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数学IAIIB 2020. 07. 31 ここでは剰余の定理と恒等式に関する問題について説明します。 割り算の基本は「割られる式」「割る式」「商」「余り」の関係式です。 この関係式から導かれるのが「剰余の定理」です。 大学入試では,剰余の定理と恒等式の考え方を利用する問題が出題されることがよくあります。 様々な問題を解くことで,数学力をアップさせましょう。 剰余の定理 ヒロ まずは剰余の定理を知ることから始めよう。 剰余の定理 多項式 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。 ヒロ 剰余の定理の証明をしておこう。 【証明】 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの商を $Q(x)$,余りを $r$ とおくと, \begin{align*} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align*} と表すことができる。$x=a$ を代入すると \begin{align*} &f(a)=(a-a)Q(a)+r \\[4pt]&r=f(a) \end{align*} よって,$f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。
(2) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの商を $Q_{1}(x)$,$x+9$ で割ったときの商を $Q_{2}(x)$,$(x-1)(x+9)$ で割ったときの商を $Q_{3}(x)$ 余りを $ax+b$ とすると $\begin{cases}P(x)=(x-1)Q_{1}(x)+7 \\ P(x)=(x+9)Q_{2}(x)+2 \\ P(x)=(x-1)(x+9)Q_{3}(x)+ax+b\end{cases}$ 1行目と3行目に $x=1$ を代入すると $P(1)=7=a+b$ 2行目と3行目に $x=-9$ を代入すると $P(-9)=2=-9a+b$ 解くと $a=\dfrac{1}{2}$,$b=\dfrac{13}{2}$ 求める余りは $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{13}{2}}$ 練習問題 練習 整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $9$,$(x+2)^{2}$ で割ると余りが $20x+17$ である.$P(x)$ を $(x+2)(x-2)$ で割ったときと,$(x+2)^{2}(x-2)$ で割ったときの余りをそれぞれ求めよ. 練習の解答
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★ 整式の割り算の余りの問題について扱います.入試でも頻出です. 剰余の定理の言及もします. 整式の割り算の余りの求め方 整式の割り算は過去の範囲で既習済みのはずですが,今回は割り算の余りに注目します. ポイント 整式 $P(x)$ を $D(x)$ で割るとき,商を $Q(x)$,余りを $R(x)$ とおいて $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ を立式する.普通 $Q(x)$ が正体不明だが,$D(x)=0$ となるような $x$ を代入して $R(x)$ の情報を得る. ※ 上の恒等式は (割られる数) $=$ (割る数) $\times$ (商) $+$ (余り) という構造です. ※ $P(x)$ は polynomial, $D(x)$ は divisor, $Q(x)$ は quotient, $R(x)$ は remainder が由来です. 上の構造式を毎回設定して解けばいいので,下に紹介する 剰余の定理は存在を知らなくても大きな問題にはなりません. 剰余の定理 剰余の定理(remainder theorem)とは,整式を1次式で割ったときの余りに関する定理です. Ⅰ 整式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割るとき,余りは $P(\alpha)$ である. Ⅱ 整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割るとき,余りは $P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ である. ※ Ⅱ は Ⅰ の一般化です. 証明 例題と練習問題 例題 (1) 整式 $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めよ. (2) 整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $7$,$x+9$ で割ると余りが $2$ である.$P(x)$ を $(x-1)(x+9)$ で割った余りを求めよ. 講義 剰余の定理をダイレクトでは使わず,知らなくてもいいように答案を書いてみます. (2)は頻出の問題で,$(x-1)(x+9)$ ( $2$ 次式)で割った余りは $1$ 次式となるので,求める余りを $\color{red}{ax+b}$ とおきます. 解答 (1) $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの商を $Q(x)$ 余りを $r$ とすると $x^{4}-3x^{2}+x+7=(x-2)Q(x)+r$ 両辺に $x=2$ を代入すると $5=r$ 余りは $\boldsymbol{5}$ ※ 実際に割り算を実行して求めてもいいですが計算が大変です.
