_1, \ -p_2, \ -p_3, \ -p_4\)がすべて正であるので,\(p_1+p_2+p_3+p_4\)も正になります. 従って,\(a_4\)が正であれば\(a_3\)も正,\(a_4\)が負であれば\(a_3\)も負となるので同符号ということになります. ラウスの安定判別法 証明. 他の項についても同様のことが言えるので, 特性方程式の係数はすべて同符号 であると言うことができます.0であることもありません. 参考書によっては,特性方程式の係数はすべて正であることが条件であると書かれているものもありますが,すべての係数が負であっても特性方程式の両辺に-1を掛ければいいだけなので,言っていることは同じです. ラウス・フルビッツの安定判別のやり方 安定判別のやり方は,以下の2ステップですることができます.
これでは計算ができないので, \(c_1\)を微小な値\(\epsilon\)として計算を続けます . \begin{eqnarray} d_0 &=& \frac{ \begin{vmatrix} b_2 & b_1 \\ c_1 & c_0 \end{vmatrix}}{-c_1} \\ &=& \frac{ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ \epsilon & 6 \end{vmatrix}}{-\epsilon} \\ &=&\frac{2\epsilon-6}{\epsilon} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} e_0 &=& \frac{ \begin{vmatrix} c_1 & c_0 \\ d_0 & 0 \end{vmatrix}}{-d_0} \\ &=& \frac{ \begin{vmatrix} \epsilon & 6 \\ \frac{2\epsilon-6}{\epsilon} & 0 \end{vmatrix}}{-\frac{2\epsilon-6}{\epsilon}} \\ &=&6 \end{eqnarray} この結果をラウス表に書き込んでいくと以下のようになります. \begin{array}{c|c|c|c|c} \hline s^5 & 1 & 3 & 5 & 0 \\ \hline s^4 & 2 & 4 & 6 & 0 \\ \hline s^3 & 1 & 2 & 0 & 0\\ \hline s^2 & \epsilon & 6 & 0 & 0 \\ \hline s^1 & \frac{2\epsilon-6}{\epsilon} & 0 & 0 & 0 \\ \hline s^0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} このようにしてラウス表を作ることができたら,1列目の数値の符号の変化を見ていきます. しかし,今回は途中で0となってしまった要素があったので\(epsilon\)があります. ラウスの安定判別法 4次. この\(\epsilon\)はすごく微小な値で,正の値か負の値かわかりません. そこで,\(\epsilon\)が正の時と負の時の両方の場合を考えます. \begin{array}{c|c|c|c} \ &\ & \epsilon>0 & \epsilon<0\\ \hline s^5 & 1 & + & + \\ \hline s^4 & 2 & + & + \\ \hline s^3 & 1 &+ & + \\ \hline s^2 & \epsilon & + & – \\ \hline s^1 & \frac{2\epsilon-6}{\epsilon} & – & + \\ \hline s^0 & 6 & + & + \\ \hline \end{array} 上の表を見ると,\(\epsilon\)が正の時は\(s^2\)から\(s^1\)と\(s^1\)から\(s^0\)の時の2回符号が変化しています.
先程作成したラウス表を使ってシステムの安定判別を行います. ラウス表を作ることができれば,あとは簡単に安定判別をすることができます. 見るべきところはラウス表の1列目のみです. 上のラウス表で言うと,\(a_4, \ a_3, \ b_1, \ c_0, \ d_0\)です. これらの要素を上から順番に見た時に, 符号が変化する回数がシステムを不安定化させる極の数 と一致します. これについては以下の具体例を用いて説明します. ラウス・フルビッツの安定判別の演習 ここからは,いくつかの演習問題をとおしてラウス・フルビッツの安定判別の計算の仕方を練習していきます. 演習問題1 まずは簡単な2次のシステムの安定判別を行います. \begin{eqnarray} D(s) &=& a_2 s^2+a_1 s+a_0 \\ &=& s^2+5s+6 \end{eqnarray} これを因数分解すると \begin{eqnarray} D(s) &=& s^2+5s+6\\ &=& (s+2)(s+3) \end{eqnarray} となるので,極は\(-2, \ -3\)となるので複素平面の左半平面に極が存在することになり,システムは安定であると言えます. これをラウス・フルビッツの安定判別で調べてみます. ラウス表を作ると以下のようになります. \begin{array}{c|c|c} \hline s^2 & a_2 & a_0 \\ \hline s^1 & a_1 & 0 \\ \hline s^0 & b_0 & 0 \\ \hline \end{array} \begin{eqnarray} b_0 &=& \frac{ \begin{vmatrix} a_2 & a_0 \\ a_1 & 0 \end{vmatrix}}{-a_1} \\ &=& \frac{ \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}}{-5} \\ &=& 6 \end{eqnarray} このようにしてラウス表ができたら,1列目の符号の変化を見てみます. 制御系の安定判別(ラウスの安定判別) | 電験3種「理論」最速合格. 1列目を上から見ると,1→5→6となっていて符号の変化はありません. つまり,このシステムを 不安定化させる極は存在しない ということが言えます. 先程の極位置から調べた安定判別結果と一致することが確認できました.
