両辺の素因数分解において, 各素数 $p$ に対し, 右辺の $p$ の指数は偶数であるから, 左辺の $p$ の指数も偶数であり, よって $d$ の部分の $p$ の指数も偶数である. よって, $d$ は平方数である. ゆえに, 対偶は真であるから, 示すべき命題も真である. (2) $a_1+a_2\sqrt d = b_1+b_2\sqrt d$ のとき, $(a_2-b_2)\sqrt d = b_1-a_1$ となるが, $\sqrt d$ は無理数であるから $a_2-b_2 = 0$ とならなければならず, $b_1-a_1 = 0$ となり, $(a_1, a_2) = (b_1, b_2)$ となる. (3) 各非負整数 $k$ に対して $(\sqrt d)^{2k} = d^k, $ $(\sqrt d)^{2k+1} = d^k\sqrt d$ であるから, 有理数 $a_1, $ $a_2, $ $b_1, $ $b_2$ のある組に対して $f(\sqrt d) = a_1+a_2\sqrt d, $ $g(\sqrt d) = b_1+b_2\sqrt d$ となる. このとき, \[\begin{aligned} \frac{f(\sqrt d)}{g(\sqrt d)} &= \frac{a_1+a_2\sqrt d}{b_1+b_2\sqrt d} \\ &= \frac{(a_1+a_2\sqrt d)(b_1-b_2\sqrt d)}{(b_1+b_2\sqrt d)(b_1-b_2\sqrt d)} \\ &= \frac{a_1b_1-a_2b_2d}{b_1{}^2-b_2{}^2d}+\frac{-a_1b_2+a_2b_1}{b_1{}^2-b_2{}^2d}\sqrt d \end{aligned}\] となり, (2) からこの表示は一意的である. 背景 四則演算が定義され, 交換法則と結合法則, 分配法則を満たす数の集合を 「体」 (field)と呼ぶ. 例えば, 有理数全体 $\mathbb Q$ は通常の四則演算に関して「体」をなす. 整数問題 | 高校数学の美しい物語. これを 「有理数体」 (field of rational numbers)と呼ぶ. 現代数学において, 方程式論は「体」の理論, 「体論」として展開されている. 平方数でない整数 $d$ に対して, $\mathbb Q$ と $x^2 = d$ の解 $x = \pm d$ を含む最小の「体」は $\{ a_1+a_2\sqrt d|a_1, a_2 \in \mathbb Q\}$ であることが知られている.
よって, $\varepsilon ^{-1} \in O$ $\iff$ $N(\varepsilon) = \pm 1$ が成り立つ. (5) $O$ の要素 $\varepsilon$ が $\varepsilon ^{-1} \in O$ を満たすとする. (i) $\varepsilon > 0$ のとき. $\varepsilon _0 > 1$ であるから, $\varepsilon _0{}^n \leqq \varepsilon < \varepsilon _0{}^{n+1}$ を満たす整数 $n$ が存在する. このとき, $1 \leqq \varepsilon\varepsilon _0{}^{-n} < \varepsilon _0$ となる. $\varepsilon, $ $\varepsilon _0{}^{-1} \in O$ であるから, (2) により $\varepsilon\varepsilon _0{}^{-n} = \varepsilon _0(\varepsilon _0{}^{-1})^n \in O$ であり, (1) により \[ N(\varepsilon\varepsilon _0{}^{-n}) = N(\varepsilon)N(\varepsilon _0{}^{-1})^n = \pm (-1)^n = \pm 1\] $\varepsilon _0$ の最小性により, $\varepsilon\varepsilon _0{}^{-n} = 1$ つまり $\varepsilon = \varepsilon _0{}^n$ である. (ii) $\varepsilon < 0$ のとき. $-\varepsilon \in O, $ $N(-\varepsilon) = N(-1)N(\varepsilon) = \pm 1$ であるから, (i) により $-\varepsilon = \varepsilon _0{}^n$ つまり $\varepsilon = -\varepsilon _0{}^n$ を満たす整数 $n$ が存在する. (i), (ii) から, $\varepsilon = \pm\varepsilon _0{}^n$ を満たす整数 $n$ が存在する. 最高次の係数が $1$ のある整数係数多項式 $f(x)$ について, $f(x) = 0$ の解となる複素数は 「代数的整数」 (algebraic integer)と呼ばれる.
