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2016/4/15
2019/8/15
高校範囲を超える定理など, 定義・定理・公式など
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コーシー・シュワルツの不等式とラグランジュの恒等式
以前の記事「 コーシー・シュワルツの不等式 」の続きとして, 前回書かなかった別の証明方法を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式は次のような不等式です. ・\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2\)
等号は\(a:x=b:y\)のときのみ
・\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2\)
等号は\(a:x=b:y=c:z\)のときのみ
・\((a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geqq(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\)
等号は\(a_1:x_1=a_2:x_2=\cdots=a_n:x_n\)のときのみ
但し, \(a, b, c, x, y, z, a_1, \cdots, a_n, x_1, \cdots, x_n\)は実数. コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - MathWills. 利用する例などは 前回の記事 を参照してください. 証明. 1. ラグランジュの恒等式の利用
ラグランジュの恒等式
\[\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)=\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k \right)^2+\sum_{1\leqq k 2019/4/30
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は 有料版(電子書籍) になります. 2000番台が全て入って (¥0もしくは¥698) と,極力負担を少なくしています. こちら からどうぞ. このことから, コーシー・シュワルツの不等式が成り立ちます. 2. 帰納法を使う場合
コーシー・シュワルツの不等式は数学的帰納法で示すこともできます. \(n=2\)の場合については上と同じ考え方をして,
(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2 &= (a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2)\\
& \quad-(a_1^2b_1^2+2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_2^2)\\
&= a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2\\
&= (a_1b_2-a_2b_1)^2\\
&\geqq 0
から成り立ちます. 次に, \(n=i(\geqq 2)\)のときに成り立つと仮定すると,
\left(\sum_{k=1}^i a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^i b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^i a_kb_k\right)^2
が成り立ち, 両辺を\(\displaystyle\frac{1}{2}\)乗すると, 次の不等式になります. コーシー・シュワルツの不等式の証明【示すべき形から方針を決定する】【2011年度 大分大学】. \left(\sum_{k=1}^i a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^i b_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\geqq\sum_{k=1}^i a_kb_k
さて, \(n=i+1\)のとき
\left(\sum_{k=1}^{i+1}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{i+1}b_k^2\right)&= \left\{\left(\sum_{k=1}^i a_k^2\right)+a_{i+1}^2\right\}\left\{\left(\sum_{k=1}^i b_k^2\right)+b_{i+1}^2\right\}\\
&\geqq \left\{\left(\sum_{k=1}^ia_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^ib_k^2\right)^{\frac{1}{2}}+a_{i+1}b_{i+1}\right\}^2\\
&\geqq \left\{\left(\sum_{k=1}^i a_kb_k\right)+a_{i+1}b_{i+1}\right\}^2\\
&=\left(\sum_{k=1}^{i+1}a_kb_k\right)^2
となり, 不等式が成り立ちます. これがインスピレーション出来たら、今後、コーシーシュワルツの不等式は自力で復元できるようになっているはずです。
頑張ってみましょう。
解答はコチラ
- 実践演習, 方程式・不等式・関数系
- 不等式 但し, 2行目から3行目の変形は2項の場合のコーシー・シュワルツの不等式を利用し, 3行目から4行目の変形は仮定を利用しています. ピンポイント天気予報
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4時 21. 0 南南西 3. 0 注意
5時 21. 0 南 3. 7 注意
6時 21. 6 注意
7時 21. 9 0. 7 注意
8時 22. 渡辺徹「朝は良い天気。すこぶる気分が良いです」ブログで大動脈弁狭窄症の手術終了、退院を報告：中日スポーツ・東京中日スポーツ. 8 注意
9時 23. 0 注意
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11時 24. 2 注意
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13時 24. 7 南 2. 8 警戒
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15時 24. 3 南 3. 1 警戒
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08/08日 29℃ | 26℃ ---
08/09日 29℃ | 25℃ --- 大富士ゴルフクラブ
大富士ゴルフクラブの空中写真。 2010年5月1日撮影の8枚を合成作成。 国土交通省 国土地理院 地図・空中写真閲覧サービスの空中写真 を基に作成。
所在地
日本 静岡県 富士市 今宮1243番地
座標: 北緯35度12分25. 81秒 東経138度43分8. 84秒 / 北緯35. 2071694度 東経138. 1 6, 448 バック2 71. 0 6, 418 レギュラー 69. 6 6, 100 フロント1 66. 1 5, 337 フロント2 63. 7 4, 807 サブグリーン バック1 69. 9 6, 256 バック2 69. 7 6, 226 レギュラー 68. 4 5, 906 フロント1 65. 0 5, 160 フロント2 62. 5 4, 614
設備・サービス
練習場
20Y 6打席
乗用カート
リモコン付
GPSナビ付
宅配便
ヤマト クラブバス (発生手配)
ゴルフ場の週間天気予報
本日
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5
6
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8
クチコミ
4. 2
総合評価
( 最新6ヶ月分の平均値)
カズさん6266さん
2021年07月30日
( 静岡県 60代 男性)
楽天GORA利用回数: 25 練習グリーンが遅く、コースのグリーンはどうか不安? やっぱり遅く、寄らず入らずで苦労しました。
暑いので仕方ないと思いますが残念! とっくんとっくん7514さん
2021年07月24日
( 神奈川県 40代 男性)
楽天GORA利用回数: 91 アップダウンが多く、ブラインドホールしかなかった印象です。
平らなフェアウェイも少なく、コースを覚えてる人しか解らないと思うぐらい難しいです。
設備も昔ながらのクラブハウスといった感じです!画期的！コーシー・シュワルツの不等式の証明［今週の定理・公式No.18］ - Youtube
コーシー・シュワルツの不等式の証明【示すべき形から方針を決定する】【2011年度 大分大学】
コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - Mathwills
コーシー・シュワルツ不等式【数学Ⅱb・式と証明】 - Youtube
/\overrightarrow{n} \) となります。
したがって\( a:b=x:y\) です。
コーシ―シュワルツの不等式は内積の不等式と実質同じです。
2次方程式の判別式による証明
ややテクニカルですが、すばらしい証明方法です。
私は感動しました! 【コーシー・シュワルツの不等式】を４通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」｜あ、いいね！. \( t\)を実数とすると,次の式が成り立ちます。この式は強引に作ります! (at-x)^2+(bt-y)^2≧0 \cdots ②
この式の左辺を展開して,\( t \) について整理すると
&(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t\\
& +(x^2+y^2) ≧0
左辺を\( t \) についての2次式と見ると,判別式\( D \) は\( D ≦ 0 \) でなければなりません。
したがって
&\frac{D}{4}=\\
&(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≦0
これより
が成り立ちます。すごいですよね! 等号成立は②の左辺が0になるときなので
(at-x)^2=(bt-y)^2=0
x=at, \; y=bt
つまり,\( a:b=x:y\)で等号が成立します。
この方法は非常にすぐれていて,一般的なコーシー・シュワルツの不等式
{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)}\geq{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2} \]
の証明にも威力を発揮します。ぜひ一度試してみてほしいと思います。
「数学ってすばらしい」と思える瞬間です!
渡辺徹「朝は良い天気。すこぶる気分が良いです」ブログで大動脈弁狭窄症の手術終了、退院を報告：中日スポーツ・東京中日スポーツ