2018年11月25日 2019年2月10日 前回に引き続き、今回も制御系の安定判別を行っていきましょう! ラウスの安定判別 ラウスの安定判別もパターンが決まっているので以下の流れで安定判別しましょう。 point! ①フィードバック制御系の伝達関数を求める。(今回は通常通り閉ループで求めます。) ②伝達関数の分母を使ってラウス数列を作る。(ラウスの安定判別を使うことを宣言する。) ③ラウス数列の左端の列が全て正であるときに安定であるので、そこから安定となる条件を考える。 ラウスの数列は下記のように伝達関数の分母が $${ a}{ s}^{ 3}+b{ s}^{ 2}+c{ s}^{ 1}+d{ s}^{ 0}$$ のとき下の表で表されます。 この表の1列目が全て正であれば安定ということになります。 上から3つ目のとこだけややこしいのでここだけしっかり覚えましょう。 覚え方はすぐ上にあるb分の 赤矢印 - 青矢印 です。 では、今回も例題を使って解説していきます!
効果的な風邪予防法 風邪対策は「休養と栄養」が基本ですが、他にも対策方法はあります!
咳も喉の炎症が原因ですので、 喉に刺激の少ないもの がおすすめです。 固い食べ物や水気の多い食べ物は、喉を刺激するため、むせる原因になります。 喉に通りやすく、とろりとした口当たりの良い食べ物が向いています。 風邪で咳が出る時におすすめの食事は下記のとおりです。 はちみつ・しょうが 喉には「はちみつ」&「しょうが」がおすすめです。生姜には咳を鎮める効果もあります。 「アップル蜂蜜ジンジャーティー」 などは、すりおろしたリンゴ&はちみつ&すりおろした生姜に紅茶を注ぐだけでできます。紅茶は 殺菌成分 もあるので喉の炎症に効果的でおすすめです。 喉に通りやすい豆腐もおすすめです。「湯豆腐」や「豆腐雑炊」など程よく冷まして食べるようにします。 ポタージュスープ ポタージュスープは、とろりとして口当たりの良いので喉の炎症がある時にはおすすめです。 風邪の鼻づまりの時におすすめの食事は? 鼻詰まりの時には、 温かいもの がおすすめです。 温かい湯気 などで一時的に鼻詰まりを解消できますよ。 風邪の鼻づまりの時におすすめの食事は下記のとおりです。 しょうが湯 生姜は体を内側からも温めてくれるので風邪の時には万能です。 雑炊 「卵雑炊」 など、お粥よりも具をたくさん入れて ビタミン や たんぱく質 を多く摂取できる雑炊はおすすめです。 温かく消化にもやさしい煮込みうどんもおすすめです。 風邪の回復時におすすめの食事は?
風邪は万病の元!風邪のひき始め治し方のコツ 風邪は万病の元 。聞いたことありますよね? 風邪、かかった本人ですら、もう早く治らないかな・・・。 と、あまり深刻に考えることはないかもしれません。 しかし、 風邪 は様々な病気のもと、たかが風邪という考えは良くないですよ、という意味、油断は禁物です。 そしてヒトは自分の体のことだから自分で分かる!という過剰な思いがあると思います。 それではダメなんです。 あなたの知らないところで、間違った感覚で風邪の治療、予防はさらに様々な病気を引き起こす原因があります。 今回は「風邪は万病の元」この言葉の意味を考えながら、しっかり勉強しておきましょう。 風邪の引き始めの症状はどんな感じ? 咳や鼻水が止まらない、熱が上がる、体が怠い・・。 このような症状があると人は「風邪を引いた」と判断しますよね。 病院に罹る人もいれば、市販の薬で治そうとする人もいますが、風邪の原因となるウイルスは数百種類に及ぶと言われており、特定をすることは現実的には不可能だと言われています。 つまり、薬はウイルスを撃退するものではなく、症状を緩和・改善するために飲むので、対処が遅れると症状が悪化したり長引いてしまうことがあります。 風邪は誰もがよく罹るため、どこか軽く見られがちですが、高熱が続くと体力の消耗が激しいですし、止まらない咳や鼻水は日常生活に大きな支障をきたします。 そのため、できれば引き始めに治してしまいたいものですよね。 しかし、風邪に罹った場合の症状についてはよく知っていても、風邪の引き始めの症状は詳しく知らないという方は以外に多くいます。 それでは適切な対処ができなくなってしまうので、風邪の引き始めにはどのような症状があるのか、あらかじめ知っておくことが大切です。 次のような症状がある場合は、風邪を引いているかも知れませんので、早めの就寝と栄養バランスのよい食事を心掛けるようにしましょう。 ・くしゃみ ・鼻水 ・寒気 ・頭痛 ・喉の痛み、イガイガ ・体が怠い 風邪をひいたら風邪薬は本当に効果があるのか? 風邪のひき始めの7つの対策。軽いうちに治す方法. 喉の痛みの治し方!痛みが止まらない時の7つの対処法 夜に咳が止まらない原因と対処法【咳をスグに止める方法】 ★ 風の引き始めの対策!人気の抗菌・除菌グッズが勢揃い!【楽天】 ★ あ、風邪引いたかもしれない。 そんな時、自宅にある置き薬に手を出し、そのあとゆっくり睡眠。 朝を迎えて、よし完治!このような対処をしていませんか?
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