また, 「代数体」$K$ (前問を参照)に属する「代数的整数」全体 $O_K$ は $K$ の 「整数環」 (ring of integers)と呼ばれ, $O_K$ において逆数をもつ $O_K$ の要素全体は $K$ の 「単数群」 (unit group)と呼ばれる. 本問の「$2$ 次体」$K = \{ a_1+a_2\sqrt 5|a_1, a_2 \in \mathbb Q\}$ (前問を参照)について, 「整数環」$O_K$ は上記の $O$ に一致し(証明略), 関数 $N(\alpha)$ $(\alpha \in K)$ は 「ノルム写像」 (norm map), $\varepsilon _0$ は $K$ の 「基本単数」 (fundamental unit)と呼ばれる. (5) から, 正の整数 $\nu$ が「フィボナッチ数」であるためには $5\nu ^2+4$ または $5\nu ^2-4$ が平方数であることが必要十分であると証明される( こちら を参照). 問題《リュカ数を表す対称式の値》 $\alpha = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}, $ $\beta = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ について, \[\alpha +\beta, \quad \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^4+\beta ^4\] の値を求めよ.
こんばんは。 私ハッカ油は現在、循環器疾患をメインとしている病棟で働いています。そのため、少しは心電図に理解があると思っております。 今日は心電図シリーズ第1弾として刺激伝導系について説明していきたいと思います。 病棟で仕事をする上で、心電図を見かけることは多くあると思います。しかし、よく分からないと思い敬遠している人も多いのではないでしょうか?
心臓がポンプとしての機能を発揮するためには、心房から心室へと順序よく収縮し、血液を送り出す必要があります。 この収縮の為の興奮のリズムを決め、伝えるのが刺激伝導系です。刺激伝導系の順序や場所は、とてもよく出題されますので、確実に覚えてください。 ① 洞房結節 右心房の上大静脈開口部付近にある特殊心筋のかたまりです。通常、心臓の拍動のリズムはこの洞房結節の興奮により決定されます。心拍のペースメーカーとして機能する部位です。 洞房結節で発生した興奮は、心房全体に伝わり、心房筋の収縮を促します。そしてその興奮が房室結節に到達します。 ② 房室結節 右心房の下壁に存在する特殊心筋の集まりです。洞房結節も房室結節もどちらも右心房と覚えておくと、忘れにくくなります。 さて、この房室結節の特徴ですが、ここは他の刺激伝導系の部位に比べ極端に興奮伝導速度が遅くなっています。洞房結節~房室結節までは1m/secほどの速度で興奮が伝わってきますが、房室結節部では0.
