モンテカルロ法の具体例として,円周率の近似値を計算する方法,およびその精度について考察します。 目次 モンテカルロ法とは 円周率の近似値を計算する方法 精度の評価 モンテカルロ法とは 乱数を用いて何らかの値を見積もる方法をモンテカルロ法と言います。 乱数を用いるため「解を正しく出力することもあれば,大きく外れることもある」というランダムなアルゴリズムになります。 そのため「どれくらいの確率でどのくらいの精度で計算できるのか」という精度の評価が重要です。そこで確率論が活躍します。 モンテカルロ法の具体例として有名なのが円周率の近似値を計算するアルゴリズムです。 1 × 1 1\times 1 の正方形内にランダムに点を打つ(→注) 原点(左下の頂点)から距離が 1 1 以下なら ポイント, 1 1 より大きいなら 0 0 ポイント追加 以上の操作を N N 回繰り返す,総獲得ポイントを X X とするとき, 4 X N \dfrac{4X}{N} が円周率の近似値になる 注: [ 0, 1] [0, 1] 上の 一様分布 に独立に従う二つの乱数 ( U 1, U 2) (U_1, U_2) を生成してこれを座標とすれば正方形内にランダムな点が打てます。 図の場合, 4 ⋅ 8 11 = 32 11 ≒ 2. 91 \dfrac{4\cdot 8}{11}=\dfrac{32}{11}\fallingdotseq 2. 91 が π \pi の近似値として得られます。 大雑把な説明 各試行で ポイント獲得する確率は π 4 \dfrac{\pi}{4} 試行回数を増やすと「当たった割合」は に近づく( →大数の法則 ) つまり, X N ≒ π 4 \dfrac{X}{N}\fallingdotseq \dfrac{\pi}{4} となるので 4 X N \dfrac{4X}{N} を の近似値とすればよい。 試行回数 を大きくすれば,円周率の近似の精度が上がりそうです。以下では数学を使ってもう少し定量的に評価します。 目標は 試行回数を◯◯回くらいにすれば,十分高い確率で,円周率として見積もった値の誤差が△△以下である という主張を得ることです。 Chernoffの不等式という飛び道具を使って解析します!
モンテカルロ法は、乱数を使う計算手法の一つです。ここでは、円周率の近似値をモンテカルロ法で求めてみます。 一辺\(2r\)の正方形の中にぴったり入る半径\(r\)の円を考えます (下図)。この正方形の中に、ランダムに点を打っていきます。 とてもたくさんの点を打つと 、ある領域に入った点の数は、その領域の面積に比例するはずなので、 \[ \frac{円の中に入った点の数}{打った点の総数} \approx \frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4} \] が成り立ちます。つまり、左辺の分子・分母に示した点の数を数えて4倍すれば、円周率の近似値が計算できるのです。 以下のシミュレーションをやってみましょう。そのとき次のことを確認してみてください: 点の数を増やすと円周率の正しい値 (3. 14159... ) に近づいていく 同じ点の数でも、円周率の近似値がばらつく
5 y <- rnorm(100000, 0, 0. 5 for(i in 1:length(x)){ sahen[i] <- x[i]^2 + y[i]^2 # 左辺値の算出 return(myCount)} と、ただ関数化しただけに過ぎません。コピペです。 これを、例えば10回やりますと… > for(i in 1:10) print(myPaiFunc() * 4 / 100000) [1] 3. 13628 [1] 3. 15008 [1] 3. 14324 [1] 3. 12944 [1] 3. 14888 [1] 3. 13476 [1] 3. 14156 [1] 3. 14692 [1] 3. 14652 [1] 3. 1384 さて、100回ループさせてベクトルに放り込んで平均値出しますか。 myPaiVec <- c() for(i in 1:100) myPaiVec[i] <- myPaiFunc() * 4 / 100000 mean(myPaiVec) で、結果は… > mean(myPaiVec) [1] 3. 141426 うーん、イマイチですね…。 あ。 アルゴリズムがタコだった(やっぱり…)。 の、 if(sahen[i] < 0. 25) myCount <- myCount + 1 # 判定とカウント ここです。 これだと、円周上の点は弾かれてしまいます。ですので、 if(sahen[i] <= 0. 25) myCount <- myCount + 1 # 判定とカウント と直します。 [1] 3. 141119 また誤差が大きくなってしまった…。 …あんまり関係ありませんでしたね…。 といっても、誤差値 |3. 141593 - 3. 141119| = 0. 000474 と、かなり小さい(と思いたい…)ので、まあこんなものとしましょう。 当然ですけど、ここまでに書いたコードは、実行するたび計算結果は異なります。 最後に、今回のコードの最終形を貼り付けておきます。 --ここから-- x <- seq(-0. 5, length=1000) par(new=T); plot(x, yP, xlim=c(-0. 5)) myCount * 4 / length(xRect) if(sahen[i] <= 0. モンテカルロ法で円周率を求める？（Ruby） - Qiita. 25) myCount <- myCount + 1 # 判定とカウント} for(i in 1:10) print(myPaiFunc() * 4 / 100000) pi --ここまで-- うわ…きったねえコーディング…。 でもまあ、このコードを延々とCtrl+R 押下で図形の描画とπの計算、両方やってくれます。 各種パラメータは適宜変えて下さい。 以上!
