ここでは、 なぜ「円の接線は、接点を通る半径に垂直」なのか? を、考えていきます。 この公式のポイント ・ 円の接線は、その接点を通る半径に垂直になります。 ぴよ校長 教科書に出てくるこの公式が、なぜ成り立つのか確認して納得してみよう! 中学1年生では、円と直線の関係としてこの公式が出てきます。 ここでは図を使って、 なぜこの公式が成り立つのか?を考えながら、理解して いきたいと思います。 ぴよ校長 それでは 円の接線 の公式 を確認してみよう! 三角形の内接円と傍接円 - Wikipedia. 「円の接線は、接点を通る半径に垂直」になる説明 まずは、下の図のように 円と2点で交わる直線を引いて 、円と直線の 交点を点A、点B とします。 円の中心を点O 、 直線ABの中点を点M とします。 ここで、 三角形AMOと三角形BMO は、3辺の長さが全て同じなので、 合同な三角形 になっています。 △AMO≡△BMO 合同な三角形は、全ての角が等しいので、 ∠AMOと∠BMOは等しくなります。 ∠AMOと∠BMOの角度の合計は180度(直線)なので、 ∠AMO=∠BMO=90度(直角) になり、直線ABに対して直線MOは垂直になっているとわかります。 直線ABを円の中心から外側に移動させていき、 直線が円の円周と重なった接線になったとき、直線MOは半径と同じ になり、 接線と半径は垂直 になっています。 これで、 「円の接線は、その接点を通る半径と垂直になる」 という公式が確認できました。 まとめ ・円に交わる直線は、その中点と円の中心を通る直線と、垂直に交わります。 ・円に接する直線は、接点を通る円の半径と垂直に交わります。 ぴよ校長 円に接する直線と、半径の公式を説明してみたよ その他の中学生で習う公式は、 こちらのリンク にまとめてあるので、気になるところはぜひ読んでみて下さいね。
直角三角形の内接円 3: 4: 5 の 直角三角形 の 内接円 の 半径を求めよう。 AB = 5, BC = 4, CA = 3 内接円の中心をIとする。 円と辺BC, CA, AB との接点をP, Q, Rとする。 P, Q, R は円上の点だから, IP = IQ = IR (I は 内心) AB, BC, CAは円の 接線 である。 例えば,Aは接線AB, ACの交点だから, 二本の接線の命題 により, AQ = AR 同様に,BP = BR, CP = CQ ゆえに,四角形IPCQ は 凧型 である。 また, 接線 であるから, IP は BC に垂直, IQ は CA に垂直, IR は AB に垂直 ∠ACB は直角だから, 凧型四角形 IPCQ は正方形である。 したがって,円の半径を r とすると, CP = CQ = r, AQ = AR = 3 - r, BR = BP = 4 - r AR + BR = AB だから (3 - r) + (4 - r) = 5 ゆえに,r = 1 r = CP = CQ = 1, AQ = AR = 2, BR = BP = 3 さらに,この図で, 角BACの二等分線が直線AIであるが, 直線AB の傾きは \(\dfrac{4}{3}\), 直線AI の傾きは \(\dfrac{1}{2}\), 美しい
定円に内接する三角形の中で,面積が最大のものは正三角形である。 この定理を三通りの方法で証明します! 目次 証明1.微分を使う 証明2.イェンゼンの不等式を使う 証明3.きわどい証明 証明1.微分を使う 以下,円の半径を R R ,円の中心を O O ,三角形の各頂点を A, B, C A, B, C とします。 方針 図形的な考察から二等辺三角形であることが分かる→自由度が1になれば単純な計算問題になる!
円を先に書くと書きやすいような気がしますが好きにしてください。 円を先に書く場合は、直径を二等分するとある程度「中心の位置が分かる」ので使えます。 しかし、後から書く方法もあるのでどちらでも自分が書きやすい方で良いです。 問題にある条件通りに図を書いてみることにしましょう。 ここでは円を先に書きます。 円があって、 \(\hspace{4pt} \mathrm{AB=4\,, \, BC=3\,, \, DC=5\,, \, DA=6}\) から \(\hspace{4pt}\mathrm{BC\, <\, AB\, <\, DC\, <\, DA}\) となるように頂点を探していきます。 (\(\, \mathrm{AD}\, \)と\(\, \mathrm{BC}\, \)を平行にすると等脚台形になり、 \(\, \mathrm{AB=DC}\, \)となるので少し傾けると良いです。) おおよそでしか書けないのでだいたいで良いのですが、 出来る限り問題の条件通りに書いた方が、後々解法への方針が見通しやすいです。 図を見ていると対角線を引きたくなりますがちょっと我慢します。 え? 頂垂線 (三角形) - Wikipedia. 「対角線」引きたくなりませんか? 三角形がたくさんできるのでいろいろなことが分かりそうでしょう? 三角比の定理って三角形においての定理ばかりですよ。 三角形についての角と辺との関係を三角比というくらいですからね。 正弦定理か余弦定理の選択 (1)問題は 「\(\hspace{4pt}\sin \angle {\mathrm{BAD}}\hspace{4pt}\)の値を求めよ。」 です。 \(\hspace{4pt}\sin \angle {\mathrm{BAD}}\hspace{4pt}\)を求めるので、 『 正弦定理 』?
円周角の問題の中には複雑な問題もあります。そういう問題でも、「大きさの等しい円周角を見つけてみよう!」という気持ちで図形を眺めていると、「あっ!! 」と気づく瞬間があります。中高生の皆さんは、この気付きを楽しんでみてください。 トップ画像= Pixabay
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