私たちの胸にある心臓は、私たちが眠っているときも休みなく動き続けています。人体の生命維持に欠かせない心臓は、どのようにして動いているのでしょうか。今回は心臓を動かしている刺激伝導系について、その働きや経路などを解説していきます。 心臓の刺激伝導系とは 筋肉の塊である心臓は、一種の興奮刺激によって規則的に動くことで全身に血液を送る大切な役割を担っています。血液を送るための「ドキドキ」という収縮を拍動(はくどう)を呼び、この拍動は興奮刺激によって起こった心房の収縮によって、絶え間なく行われています。 このように、 心臓に拍動を起こすための興奮刺激の流れのことを「刺激伝導系(しげきでんどうけい)」と呼んでいます。 刺激伝導系ってどんなふうに動いているの? 興奮刺激が発生し、心臓全体の収縮である拍動を起こすまでの刺激伝導系は、以下の順序で心臓内を通過しています。 刺激伝導系 洞結節 ⇒ 心筋 ⇒ 房室結節 ⇒ ヒス束 ⇒ 右脚 ⇒ 左脚 ⇒ プルキンエ線維 名称で経路を考えると難しいですが、わかりやすく説明すると 心臓の右上部にある洞結節から、心筋を伝って少しずつ心臓の左下部の方へと、刺激が伝わっていっている イメージです。 一定時間ごとに右心房の洞結節で発生した興奮刺激が心房を収縮させ、さらに筋肉を伝わって心臓全体にまで及び、心室全体を動かして拍動を引き起こしているのです。刺激伝導系が心臓を動かし、拍動の早さをコントロールしています。 心電図に異常がみられたら刺激伝導系に問題あり? 心電図は、上述したような心臓の筋肉の電気的な活動を体表面から記録する検査で、心電図の波形を見れば、刺激伝導系の異常をはじめ、心臓のどのあたりにどのような異常があるかある程度は推測することができます。 心電図の波形に異常が見られるときは、次のような病気が疑われます。 虚血性心疾患(狭心症、心筋梗塞) 心筋症 心不全 不整脈 弁膜症(重症例) おわりに:心臓は、刺激伝導系によって興奮刺激が伝わることで動きます 心臓の中で定期的に起こる興奮刺激によって、拍動と呼ばれる心臓の鼓動が起こり、24時間絶え間なく全身に新鮮な血液を供給しています。この興奮刺激の流れのことを心臓の刺激伝導系と呼びます。自分の体の構造を理解するうえでぜひ知っておいてください。 この記事の続きはこちら
不整脈 Abnormal Cardiac Rhythm 心臓ペースメーカーと刺激伝導系 私達の心臓では、洞結節で生じた電気的興奮が心房筋に伝わり心房を収縮させます。 また、心房からの電気的興奮は 房室結節 → ヒス束 → プルキンエ線維 と呼ばれる特殊な心筋を通って、心室筋に伝わり心室が収縮します。これらの特殊心筋の経路を「刺激伝導系」といいます。 こうして、心房と心室が秩序正しく順番に収縮することで、血液を送り出すポンプ活動が行われます。 つまり、洞結節はリズミカルな信号をつくる"自然のペースメーカー"の役割を果たし、洞結節から房室結節を経て、プルキンエ線維に至るまでの「刺激伝導系」は、この信号を伝える"電線"のような役割を果たしているのです。 図:心臓ペースメーカー(洞結節)と刺激伝導系 不整脈とは…? 脈が定期的に打たない、あるいは洞結節という心臓のペースメーカーからの電気的刺激によって通常の経路(刺激伝導系)で心拍が打たれない疾患を指します。 心電図:心房細動の症例 心拍数が早く不整であることがわかる 症状および必要な検査 脈の速くなるドキドキするような不整脈や、期外収縮のような胸部の不快感、ズキン/ドキン/ドクドク等のような胸部症状を自覚するような脈が飛ぶもの、気が遠くなったり、失神を認めることのある徐脈性不整脈があります。これらの症状を自覚した場合にはまず12誘導心電図や24時間心電図を撮ることにより多くの場合診断が可能です。器質的な異常の有無について他の検査でチェックする必要があります。精密検査が必要な場合は電気生理学的検査というカテーテルを用いた検査を行います。 治療 各種疾患により治療法は異なりますが、頻脈性不整脈の場合は抗不整脈の投与を行い、無効な場合はカテーテル治療を行います。突然死を防ぐために電気的除細動の行えるICDというペースメーカーの埋め込みが必要になる場合があります。徐脈性不整脈の場合はペースメーカー治療が必要になります。頻脈にも徐脈にもなりうる、加齢とともに増加する心房細動は脳梗塞の原因になるため抗凝固療法が必要になります。