体は必ずいい方向にしか向かいません。 必ず悪いところがあれば修復したり、壊して作り変えたりする能力は だれしも持ち合わせています。 それを"あえて"台無しにすることを私たちが選択していなければ。 回復する力を信じて待つだけ。 世界から集まってきた本物のはちみつはこちらから
千葉大学/Nospareの 米倉 です.今回はカルマンフィルターについて解説していきたいと思います. フィルターとあるように, カルマンフィルターが出来る基本的なことは線形ガウス状態空間モデルのフィルタリング密度を逐次的に求めること です.ここで2つのキーワード,「線形ガウス状態空間モデル」と「フィルタリング密度」という単語が出てきましたので,まずはそれらについて解説します. 状態空間モデルとは2つの確率過程からなります.1つは潜在変数・状態変数・隠れ変数といわれるもので,これは直接観測できないがマルコフ連鎖に従う変数だとモデリングされます.例えば景気の良し・悪し等,概念として存在するけれど直接は観測できないものを想像してください.2つめは観測値で,これは直接観測できるもの,つまりデータです.ただし変数に依存して観測されるとします.今の例ですと,例えば株価などを想像してください.意味としては株価は景気の良し悪しに依存して決まるということです.この観測値にも「状態変数で条件づけると過去の自分自身とは独立となる」という仮定を置きます. 次に 小林先生の過去の記事 と被りますが,数式を用いて状態空間モデルを定義したいと思います.まず$t$期の状態変数を$x_{t}$とかき,観測値を$y_t$とかきます.次に状態変数が従うマルコフ連鎖の密度関数を$f(x_{t}\mid x_{t-1})$,$y_{t}$を$x_{t}$で条件づけた時の密度関数を$g(y_{t}\mid x_{t})$と一般的な形として書くことができ,この2つの密度関数で状態空間モデルはモデリングされます.以下は小林先生の記事からの画像の転用で,状態空間モデルの変数の依存関係が目で分かると思います. $x_{1:t}:=(x_1,..., x_t)$,$y_{1:t}:=(y_1,..., y_t)$とします.この時マルコフ性とは$x_{1:t-1}$で条件づけた$x_t$の条件付き密度$p(x_t\mid x_{1:t-1})$が$f(x_t\mid x_{t-1})$となることを指します.一方で,観測値の条件付き独立の仮定とは$p(y_t\mid y_{1:t-1}, x_t)=g(y_t\mid x_t)$となること指します. のこる - ウィクショナリー日本語版. 線形ガウス状態空間モデルとは$f(x_{t}\mid x_{t-1})$と$g(y_{t}\mid x_{t})$を線形かつガウシアンとモデリングした状態空間モデル のことです.${x_t}$を$d_x$次元のベクトル,${y_t}$を$d_y$次元のベクトルとしたときにこれを具体的に書くと,$$x_{t}=Ax_{t-1}+u_{t}$$ $$y_{t}=Bx_{t}+v_{t}$$ となります.ここで,$A$は$d_x\times d_x$行列,$B$は$d_y\times d_x$行列,$u_t$と$v_t$はそれぞれ多変量正規分布$N(0, \Sigma)$,$N(0, R)$に独立に従う確率ベクトルだとします.つまりこのモデリングだと,$f(x_t\mid x_{t-1})=N(x_t;Ax_{t-1}, \Sigma), g(y_t\mid x_t)=N(y_t;Cx_t, R)$となります.ここで$N(a;b, c)$は$a$で評価した平均ベクトル$b$,共分散行列$c$の多変量正規分布の密度関数です.ここでは簡単化のために両者を独立としたり,$A, B, \Sigma, R$が時間$t$に依存しないようにしていますが拡張も可能です.下のコードは$d_x=d_y=2$の時の,線形ガウス状態空間モデルから擬似データを生成するJuliaのコードです.
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