漸化式の応用問題(3項間・連立・分数形) 漸化式の応用問題として,「隣接3項間の漸化式」・「連立漸化式(\( \left\{ a_n \right\} \),\( \left\{ b_n \right\} \) 2つの数列を含む漸化式)」があります。 この記事は長くなってしまったので,応用問題については「 数列漸化式の解き方応用問題編 」の記事で詳しく解説していきます。 5. さいごに 以上が漸化式の解き方10パターンの解説です。 まずは等差・等比・階差数列の基礎パターンをおさえて,「\( b_{n+1} = pb_n + q \)型」に帰着させることを考えましょう。 漸化式を得点源にして,他の受験生に差をつけましょう!
この記事では、「漸化式」とは何かをわかりやすく解説していきます。 基本型(等差型・等比型・階差型)の解き方や特性方程式による変形など、豊富な例題で一般項の求め方を説明しますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね! 漸化式とは?
補足 特性方程式を解く過程は,試験の解答に記述する必要はありません。 「\( a_{n+1} = 3a_n – 4 \) を変形すると \( \color{red}{ a_{n+1} – 2 = 3 (a_n – 2)} \)」と書いてしまってOKです。 3.
解法まとめ $a_{n+1}=pa_{n}+q$ の解法まとめ ① 特性方程式 $\boldsymbol{\alpha=p\alpha+q}$ を作り,特性解 $\alpha$ を出す.←答案に書かなくてもOK ↓ ② $\boldsymbol{a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha)}$ から,等比型の解法で $\{a_{n}-\alpha\}$ の一般項を出す. ③ $\{a_{n}\}$ の一般項を出す. 練習問題 練習 (1) $a_{1}=2$,$a_{n+1}=6a_{n}-15$ (2) $a_{1}=-3$,$a_{n+1}=2a_{n}+9$ (3) $a_{1}=-1$,$5a_{n+1}=3a_{n}+8$ 練習の解答
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★ 漸化式の基本はいったんここまでです. 今後の多くのパターンの核となるという意味で,漸化式の基本としてかなり重要なので,仕組みも含めて理解しておくようにしましょう. 例題と解法まとめ 例題 2・4型(特性方程式型) $a_{n+1}=pa_{n}+q$ 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ. $a_{1}=6$,$a_{n+1}=3a_{n}-8$ 講義 このままでは何数列かわかりませんが, 下のように $\{a_{n}\}$ から $\alpha$ 引いた数列 $\{a_{n}-\alpha\}$ が等比数列だと言えれば, 等比型 の解き方でいけそうです. $a_{n+1}-\alpha=3(a_{n}-\alpha)$ どうすれば $\alpha$ が求められるか.与式から上の式を引けば $a_{n+1}=3a_{n}-8$ $\underline{- \) \ a_{n+1}-\alpha=3(a_{n}-\alpha)}$ $\alpha=3\alpha-8$ $\alpha$ を求めるための式 (特性方程式) が出ます.解くと $\alpha=4$ (特性解) となります. $a_{n+1}-4=3(a_{n}-4)$ となりますね.$\{a_{n}-4\}$ は初項 $a_{1}-4=2$,公比 $3$ の等比数列となって,$\{a_{n}-4\}$ の一般項を出せます.その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出します. 後は解答を見てください. 漸化式 特性方程式. 特性方程式を使って特性解を導く途中過程は答案に書かなくても大丈夫です. 解答 $\alpha=3\alpha-8 \Longleftrightarrow \alpha=4$ より ←書かなくてもOK $a_{n+1}-4=3(a_{n}-4)$ と変形すると,$\{a_{n}-4\}$ は初項 $a_{1}-4=2$,公比 $3$ の等比数列となるので,$\{a_{n}-4\}$ の一般項は $\displaystyle a_{n}-4=2\cdot3^{n-1}$ $\{a_{n}\}$ の一般項は $\boldsymbol{a_{n}=2\cdot3^{n-1}+4}$ 特性方程式について $a_{n+1}=pa_{n}+q$ の特性方程式は $a_{n+1}=pa_{n}+q$ $\underline{- \) \ a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha)}$ $\alpha=p\alpha+q$ となります.以下にまとめます.
