東大塾長の山田です。 このページでは、 平均値の定理 について詳しく説明しています! 形は簡単な平均値の定理ですが、その証明や入試における使い方などをしっかりと把握するのはなかなか難しいです。それらの事項について、一つ一つ丁寧に解説していきます。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 平均値の定理について 1. 1 平均値の定理とは 平均値の定理 とは、以下のことを指します。 これだけだと意味が分からない人もいると思うので、下でその意味について解説していきます! 1. 2 平均値の定理の意味 まず、区間\([a, b]\)で連続、\((a, b)\)で微分可能という言葉についてですが、これは\(a≦x≦b\)で連続で、その端点については微分不可能でもよいということを述べています! 平均値の定理そのものについてですが、下図のように図形的に解釈するとわかりやすいです。 つまり、平均値の定理は 「\((a, f(a))\)と\((b, f(b))\)を結ぶ直線の傾き\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)」と「\(x=c\)における接線の傾き\(f'(c)\)」が等しくなるような、\(c\)が存在する ということを言っているのです。この説明で、大体の人はイメージをつかむことができたのではないでしょうか。 1. 3 平均値の定理と因数分解 平均値の定理 より \[f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)\] となります。この式は 「\(f(b)-f(a)\)から因数\(b-a\)を取り出す道具」 と捉えることができます!言い換えるならば、 「平均値の定理」⇔「\(f(b)-f(a)\)を因数分解する定理」 とできます!\(c\)が正確にわからないのが難点ですが、こういった視点も持ち合わせておくと良いでしょう。 2. 平均値の定理の証明 次に、 平均値の定理を証明 してみましょう。平均値の定理の証明は という2ステップで行われます。早速行っていきましょう! 2. 数学 平均値の定理を使った近似値. 1 ロルの定理とその証明 最大値の原理 とは、 「有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ」 というもので、感覚的には当たり前のものです。ここでの証明は省きます。(その逆の最小値の定理というものも存在します) そして ロルの定理 とは以下のことです。 まずは ロルの定理の証明 です。 【証明】 Ⅰ \(f(x)=\rm{const.
まとめ お疲れ様でした。最後に今回学んだことをまとめておくので、復習に役立ててください!
2 平均値の定理の証明
ついに 平均値の定理の証明 です。ロルの定理を用いたいので、関数\(f(x)\)に、「端点の値が等しい」というロルの定理の条件を満たすような\(g(x)\)を考えてみましょう。
それでは証明です。
関数:\(g(x)=f(x)+\alpha x\)を考えてみましょう。このとき
\[g(a)=g(b)\]
なる\(\alpha\)を探します。それぞれ代入すると
\[\quad f(a)+\alpha a=f(b)+\alpha b\]
\[∴\alpha =-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
となり、
\[g(x)=f(x)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
という関数が、\(g(a)=g(b)\)を満たすことが分かりました。
よってロルの定理より
\[g'(c)=0 \quad (a 以下順を追って解説していきます。
解説
・とにかく左辺のカッコの内側に\(\log{a}-\log{b}\)、\(右辺にa-b\)があるので、 平均値の定理のサインであると気付きます 、
\(a(\log{a}-\log{b}) \)
実際の問題文は上の様にaがかかっていますが、
大体の場合自然と処理する事ができるので、大きなサインを優先します! 3. 2 漸化式と極限
漸化式において平均値の定理を用いるのは、その漸化式が解けない\(x_{n+1}=f(x_n)\)で与えられていて、その数列\(x_n\)の極限を求める場合です。その場合、取る手順は以下のようになっています。
これが主な手順です。これを用いて以下の問題を解いてみましょう。(出典:東大理類)
東大の問題といえども、定石通り解けてしまいます。
それでは解答です! KNTメンバーズクラブ
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絶景を眺めながらさっぱり!絶景露天風呂のある温泉宿 4月の3週目だったが松本城の桜が満開で尚且つ夜になるとライトアップしていてとても幻想的。国宝でもある松本城を背に見る桜はとても良かった。
桜の季節に行きました。黒い外観に桜と青空が映えて、綺麗でした。天守まではかなり登りますが、雪をかぶった山々が遠くに見えるのも良いです。
■国宝 松本城
[住所]長野県松本市丸の内4-1
[営業時間]8時30分~17時(最終入場は16時30分)
[定休日]なし ※12月29日~31日は休み
[料金]【大人】700円【子ども】300円(松本市立博物館も観覧可)
[アクセス]【電車】JR中央本線松本駅より徒歩約20分【車】長野自動車道松本ICより約20分(約3. ブルーの花々と青空の絶景は必見です。他にも、スイセンや葉の花、チューリップ、ポピーなど、3月~5月にかけて見頃を迎えていきます。
ひとり旅ならじっくりと春の景色を堪能できますね。ぜひカメラを持ってでかけましょう♪
広大な園内はレンタルサイクルやシーサイドトレインでの移動がおすすめです。
念願のひたち海浜公園のネモフィラを見にいきました。GW前でしたのでさほど混んでもなくゆっくりと見ることができました。とても素晴らしかったしチューリップもよかったです。
(行った時期:2019年4月25日)
中々こんなに広大な場所はありませんね。。端から端まで周るのに本当に1日位かかりそうです。連休前にネモフィラの圧倒的な景色を見に行ったのですが、それはもう写真で見る以上に広く青く、特に空と花の色が調和していて本当に別世界にいるようでした。近くに咲いていた菜の花の黄色も、アクセントがあり見栄えが良かったです!これは人生で一度は来なければならない場所ではないでしょうか。世界観が大きく変ります! 「自分だけの時間」を取り戻す旅に出てみませんか?数学 平均値の定理 一般化
数学 平均値の定理を使った近似値
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