東大塾長の山田です。 このページでは、 数学 B 数列の「階差数列」について解説します 。 今回は 階差数列の一般項の求め方から,漸化式の解き方まで,具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます 。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 階差数列とは? まずは 階差数列 とは何か?ということを確認しましょう。 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の隣り合う2つの項の差 \( b_n = a_{n+1} – a_n \) を項とする数列 \( \left\{ b_n \right\} \) を,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の 階差数列 といいます。 【例】 \( \left\{ a_n \right\}: 1, \ 2, \ 5, \ 10, \ 17, \ 26, \ \cdots \) の階差数列 \( \left\{ b_n \right\} \) は となり,初項1,公差2の等差数列。 2. 階差数列と一般項 次は,階差数列と一般項について解説していきます。 2. 階差数列 一般項 プリント. 1 階差数列と一般項の公式 階差数列と一般項の公式 注意 上記の公式は「\( n ≧ 2 \) のとき」という制約付きなので注意をしましょう。 なぜなら,\( n=1 \) のとき,シグマ記号が「\( k = 1 \) から \( 0 \) までの和」となってしまい,数列の和 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) が定まらないからです。 \( n = 1 \) のときは,求めた一般項に \( n = 1 \) を代入して確認をします。 Σシグマの計算方法や公式を忘れてしまった人は「 Σシグマの公式まとめと計算方法(数列の和の公式) 」の記事で詳しく解説しているので,チェックしておきましょう。 2. 2 階差数列と一般項の公式の導出 階差数列を用いて,なぜもとの数列が「\( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \)」と表すことができるのか、導出をしていきましょう。 【証明】 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列を \( \left\{ b_n \right\} \) とすると これらの辺々を加えると,\( n = 2 \) のとき よって \( \displaystyle a_n – a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \) 以上のようにして公式を得ることができます。 3.
難しい単元が続く高校数学のなかでも、階差数列に苦しむ方は多いのではないでしょうか。 この記事では、そんな階差数列を、わかりやすく解説していきます。 まずは数の並びに慣れよう 下の数列はある規則に基づいて並んでいます。第1項から第5項まで並んでいる。 第6項を求めてみよう では(1)から(5)までじっくり見ていきましょう。 (1) 3 6 9 …とみていった場合、この並びはどこかで見たことありませんか? そうです。今は懐かしい九九の3の段ではありませんか。第1項は3×1、第2項は3×2、 第3項は3×3というように項の数を3にかけると求めることができます。よって第6項は18。 (2) これはそれぞれの項を単体で見ると、1=1³ 8=2³ 27=3³となり3乗してできる数。 こういう数を数学では立方数っていいます。しかし、第1項が0³、第2項が1³…となっており3乗する数が項数より1少ないことがわかります。よって第6項は5³=125。 (3) 分母に注目してみると、2 4 8 16 …となっており、分母に2をかけると次の項になります。ということは第5項の分母が32なのでそれに2をかけると64となります。また、1つおきに-がついているので第6項は+となります。よって第6項は1/64。 (4) 分母と分子を別々に見ていきましょう。 分子は1 3 5 7 …と奇数の並びになっているので第6項の分子は11。 分母は1 4 9 16 …となっており、2乗してできる数(第1項は1²、第2項は2²…) だから、第6項の分母は36となり第6項は11/36。 さっき3乗してできる数は立方数っていったけど2乗バージョンもあるのか気になりませんか?ちゃんとあります!平方数っていいます。 立方や平方って言葉聞いたこと過去にありませんか? 小学校のときに習った、体積や面積の単位に登場してきてますね。 立方センチメートルだの平方センチメートルでしたよね。 (5) 今までのものとは違い見た目での特徴がつかみづらいと思いませんか?
(怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~ という外部サイト) ということで,場合分けは忘れないようにしましょう! 一般項が k k 次多項式で表される数列の階差数列は ( k − 1) (k-1) 次多項式である。 これは簡単な計算で確認できます,やってみてください。 a n = A n + B a_n=An+B タイプ→等差数列だからすぐに一般項が分かる a n = A n 2 + B n + C a_n=An^2+Bn+C タイプ→階差数列が等差数列になる a n = A n 3 + B n 2 + C n + D a_n=An^3+Bn^2+Cn+D タイプ→階差数列の階差数列が等差数列になる 入試とかで登場するのはこの辺まででしょう。 一般に, a n a_n が n n の k k 次多項式のとき,階差数列を k − 1 k-1 回取れば等差数列になります。 例えば,一般項が二次式だと分かっていれば, a 1, a 2, a 3 a_1, a_2, a_3 で検算することで確証が得られるのでハッピーです。 Tag: 数学Bの教科書に載っている公式の解説一覧
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ローズ香水のおすすめ12選&口コミ|ブルガリアダマスクローズも! 優美で上品なバラの香り。そんな人を惹きつけてやまないローズは、古代エジプトで絶世の美女と謳われたクレオパトラが愛したことでも知られる花です。この記事では、ローズ香水の魅力や選び方を解説し、美容ジャーナリストのYUKIRINさんと編集部が選んだおすすめ商品を紹介します。口コミも掲載しています。女性へのプレゼントにもおすすめ。本物のバラに近い香りの商品を厳選したので、ぜひ参考にしてくださいね! ウエリントン型サングラスおすすめ8選|スタイリストが選び方も解説!
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門りょうさんコメント ファンデーション 【シェイド アンド イルミネイト ファンデーション】SPF45・PA+++ 門りょうさんが購入したファンデーションは シェイド アンド イルミネイト ファンデーション です。(カラー不明) 立体的なツヤ感をもたらし、うるおいを与える、クッションファンデーションです。 ミディアムからフルカバレッジのこのファンデーションは、光を拡散し、やわらかな光を反射する、ツヤ肌を保ちます。 価格:11, 110円(税込) 水のようにツヤツヤ!水ファンデ! 門りょうさんコメント フェイスパウダー 【トランスルーセント フィニシング パウダー】※前回の縛りメイクと同じものを使用 門りょうさんが購入したフェイスパウダーは トランスルーセント フィニシング パウダー です。 カラーは 01 アラバスター ヌード を使用。 肌に透明感を与える、軽い質感のフェイスパウダーです。 空気の様に軽い微粒子のパウダーは、シアーでマットな仕上がりを一日中持続させます。 独自のなめらかなパウダーは、光を放つことでカバーしたい部分を自然に補う効果があります。 価格:9, 900円(税込) アイブロウ 【ブロー スカルプター】※前回の縛りメイクと同じものを使用 門りょうさんが購入したアイブロウ1つめは ブロー スカルプター です。 カラーは 01 ブロンド を使用。 独特のカリグラフィーのような作りにより、斜めの芯がごく細い線から太い線までを自在に描けるアイライナーです。 キャップには毛流れを整えるブラシと、シャープナーが付属されています。 価格:8, 580円(税込) 芯が柔らかめで発色も良いけど、眉尻が描きにくいかも? 門りょうさんコメント 【ファイバー ブロー ジェル】※前回の縛りメイクと同じものを使用 門りょうさんが購入したアイブロウ2つめは ファイバー ブロー ジェル です。 カラーは 01 ブロンド を使用。 ファイバーをたっぷり含んだジェルが、眉のまばらな部分を埋め、同時にナチュラルなアイブローを作ってくれる眉マスカラです。 4つのシェードが眉を落ち着かせ、輪郭を際立たせながら眉の色を引き立てます。 価格:6, 710円(税込) もっと明るいカラーが良いな! 門りょうさんコメント アイシャドウ 【エモーションプルーフ アイ プライマー】 門りょうさんが購入したアイシャドウ1つめは エモーションプルーフ アイ プライマー です。 薄付きで軽いつけ心地のアイシャドウベースです。 まぶたに簡単に伸ばすことができ、アイメイクの前につけると、アイシャドウの発色と持ちを8時間サポートします。 価格:4, 950円(税込) 伸びが良いし保湿されてる感がすごい!