2】【例2. 3】【例2. 4】 ≪3次正方行列≫ 【例2. 1】(2) 【例2. 1】 【例2. 2】 b) で定まる変換行列 を用いて対角化できる.すなわち 【例2. 3】 【例2. 4】 【例2. 5】 B) 三重解 が固有値であるとき となるベクトル が定まるときは 【例2. 4. 4】 b) 任意のベクトル (ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)を選び 【例2. 2】 なお, 2次正方行列で固有値が重解 となる場合において,1次独立な2つのベクトル について が成り立てば,平面上の任意のベクトルは と書けるから, となる.したがって となり,このようなことが起こるのは 自体が単位行列の定数倍となっている場合に限られる. 同様にして,3次正方行列で固有値が三重解となる場合において,1次独立な3つのベクトル について が成り立てば,空間内の任意のベクトルは と書けるから, これらが(2)ⅰ)に述べたものである. 1. 1 対角化可能な行列の場合 与えられた行列から行列の累乗を求める計算は一般には難しい.しかし,次のような対角行列では容易にn乗を求めることができる. そこで,与えられた行列 に対して1つの正則な(=逆行列の存在する)変換行列 を見つけて,次の形で対角行列 にすることができれば, を計算することができる. …(*1. 1) ここで, だから,中央の掛け算が簡単になり 同様にして,一般に次の式が成り立つ. 両辺に左から を右から を掛けると …(*1. 2) このように, が対角行列となるように変形できる行列は, 対角化可能 な行列と呼ばれ上記の(*1. 1)を(*1. 2)の形に変形することによって, を求めることができる. 【例1. 1】 (1) (2) に対して, , とおくと すなわち が成り立つから に対して, , とおくと が成り立つ.すなわち ※上記の正則な変換行列 および対角行列 は固有ベクトルを束にしたものと固有値を対角成分に並べたものであるが,その求め方は後で解説する. 1. 2 対角化できる場合の対角行列の求め方(実際の計算) 2次の正方行列 が,固有値 ,固有ベクトル をもつとは 一次変換 の結果がベクトル の定数倍 になること,すなわち …(1) となることをいう. 同様にして,固有値 ,固有ベクトル をもつとは …(2) (1)(2)をまとめると次のように書ける.
→ スマホ用は別頁 == ジョルダン標準形 == このページでは,2次~3次の正方行列に対して,対角化,ジョルダン標準形を利用して行列のn乗を求める方法を調べる. 【ジョルダン標準形】 線形代数の教科書では,著者によって,[A] 対角行列を含めてジョルダン標準形と呼ぶ場合と,[B] 用語として対角行列とジョルダン標準形を分けている場合があるので,文脈を見てどちらの立場で書かれているかを見分ける必要がある. [A] ジョルダン標準形 [B] 対角行列 [A]はすべてのジョルダン細胞が1次正方行列から成る場合が正方行列であると考える. (言葉の違いだけ) 3次正方行列の場合を例にとって,以下のこのページの教材に書かれていることの要約を示すと次の通り. 【要約】 はじめに与えられた行列 に対する固有方程式を解いて,固有値を求める. (1) 固有値 に重複がない場合(固有値が虚数であっても) となる固有ベクトル を求めると,これらは互いに1次独立になるので,これらの列ベクトルを束にしてできる変換行列を とおくと,この変換行列は正則になる(逆行列 が存在する). 固有値を対角成分にした対角行列を とおくと …(1. 1) もしくは …(1. 2) が成り立つ. このとき, を(正則な)変換行列, を対角行列といい, は対角化可能であるという.「行列 を対角化せよ」という問題に対しては,(1. 1)または(1. 2)を答えるとよい. この教材に示した具体例 【例1. 1】 【例1. 2. 2】 【例1. 3. 2】 対角行列は行列の積としての累乗が容易に計算できるので,これを利用して行列の累乗を計算することができる. (2) 固有方程式が重解をもつ場合, ⅰ) 元の行列自体が対角行列であるとき これらの行列は,変換するまでもなく対角行列になっているから,n乗などの計算は容易にできる. ⅱ) 上記のⅰ)以外で固有方程式が重複解をもつとき,次のようにジョルダン標準形と呼ばれる形にできる A) 重複度1の解 と二重解 が固有値であるとき a) 任意のベクトル (ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)を選び となる列ベクトル が求まるときは で定まる変換行列 を用いて と書くことができる. ≪2次正方行列≫ 【例2. 1】(1) 【例2. 1】【例2.
