もし子供に「何で分数の割り算は逆数をかけるの?」と聞かれたら, 何と答えますか? 小学校で分数の割り算の仕方は習いましたが, 何でそうなのかと改めて考えると結構難しいものです. 今回は割り算に関して, その本質に迫り, 上記質問の回答を考えたいと思います. 子供への数学教育としてどうぞ. 簡潔な説明 問:なぜ$$\displaystyle \frac{2}{3}÷\frac{3}{5}=\frac{2}{3}×\frac{5}{3}$$なの? 私なりの答え:分数の割り算では, 割っている数=分母 をまず揃えてやります. つまり, それぞれの数の分母を揃えるために, 分母分子に同じ数をかけてあげて, $$\displaystyle \frac{2}{3}÷\frac{3}{5}=\frac{2×5}{3×5}÷\frac{3×3}{5×3}=\frac{2×5}{15}÷\frac{3×3}{15}$$ これで, 両方の分数の分母が同じ15になった. 同じ 割合 での世界 なので, あとは 分子同士を普通に割り算 すればいい. だから, $$(2×5)÷(3×3)=\frac{2×5}{3×3}=\frac{2}{3}×\frac{5}{3}$$ となる. だから, 結果として, 逆数をかけている. これで何となく分かりそうだけど, 割合 とか, 分数 の意味とかがあやふやかもしれません. 数基礎.com: 分数と整数の割り算が分かる方法！. もっと, 割り算の本質に迫りたいと思います. 割り算は"割られる数"が"割る数"の何個分か そもそも, 割り算とは, " 割られる数 "が" 割る数 "の何個分なのかを表しています. 具体例をいうと, 問:6個のりんごを2人で分けると1人何個でしょう? 式で考えると, $$6÷2=3$$です. これは, 「 割られる数6 」は「 割る数2 」の"3個分"ということもできます. $$6÷2$$のことを, 分数で$$\frac{6}{2}$$とも書きます. \(\displaystyle \frac{6}{2}\)は6が2の何個分かを表しているとも理解できます. 言い換えると, 「2が6に対して占める量」とも言うことができ, このことを「 割合 」と言います. ①\(6÷2=3\) ②\(\displaystyle \frac{6}{2}=3\) ③6は2の3個分 ④2が6に対して占める割合は3 これらは全て同じ状態を表しているのです.
線分でもイメージしてみます. 6という線分の中に2という線分が3つ分含まれるというイメージができると思います. 割り算は1単位分を表している では次に, $$6÷\displaystyle \frac{1}{2}$$を考えてみます. これが難しいのは, \(\displaystyle \frac{1}{2}\)で割るとはどういうこと? とイメージしにくいからだと思います. これも, 割る数の何個分か, と考えましょう. 先ほどの線分でイメージできます. これは, さらに次の見方もできます. 割り算とは, 「 1単位分の量 」を表す. 何で分数の割り算は逆数をかけるの？理由を説明できますか？. \(6÷\displaystyle \frac{1}{2}\)の例で言うと, これは, \(\displaystyle \frac{1}{2}\)単位の 物差し で6の相対的な量を測っています. なぜなら, 先ほどの 「③6は\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の 何個分か 」 という見方ができるからです. この\(\displaystyle \frac{1}{2}\)単位の物差しを1単位分, つまり 長さが1の物差し に置き換えてやります. そうするには, \(\displaystyle \frac{1}{2}\)を2倍にして, 相対的に6がどのくらいの大きさになるかを考えます. これは, 測る物差しを2倍にしているので, 6も2倍ですね. つまり, $$6÷\displaystyle \frac{1}{2} = (6×2)÷\left ( \displaystyle \frac{1}{2}×2 \right)=(6×2)÷1=6×2=12$$ 結果的に, \(6÷\displaystyle \frac{1}{2}\)は\(6×2\)となり, 逆数をかけていることに他なりません. 割り算の新たな見方もできました. ①\(6÷2=3\) ②\(\displaystyle \frac{6}{2}=3\) ③6は2の3個分 ④2が6に対して占める割合は3 ⑤\(\displaystyle \frac{1}{2}\)物差しの6個分(数としては3) ⑥1単位分の相対量(2を1に置き換えると相対的に6は3になる) 2/3リットルで4㎡塗れるペンキで1リットル分塗る 次のような例題を考えてみます. 例題: \(\displaystyle \frac{2}{3}\)リットルで4㎡塗れるペンキがあります.
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