例題 次の漸化式で表される数列 の一般項 を求めよ。 (1) , (2) ① の解き方 ( : の式であることを表す 。) ⇒ は の階差数列であることを利用します。 ② を解くときは次の公式を使いましょう。 ③ を用意し引き算をします。 例 の階差数列を とすると 、 ・・・・・・① で のとき よって①は のときも成立する。 ・・・・・・② ・・・・・・③ を計算すると ・・・・・・④ ②から となりこれを④に代入すると、 数列 は、初項 公比 4 の等比数列となるので 志望校合格に役立つ全機能が月額2, 178円(税込)!! 志望校合格に役立つ全機能が月額2, 178円(税込)! !
2. 全期前納はどのくらいお得か? 実際の契約例をもとに全期前納払いがほかの支払い方法と比べてどのくらいお得かみていきましょう。 A社の終身保険(2019年3月時点)を月払い・全期前納払いにした場合の例を紹介します。 契約の条件を以下の通りとします。 契約者:30歳男性 保険期間:終身 保険金額:500万円 払込期間:60歳まで 保険料:(月払い)月額10, 870円、(全期前納)一括で3, 784, 979円 2. 全期前納と月払いの比較 この場合の返戻金・返戻率はそれぞれ以下の通りです。 【全期前納】 【月払い】 比較してみると、全期前納の方が払込保険料の総額が128, 221円安く、そのために、31年後~45年後の解約返戻金の返戻率も4%程度アップしています。 このように確かに全期前納払いの方がお得になってはいます。 2. 全期前納は実はそんなにお得ではない ただし、返戻率が100%を超えるまで30年という長い時間がかかり、その間、まとまった資金が拘束されることを合わせてて考えると、正直なところそれほど大きなメリットとは言えません。 30年もあれば、その間に、まとまったお金が必要になるタイミングが発生する可能性もあります。 そんな時に全期前納でまとまった資金を納めておくと、それが足かせになってしまうこともありえます。 たしかに、全期前納は他の支払い方法と比べて保険料総額が少し安くなりはしますが、それがどれだけのメリットなのか考えてみることをおすすめします。 3. 一時払いと全期前納の違いは? 全期前納とよく比べられるのが「一時払い」です。 一時払いと全期前納は、いずれも「契約の際に、保険料の全額をまとめて保険会社へ納める」点で共通しています。 そのため、どう違うのか迷われる方も多いです。 あらかじめ結論を言うと、 一時払い・全期前納は保険料の取り扱い方が異なりますが、それ以前に保険の商品自体が異なります。 ここでは、以下の2つにわけて、両者の違いを解説します。 保険料の取り扱い方の違い 保険の種類・活用目的の違い(特に重要) 3. 個人年金保険の保険料は全期前納で一括支払いすると得？. 保険料の取り扱いの違い 一時払い・全期前納の保険料の取り扱い方の違いは、解約した時の扱いをみると分かりやすいです。 一時払いはあくまで「支払う」という形なので、解約時には「解約返戻金」が戻ってきます。 一方の全期前納は、保険料を「預ける」という形なので、解約した場合、保険期間が経過した分については「解約返戻金」が戻ってきますが、経過していない分の残額は全額そっくりそのまま契約者へ戻されることになります。 また、 生命保険料控除 を受けられる回数は、全期前納と違い1回だけです。 しかし、実際のところ、これらの差はそれほど重要ではありません。 なぜなら、そもそも、一時払いと全期前納では保険の種類・活用目的自体が異なるからです。 3.