ただし,負の整数 −M を正の整数 m で割ったときの商を整数 −q ,余りを整数 r とするとき, r は
−M=m(−q)+r (0≦r 剰余の定理を利用する問題
それでは、剰余の定理を利用する問題に挑戦してみましょう。
3. 1 例題1
【解答】
\( P(x) \) が\( x+3 \) で割り切れるので、剰余の定理より
\( P(-3)=0 \)
すなわち \( 3a-b=0 \ \cdots ① \)
\( P(x) \) が\( x-1 \) で割ると3余るので、剰余の定理より
\( P(1)=3 \)
すなわち \( a+b=-25 \ \cdots ② \)
①,②を連立して解くと
\( \displaystyle \color{red}{ a = – \frac{45}{4}, \ b = – \frac{75}{4} \ \cdots 【答】} \)
3. 2 例題2
\( x^2 – 3x – 4 = (x-4)(x+1) \) なので、\( P(x) \) を \( (x-4)(x+1) \) で割ったときの余りを考えればよい。
また、 2 次式で割ったときの余りは1 次式以下になる ( これ重要なポイントです )。
よって、余りは \( \color{red}{ ax+b} \) とおける。
この2つの方針で考えていきます。
\( P(x) \) を \( x^2 – 3x – 4 \),すなわち\( (x-4)(x+1) \) で割ったときの商を \( Q(x) \),余りを \( ax+b \) とすると
\( \color{red}{ P(x) = (x-4)(x+1) Q(x) + ax + b} \)
条件から、剰余の定理より
\( P(4) = 10 \)
すなわち \( 4a+b=10 \ \cdots ① \)
また、条件から、剰余の定理より
\( P(-1) = 5 \)
すなわち \( -a+b=5 \ \cdots ② \)
\( a=1, \ b=6 \)
よって、求める余りは \( \color{red}{ x+6 \ \cdots 【答】} \)
今回の例題2ように、 剰余の定理の問題の基本は「まず割り算の等式をたてる」ことです 。
4. 剰余の定理まとめ
さいごに今回の内容をもう一度整理します。
剰余の定理まとめ
整式 \( P(x) \) を1次式 \( (a- \alpha) \) で割ったときの余りは \( \color{red}{ P(\alpha)} \)
・剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができる。
・剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理。
以上が剰余の定理についての解説です。
この記事があなたの勉強の手助けになることを願っています! 乃木坂46で一番の美脚と話題の新内眞衣! 新内眞衣
今回は、乃木坂46発のOLとの兼業アイドルとして注目され、グループで一番の美脚と言われている、
新内眞衣(しんうちまい) さん
の カップや身長体重情報から熱愛彼氏や結婚の噂 まで、色々と調べてみましたのでゆっくりとお楽しみください^^
最後に、 素敵な動画 もあります♪
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新内眞衣のプロフィールは? まずは、新内眞衣さんのプロフィールを紹介します♪
生年月日: 1992年1月22日
年齢: 歳
血液型: B型
出身: 埼玉県
職業: アイドル
事務所: 乃木坂46合同会社
特技: 東京メトロ(都営地下鉄含む)の色(ラインカラー)当て、バドミントン、タイピング
趣味: 旅行、買物、お菓子作り、食事、映画鑑賞、読書、路線図を見ること、カフェ巡り、岩盤浴
新内眞衣の身長や体重、スリーサイズ、カップは?美脚? 新内眞衣の彼氏・熱愛情報まとめ | JAPARAZZI. 新内眞衣さんの身長は、 165cm ですね♪
体重については、公称されていませんが、 大体50~55kg ぐらいと推測しました。
スリーサイズやカップについては、公称されていませんが、身長も高めで細すぎず女性らしいスタイルをされていますね^^
また、新内さんは、乃木坂で一番の 美脚 としても有名なようですね^^
新内眞衣の出身高校や大学は?OLだった? 新内眞衣さんの出身高校や大学についても調べてみました。
高校や大学の学校名は公称されていませんが、高校は 朝霧西高校 で、大学は 産業能率大学 との情報が多いですね。
また、新内さんは、乃木坂46のメンバーとして活動しながら、OLさんとしても週5の勤務をされていることでも有名ですよね。
2018年3月いっぱいで退職し、現在はアイドル活動に専念されていますね。
新内眞衣の熱愛彼氏や結婚の噂は? 新内眞衣さんは、恋愛禁止のグループに所属をしているので、 熱愛彼氏や結婚の噂 はありませんでした。
新内さんの年齢を考えると、学生時代など過去にはお付き合いしていた方はいそうな気がしますが、今はお仕事に専念されているのでしょうね。
2018年4月からは、OLの仕事を辞め乃木坂の活動に専念されていることを考えると、結婚もまだしばらくはなさそうですね。
新内眞衣の画像まとめ
とっても可愛い新内眞衣さんの画像を少しですが、まとめたのでご覧ください^^
新内眞衣の動画
最後に、新内眞衣さんの 動画 をお楽しみください♪
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アイドルグループ・乃木坂46の新内眞衣が、10日深夜に放送されたニッポン放送『乃木坂46のオールナイトニッポン』(毎週水曜25:00~27:00)に出演。3日の同番組生放送直前、オードリーの若林正恭があいさつに来たことを振り返った。 新内眞衣 新内は「先週の生放送の前に、『オールナイトニッポン』土曜日のパーソナリティであるオードリーの若林さんが、なんと私にあいさつをするためだけにニッポン放送のスタジオに来てくれました。すごいことでしょ? 新内眞衣さんは彼氏ができても結婚しても乃木坂に残ってくれますか？ - Yahoo!知恵袋. あの若林さんが」と切り出した。新内はリモート出演でスタジオには不在だったため、若林とはリモートであいさつを交わし、手土産ももらったという。
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