5)%% 0. 5 yRect <- rnorm(1000, 0, 0. 5 という風に xRect, yRect ベクトルを指定します。 plot(xRect, yRect) と、プロットすると以下のようになります。 (ここでは可視性重視のため、点の数を1000としています) 正方形っぽくなりました。 3. で述べた、円を追加で描画してみます。 上図のうち、円の中にある点の数をカウントします。 どうやって「円の中にある」ということを判定するか? 答えは、前述の円の関数、 より明らかです。 # 変数、ベクトルの初期化 myCount <- 0 sahen <- c() for(i in 1:length(xRect)){ sahen[i] <- xRect[i]^2 + yRect[i]^2 # 左辺値の算出 if(sahen[i] < 0. 25) myCount <- myCount + 1 # 判定とカウント} これを実行して、myCount の値を4倍して、1000で割ると… (4倍するのは2. より、1000で割るのも同じく2. より) > myCount * 4 / 1000 [1] 3. 128 円周率が求まりました。 た・だ・し! 我々の知っている、3. 14とは大分誤差が出てますね。 それは、点の数(サンプル数)が小さいからです。 ですので、 を、 xRect <- rnorm(10000, 0, 0. 5 yRect <- rnorm(10000, 0, 0. 5 と安直に10倍にしてみましょう。 図にすると ほぼ真っ黒です(色変えれば良い話ですけど)。 まあ、可視化はあくまでイメージのためのものですので、ここではあまり深入りはしません。 肝心の、円周率を再度計算してみます。 > myCount * 4 / length(xRect) [1] 3. 1464 少しは近くなりました。 ただし、Rの円周率(既にあります(笑)) > pi [1] 3. 141593 と比べ、まだ誤差が大きいです。 同じくサンプル数をまた10倍してみましょう。 (流石にもう図にはしません) xRect <- rnorm(100000, 0, 0. モンテカルロ法で円周率を求めてみよう！. 5 yRect <- rnorm(100000, 0, 0. 5 で、また円周率の計算です。 [1] 3. 14944 おっと…誤差が却って大きくなってしまいました。 乱数の精度(って何だよ)が悪いのか、アルゴリズムがタコ(とは思いたくないですが)なのか…。 こういう時は数をこなしましょう。 それの、平均値を求めます。 コードとしては、 myPaiFunc <- function(){ x <- rnorm(100000, 0, 0.