^ 斎藤 1966, 第6章 定理[2. 2]. ^ 斎藤 1966, p. 191. ^ Hogben 2007, 6-5. ^ つまり 1 ≤ d 1 ≤ d 2 ≤ … ≤ t i があって、 W i, k i −1 = ⟨ b i, 1, …, b i, d 1 ⟩, W i, k i −2 = ⟨ b i, 1, …, b i, d 2 ⟩, …, W i, 0 = ⟨ b i, 1, …, b i, t i ⟩ となるように基底をとる 参考文献 [ 編集] 斎藤, 正彦『 線型代数入門 』東京大学出版会、1966年、初版。 ISBN 978-4-13-062001-7 。 Hogben, Leslie, ed (2007). Handbook of Linear Algebra. Discrete mathematics and its applications. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-510-8 関連項目 [ 編集] 対角化 スペクトル定理
まとめ 以上がジョルダン標準形です。ぜひ参考にして頂ければと思います。
両辺を列ベクトルに分けると …(3) …(3') そこで,任意の(ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)ベクトル を選び,(3)で定まる を求めると固有ベクトルになって(2)を満たしているので,これと独立にもう1つ固有ベクトル を定めるとよい. 例えば, とおくと, となる. (1')は次の形に書ける と1次独立となるように を選ぶと, このとき, について, だから は正則になる. 変換行列は解き方①と同じではないが,n乗の計算を同様に行うと,結果は同じになる 【例題2. 2】 次の行列のジョルダン標準形を求めください. (略解:解き方③) 固有方程式は三重解 をもつ これに対応する固有ベクトルを求める これを満たすベクトルは独立に2つ選べる これらと独立にもう1つベクトル を定めるために となるベクトル を求める. 正則な変換行列 として 【例題2. 3】 次の行列のジョルダン標準形を求めて,n乗を計算してくださいください. (三重解) 次の形でジョルダン標準形を求める 正則な変換行列は3つの1次独立なベクトルを束にしたものとする 次の順に決める:任意の(ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)ベクトル を選び,(3')で定まる を求める.さらに(2')で を定める:(1')は成り立つ. 例えば となる. 以上がジョルダン標準形である n乗は次の公式を使って求める 【例題2. 4】 変換行列を求める. 任意のベクトル (ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)を選び となる を求めて,この作業を繰り返す. 例えば,次のように定まる. …(#1) により さらに …(#2) なお …(#3) (#1)は …(#1') を表している. (#2)は …(#2') (#3)は …(#3') (#1')(#2')(#3')より変換行列を によって作ると (右辺のジョルダン標準形において,1列目の は単独,2列目,3列目の の上には1が付く) に対して,変換行列 ○===高卒~大学数学基礎メニューに戻る... (PC版)メニューに戻る
}{s! (t-s)}\) で計算します。 以上のことから、\(f(\lambda^t)\) として、\(f\) を \(\lambda\) で \(s\) 回微分した式を \(f^{(s)}(\lambda)=\dfrac{d^s}{d\lambda^s}f(\lambda)\) とおけば、サイズ \(m\) のジョルダン細胞の \(t\) 乗は次のように計算することができます。 \[\begin{eqnarray} \left[\begin{array}{cc} f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac{1}{2}f^{(2)}(\lambda) & \frac{1}{3! }f^{(3)}(\lambda) & \cdots & \frac{1}{(m-1)! }f^{(m-1)}(\lambda) \\ & f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac{1}{2}f^{(2)}(\lambda)& \cdots & \frac{1}{(m-2)!
現在の場所: ホーム / 線形代数 / ジョルダン標準形とは?意義と求め方を具体的に解説 ジョルダン標準形は、対角化できない行列を擬似的に対角化(準対角化)する手法です。これによって対角化不可能な行列でも、べき乗の計算がやりやすくなります。当ページでは、このジョルダン標準形の意義や求め方を具体的に解説していきます。 1.