保険の種類・活用目的の違い(特に重要) 全期前納・一時払いは、そもそも保険の種類・活用目的からして根本的に異なっています。 正しくは、以下の通りです。 一時払い:「 一時払い終身保険 」という保険商品 全期前納:「 終身保険 」という保険商品の保険料の払い方の一種 たとえば、全期前納や月払いを選べる「終身保険」の目的は、保険と一緒に「貯蓄をしたい」ということです。 一方、「一時払い終身保険」は、ふつうは貯蓄性自体があまり高くありません(ただし、米ドル建て一時払い終身保険の中には貯蓄性を重視したものもあります。詳しくは「 一時払い終身保険のメリットと選び方 」をご覧ください)。 B社の一時払い終身保険(2019年3月時点)の契約例をもとに、どのくらいの貯蓄性があるかみてみましょう。 ※現在、この商品は販売停止されています。 契約条件を以下のように設定します。 一時払い保険料:1, 000万円 こちらの保険の解約返戻金・死亡保険金は以下の通りです。 契約してから11年目から返戻率が100%を超えるものの、返戻率は終身保険の全期前納を選んだ場合と比べてお世辞にも高いとは言えません。 つまり貯蓄を目的にするのであれば一時払い終身保険より、月払いや全期前納ができるタイプの終身保険の方が適しているということです。 3-2-1. 一時払い終身保険の活用目的は「相続税対策」 一時払い終身保険は貯蓄ではなく相続税の対策として使われます。 一時払い終身保険を利用することで、相続税の対象となる財産評価を引き下げたり、お金を受け取れる遺族を確実に指定できたりするメリットがあるからです。 一時払い終身保険を使った相続税対策のメリットに関しては「 一時払い終身保険の2つの活用法と、円建て・外貨建ての比較 」をご覧ください。 また、貯蓄性を重視した「米ドル建て一時払い終身保険」については「 一時払い終身保険のメリットと選び方 」をご覧ください。 まとめ 全期前納とは、保険期間満了までの保険料を一括で保険会社へ預ける方法です。 一般的な月払い・年払いと比べて、保険料の総額が安くなるメリットがあるにはあります。 ただし、お得になる額はそれほど大きくはなく、全期前納でまとまった資金が長い時間拘束される注意点とあわせて考えると、重要なメリットとは言えません。 全期前納を選ぶ際は、対象の保険で月払いなどと実際にどれだけ保険料総額が安くなるのかみた上で決定することをおすすめします。 保険についてお悩みの方へ 次のようなことでお悩みではありませんか?
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掲載日:2013年10月17日 保険に加入すると支払う税金が安くなると聞いたことがあるのですが、本当でしょうか? 条件を満たす保険に加入して保険料を支払えば、皆さんのお給料から天引きされている所得税と住民税が安くなります。毎年11月頃会社へ年末調整の書類を提出すると思いますが、書類を提出することにより生命保険料控除が適用され税金が安くなる仕組みになっています。 この生命保険料控除は、一般・個人年金・介護医療の3つに分かれているため、条件等順を追ってみていきましょう。 1. 一般の生命保険料控除 生命保険会社の生命保険、かんぽ生命の簡易保険等が対象で、少額短期保険業者と締結した契約や住宅ローンに付随する団体信用生命保険は対象外となっています。保険金受取人が納税者本人・配偶者・その他の親族となる契約が対象となります。 また、保険料を1回で支払う場合「一時払い」「全期前納払い(全期間分の保険料を一括で支払うこと)」の2種類があり、扱いが違うので注意が必要です。一時払いの場合は、保険料を払い込んだ年だけが控除されて、2年目以降は控除されません。これに対して全期前納払いは保険料の前払いなので、毎年控除の対象になるという違いがあります。 2. 個人年金保険料控除 ① 年金受取人…納税者本人・配偶者のいずれかであること、かつ年金受取人が被保険者と同一人であることが必要になります。 ② 契約内容…年金の支払いが10年以上で定期的に行われること等が必要です。例えば、年金の受け取りが65歳からということで、60歳~65歳までの収入を補う目的で5年間の受け取りにすると対象外になります。なお、年金の受け取り額が変動する変額個人年金保険は個人年金保険料控除の対象外となります。ただし、要件を満たしていれば一般の生命保険料控除の対象にはなります。 3.