024\)である。 つまり、円周率の近似値は以下のようにして求めることができる。 N <- 500 count <- sum(x*x + y*y < 1) 4 * count / N ## [1] 3. モンテカルロ法 円周率 c言語. 24 円周率の計算を複数回行う 上で紹介した、円周率の計算を複数回行ってみよう。以下のプログラムでは一回の計算においてN個の点を用いて円周率を計算し、それを\(K\)回繰り返している。それぞれの試行の結果を に貯めておき、最終的にはその平均値とヒストグラムを表示している。 なお、上記の計算とは異なり、第1象限の1/4円のみを用いている。 K <- 1000 N <- 100000 <- rep(0, times=K) for (k in seq(1, K)) { x <- runif(N, min=0, max=1) y <- runif(N, min=0, max=1) [k] <- 4*(count / N)} cat(sprintf("K=%d N=%d ==> pi=%f\n", K, N, mean())) ## K=1000 N=100000 ==> pi=3. 141609 hist(, breaks=50) rug() 中心極限定理により、結果が正規分布に従っている。 モンテカルロ法を用いた計算例 モンティ・ホール問題 あるクイズゲームの優勝者に提示される最終問題。3つのドアがあり、うち1つの後ろには宝が、残り2つにはゴミが置いてあるとする。優勝者は3つのドアから1つを選択するが、そのドアを開ける前にクイズゲームの司会者が残り2つのドアのうち1つを開け、扉の後ろのゴミを見せてくれる。ここで優勝者は自分がすでに選んだドアか、それとも残っているもう1つのドアを改めて選ぶことができる。 さて、ドアの選択を変更することは宝が得られる確率にどの程度影響があるのだろうか。 N <- 10000 <- floor(runif(N) * 3) + 1 # 宝があるドア (1, 2, or 3) <- floor(runif(N) * 3) + 1 # 最初の選択 (1, 2, or 3) <- floor(runif(N) * 2) # ドアを変えるか (1:yes or 0:no) # ドアを変更して宝が手に入る場合の数を計算 <- (! =) & () # ドアを変更せずに宝が手に入る場合の数を計算 <- ( ==) & () # それぞれの確率を求める sum() / sum() ## [1] 0.
職場や友達に1人はいる情報通の女性。新しい話を仕入れてきては周りに言い広めて、時には他人の印象を操作しようともします。 受け流すことはできますが、人の陰口ともとれる行動からはなるべく離れたいですよね。近くで関わり続けていると、いつか自分の話も広められてしまうかもしれません。 こんな女性には要注意! 今回は、「噂好きな女性の特徴」をご紹介します。 他人が信じられない?
課長の〇〇さん、こんど□□部に左遷になるんだって」 「はぁ」 「あの一件で。あの一件、知らない?」 「えー、なんのことですかー?」 「いや、ここだけの話なんだけどさ、あくまでうわさだよ、実はさ……」 「へー、そんなうわさがあるんですねー、おもしろーい」 「どう思う?」 「どうでしょうねー」 話に食いつかない、リアクションもぼんやりさせる、語尾を伸ばしてバカっぽくしゃべる、決して自分の意見は言わない。「なんだろう」「どうでしょう」「よくわかんないです」を繰り返します。 そうすれば、せっかくうわさ話で盛り上がろうと思った相手としては、がっかり。「もっとリアクションのいい人と話したい」と、もう二度と、あなたにうわさ話を持ちかけようとは思いません。 これは、派閥争いや足の引っ張り合いに巻き込まれたくないときにも、応用できるテクニックです。 うわさ話という地雷原において、好リアクションは地獄への近道。そう、バカこそが最強なのです! ▼▼▼うわさ話ばかりするヤツは▼▼▼ 実は… 自慢したい、おとしめたい、共犯になりたい NG… 同調してもたしなめても地獄行き OK… バカなフリをして諦めてもらうしかない (五百田達成) 五百田達成(いおた たつなり) 作家・心理カウンセラー。心理カウンセラー。 米国CCE,Inc. 認定 GCDFキャリアカウンセラー。 東京大学教養学部卒業後、角川書店、博報堂、博報堂生活総合研究所を経て、五百田達成事務所を設立。個人カウンセリング、セミナー、講演、執筆など、活動の幅は多岐にわたる。 専門分野は「コミュニケーション心理」「社会変化と男女関係」「SNSと人づきあい」「ことばと伝え方」。 サラリーマンとしての実体験と豊富なカウンセリング実績に裏打ちされた、人間関係、コミュニケーションにまつわるアドバイスが好評を博している。「スッキリ!! 口軽すぎ。噂好きな人の特徴5つ｜「マイナビウーマン」. 」(日本テレビ)、「この差って何ですか?」(TBS)ほか、テレビ・雑誌などのメディア出演も多数。 著書『察しない男 説明しない女』『不機嫌な長男・長女 無責任な末っ子たち』『話し方で損する人 得する人』はシリーズ60万部を超える。 この記事を気に入ったらいいね!しよう