自己破産について、正しく理解していますか?よく知らないまま「破産」というキーワードのイメージに恐怖を覚えている方が多くいらっしゃいます。 でも本当の自己破産は人生を壊滅に追い込むものではなく、人生を新しくやり直すための制度です。この記事では、 自己破産手続きの流れや費用など詳しく解説しています。 正しく理解し、正しい判断に繋げてください。 自己破産とは? メ リットは何?
弁護士に依頼(同時廃止・少額管財) 自己破産は弁護士に相談をして手続きを進めるケースが多いです。 まずはインターネットなどで法律のプロである弁護士を探しましょう。 弁護士を探す際のポイントは下記の2つです。 債務整理の解決実績が豊富で自己破産にも詳しいか 無料相談ができるか すべての弁護士・法律事務所が自己破産を含む債務整理に強いというわけではありません。 特に、自己破産においては必要となる書面も多く、他の債務整理と比較しても手続きが複雑になりやすいです。 債務整理解決の実績が豊富か、自己破産の依頼を多く解決しているかを基準に弁護士を選ぶとよいでしょう。 また、無料相談ができるかもポイントです。 相談の時点で費用がかかる事務所もあるため、依頼をする時点までお金がかからないか確認をしましょう。 そして無料相談の際には、依頼時の自己破産手続きの費用と支払い方法も確認をすることをおすすめします。 無事に弁護士へ自己破産の依頼をすることができたら、弁護士の指示に従って手続きを進めていくことになります。 2. 受任通知の発送(同時廃止・少額管財) 弁護士に自己破産の依頼をすると、弁護士が各債権者に通知書(受任通知)を送ります。 受任通知とは、弁護士が依頼者から自己破産手続の依頼を受けましたという内容の通知のことです。弁護士が依頼者の事件を契約(受任)しましたという意味の書面になります。 債権者は、受任通知を受けると督促や請求などで直接債務者と接触することができなくなります。 なぜなら、この受任通知には法的効力があり、依頼人(債務者)から自己破産事件の代理人としての仕事を受けたため、今後は本人には直接連絡をせず受任通知に記載の弁護士に連絡をするように書かれているからです。 そのため、実質受任通知を債権者に送った時点で取り立てや請求が止まり、借金に追われる生活から解放されることになります。 3. 申立て準備(同時廃止・少額管財) 受任通知が送られたあとは、必要書類を用意します。 裁判所に自己破産を申し立てる前に、必要書類の収集や申立て書類の下書き用意などをします。 自己破産手続きではこの申し立てのための準備段階が1番大変かもしれません。 なぜなら、自己破産手続きをする際に必要な書類には、自己破産を申し立てる申立書や自己破産に至る経緯などを説明する陳述書のほか、住居・収入・財産に関する書類や債務(借金)に関する書類など実にさまざまな種類の書類を揃える必要があるからです。 また、書類に不備や誤字があると裁判所から修正を求められます。 修正をすれば自己破産の免責がおりるまでの期間がさらに伸びてしまうため、書類の正確性も重要になります。 書類の収集や作成には、かなりの専門知識を必要とするでしょう。 しかし、弁護士に依頼しているのであれば、基本的に書類の作成は弁護士が行います。 書類一式の用意が整ったら、破産者の所在地を管轄している裁判所またはその支部に提出をして自己破産の申し立てを行います。 4.