ピュアな心を持ってる? 純粋な人度診断 あなたの性格は? 本当に優しい人度診断 実はバレバレ? 腹黒女度診断 ※この記事は2020年12月29日に公開されたものです 自由奔放に生きるフリーライター。出会った男性の家を渡り歩きながら生活していた過去を武器に、恋愛コラムニストとしてライター活動を開始。自分を見つめるために、5ヶ月間ほど山で、電気なしガスなしの生活をしていた経験あり。瞑想に瞑想を重ね自由を貫くことを決める。幸せだと感じる生き方、しんどくならない他人との付き合い方など、心理的なコラムも手掛けている。
この場合どう対処していったらいいのか、一緒に考えてみましょう。 うわさ話が好きな人の特徴 ・明るくて社交的 ・お喋りが大好きである ・集団行動を好む ・中心的存在でありたい ・独占欲が強い 当然ですが、秘密は守れないので大事な話は避けましょう。 うわさ話が好きな人の心理 寂しさを紛らわすため人からかまってほしい想いから、恰好なネタを発信することで人から注目されたいと強く思っています。 特に家族構成、金銭事情、恋愛話などに興味を持ちます。 他人の不幸話は興味津津で『他人の不幸は蜜の味』と言いますが、まさにその通り。他人の不幸話を話す・聞くことで優越感に浸ります。 逆に幸せな話は聞きたくもないです。 自分のうわさ話をされているのを知ると、気分を損ない誰が言っているのかとことん問い詰めます。 ただ単に他人のうわさ話をしてストレス発散するだけの人も多いです。 どんな人がうわさ話のターゲットになるのか? ・黙って話を聞いてくれる人 ・共感してくれる人 ・一人でいる人 うわさ話が好きな人は嫌われない?
Pick The Brain :人は他人の不幸やゴシップが好きです。うわさ話やゴシップの対象になる人は、大抵みんなに幸せそうだと思われている人です。では、どうしてうわさ話をする人より、される人のほうが幸せなのでしょうか? 今回はその理由を考えていきましょう。 1. 他人のことを話すような時間の無駄遣いをしない こんな格言を聞いたことがありますか? 偉大な人はアイデアについて話し、普通の人は物事について話し、つまらない人間は他人のことを話す。 人の口によくのぼる人というのは、偉大な人です。そのような人は自分のことをするのに忙しく、常に成長を続け、幸せなので、うわさ話をしているヒマはありません。 2. うわさ話が好きな人の周りにいない 幸せや内面的な喜びは、自分の周りにいる人に大きく影響されます。いつもうわさ話をしているような人の周りにいたら、あなたもその程度の人間にしか成長できません。基本的にうわさ話というのは有害なものです。 したがって、自分や他人に関するうわさ話やゴシップを聞かないのなら、おそらく良い人たちに囲まれているのでしょう。あなた自身がゴシップ好きなら、今の状態が本当に幸せなのか、周りを見渡して考えたほうがいいです。 3. うわさ話 | 職場の人間関係110番～苦手な上司・部下の特徴、心理、対処法～. 偏った考えをしない 人は、うわさ話をするとき、大抵何かを支持します。そして、特定の考え方や方向性に偏り始めます。最終的には「誰かや何かに対して、あえて物申さなくてもいいか」と思い始め、そうなってしまうと、不幸の始まりです。こうして集団は不幸になっていきます。 しかし、うわさ話で時間を無駄にしたり、人から聞いた話を鵜呑みにしたりせず、自分の意見を固めていれば、信念を守ることができるため、幸せでいられます。 4. 人として学び、成長している うわさ話からは何も学ぶことはありません。もしあるとすれば、物事を一方的に判断するような人間になる方法だけです。そんな人間とたくさん話したいと思いますか? 偉大な人は、人を判断する方法を学んだりしません。もっと生産的なことをやっています。事実や面白いアイデアに浸り、学び、成長しています。人はそうやって成長すると、より幸せになれるのです。 5. 嘘つきではないことを誇りに思っている ゴシップというのは嘘と同じです。真実は常に拡大解釈され、すべてが際限なく誇張されます。嘘つきは喪失感や空白を埋めるためだけに大きな話をしているのであって、幸せではありません。 ゴシップの対象となっている人は、代わりに別の人と有意義な会話をしているので幸せです。そういう人は、無意味な嘘や半信半疑なことを話す必要はまったくありません。 6.