免責許可決定(同時廃止・少額管財) 自己破産手続きを開始して申し立てを行い、破産手続開始決定をしてから無事に債権者集会も終了してはじめて免責が確定します。 免責が許可される前に再度弁護士と裁判所に出頭して面接を行います(免責審尋)。 免責審尋後、2週間ほどで無事に裁判所から免責許可決定をもらうと自己破産の手続き終了となり、晴れて正式に借金ゼロになります。 自己破産をする前に知っておきたいこと 自己破産をする際は、さまざまな書類が必要であったり、メリットやデメリットがあったりします。 また、弁護士に依頼して自己破産を行う際は弁護士費用も必要となります。 手続きの流れ以外で必要な情報を解説している記事をご紹介しますので、ご参考ください。 【参考記事】 ・ 自己破産後の生活の変化。カード、ローン、家族などにどう影響する? ・ 自己破産で必要な書類。準備を弁護士に任せることはできる? 自分で自己破産手続き。また両親は同居で自宅は父親名義ですが二人とも収入は年金のみです両親に催促が来ることもあるのでしょうか? - 弁護士ドットコム 借金. ・ 自己破産をしても処分しなくて済む財産は?処分を防ぐ方法はある? ・ 自己破産の手続き費用の相場と総額について 自己破産の手続きは弁護士に相談を! 自己破産手続きの流れや手続きにかかる時間などを説明してきました。 申し立てをすれば終わりというわけではなく、申し立て前の書類の準備をしたり、少額管財となる場合は、申し立てをしたあとの債権者集会などもあり、全体で早くても半年以上はかかる手続きです。 財産がある場合や揃えるべき必要書類が多くなる方であれば、1年前後かかることもまれではないでしょう。 自己破産の手続きは破産者本人で行うことも可能ですが、自己破産の申し立てには必要書類も多く専門的で高度な知識が必要になり、不備があると免責が許可されないケースもあります。 また、金融会社からの督促を止めるには、弁護士に受任通知を出してもらわないといけなく、ご自身で破産手続きをする場合、督促を止めることができません。 弁護士に依頼をすれば、自分で行わなければいけない手続きはほとんどなくサポートをしてくれるのでスムーズに解決できる可能性が高いでしょう。 自己破産をしたほうがよいのか、自分の場合であればどのように手続きが進むことになるのかなど、弁護士などの専門家に相談してみることが借金生活からの解放の第一歩になります。 まずは「借金の減額診断」から弁護士に無料相談し、借金問題の解決をぜひ検討してみてください。
免責が不許可になって自己破産できない場合って、、、どうすればいいの? 自己破産における「同時廃止事件」と「管財事件」ってなんだ? 「同時廃止事件」と「管財事件」の違いについて懇切丁寧に法律に詳しいヤミキン戦士が解説します。 自己破産にもデメリットはあります。配偶者・家族への影響も解説します 自己破産による不利益について解説します。家族にバレるのかクレジットカード・住宅ローン・こどもへの影響・車のローン銀行口座凍結・給料差し押さえなど。 自己破産はできるだけしたくない。向いている人と向いていない人 自己破産はできるだけしたくないと思うこともあるでしょう。ここでは自己破産以外の解決方法や自己破産に向ている人向いていない人を解説したいと思います。 自己破産を弁護士と司法書士に依頼する違いについて詳しく解説! 債務整理を仕事として受任することができるのは弁護士、司法書士だけです。両者はどのような点で違いがあるのか比較してみましょう。 自己破産を弁護士に頼んだ後は何をすればよいでしょうか? 借金整理となると手続きが大変と思われる方もおられると思いますがすることはそんなにありません。 100~200万くらいの少額借金でも自己破産できる? 100万円程度の比較的少額な負債であっても、その人の状況によっては自己破産することができるのです。 無職や専業主婦でも自己破産はできます >無職の人や専業主婦で無収入の人でも自己破産することができます。 自己破産しても基本的に年金に影響はない 自己破産しても公的な年金(国民年金、厚生年金、共済年金)は問題なく受給することができます。 弁護士に自己破産を頼むと費用はいくらくらいかかりますか? 自己破産を申し立てした時にかかる費用の目安を説明していきます。 自己破産の手続きを自分でするのと弁護士がするのとでは違う?メリット・デメリットについて 自分で自己破産をするのと,弁護士に依頼する違いを説明します。メリットyやデメリットについても詳しく説明するので、かなり参考になると思います。 【実はギャンブルや買い物などの浪費の借金は自己破産できる!】弁護士・司法書士の腕で決まる 実は自己破産できる可能性が十分にあります。いくつかの弁護士・司法書士に問い合わせをした中に、自信を持って「できます」と言っていた事務所があります。 自己破産をしても賃貸マンションやアパート追い出されない。 たとえ滞納が原因で契約解除になっても、新居の審査に通るコツがあります。 自己破産をすると生命保険や学資保険などの保険を解約しなければならない?