今日15日(火)は、岐阜行きを中止して、孫のランドセルと学習机の購入を決めるために大垣市のイオンモール等へ出かけることになった。 通信課題も完成させて明日投函するだけなので、今日の岐阜学習センター行きは中止した。なお、17日(木)は、予定通り。
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★ 整式の割り算の余りの問題について扱います.入試でも頻出です. 剰余の定理の言及もします. 整式の割り算の余りの求め方 整式の割り算は過去の範囲で既習済みのはずですが,今回は割り算の余りに注目します. ポイント 整式 $P(x)$ を $D(x)$ で割るとき,商を $Q(x)$,余りを $R(x)$ とおいて $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ を立式する.普通 $Q(x)$ が正体不明だが,$D(x)=0$ となるような $x$ を代入して $R(x)$ の情報を得る. ※ 上の恒等式は (割られる数) $=$ (割る数) $\times$ (商) $+$ (余り) という構造です. ※ $P(x)$ は polynomial, $D(x)$ は divisor, $Q(x)$ は quotient, $R(x)$ は remainder が由来です. 上の構造式を毎回設定して解けばいいので,下に紹介する 剰余の定理は存在を知らなくても大きな問題にはなりません. 剰余の定理 剰余の定理(remainder theorem)とは,整式を1次式で割ったときの余りに関する定理です. Ⅰ 整式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割るとき,余りは $P(\alpha)$ である. Ⅱ 整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割るとき,余りは $P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ である. ※ Ⅱ は Ⅰ の一般化です. 証明 例題と練習問題 例題 (1) 整式 $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めよ. (2) 整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $7$,$x+9$ で割ると余りが $2$ である.$P(x)$ を $(x-1)(x+9)$ で割った余りを求めよ. 整式の割り算，剰余定理 | 数学入試問題. 講義 剰余の定理をダイレクトでは使わず,知らなくてもいいように答案を書いてみます. (2)は頻出の問題で,$(x-1)(x+9)$ ( $2$ 次式)で割った余りは $1$ 次式となるので,求める余りを $\color{red}{ax+b}$ とおきます. 解答 (1) $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの商を $Q(x)$ 余りを $r$ とすると $x^{4}-3x^{2}+x+7=(x-2)Q(x)+r$ 両辺に $x=2$ を代入すると $5=r$ 余りは $\boldsymbol{5}$ ※ 実際に割り算を実行して求めてもいいですが計算が大変です.
(2) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの商を $Q_{1}(x)$,$x+9$ で割ったときの商を $Q_{2}(x)$,$(x-1)(x+9)$ で割ったときの商を $Q_{3}(x)$ 余りを $ax+b$ とすると $\begin{cases}P(x)=(x-1)Q_{1}(x)+7 \\ P(x)=(x+9)Q_{2}(x)+2 \\ P(x)=(x-1)(x+9)Q_{3}(x)+ax+b\end{cases}$ 1行目と3行目に $x=1$ を代入すると $P(1)=7=a+b$ 2行目と3行目に $x=-9$ を代入すると $P(-9)=2=-9a+b$ 解くと $a=\dfrac{1}{2}$,$b=\dfrac{13}{2}$ 求める余りは $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{13}{2}}$ 練習問題 練習 整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $9$,$(x+2)^{2}$ で割ると余りが $20x+17$ である.$P(x)$ を $(x+2)(x-2)$ で割ったときと,$(x+2)^{2}(x-2)$ で割ったときの余りをそれぞれ求めよ. 練習の解答
数学IAIIB 2020. 07. 31 ここでは剰余の定理と恒等式に関する問題について説明します。 割り算の基本は「割られる式」「割る式」「商」「余り」の関係式です。 この関係式から導かれるのが「剰余の定理」です。 大学入試では,剰余の定理と恒等式の考え方を利用する問題が出題されることがよくあります。 様々な問題を解くことで,数学力をアップさせましょう。 剰余の定理 ヒロ まずは剰余の定理を知ることから始めよう。 剰余の定理 多項式 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。 ヒロ 剰余の定理の証明をしておこう。 【証明】 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの商を $Q(x)$,余りを $r$ とおくと, \begin{align*} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align*} と表すことができる。$x=a$ を代入すると \begin{align*} &f(a)=(a-a)Q(a)+r \\[4pt]&r=f(a) \end{align*} よって,$f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。
マイページのファスト寄付設定であらかじめ以下の項目を設定していただくことにより、寄付するリストを経由せずに少ない操作で寄付申し込みができる機能です。 設定項目内容 ・希望する使い道の設定 ・寄付申込者情報の設定 ・お届け先情報の設定 ・自治体からのワンストップ特例申請書の送付設定 ・クレジットカード情報の設定 ※ファスト寄付のご利用にはログインが必要です。 ※ファスト寄付設定が未設定の場合はファスト寄付で申し込みできません。 ※ファスト寄付で申し込めるお礼の品には「ファスト寄付で申し込む」ボタンが表示されています。但し、お礼の品が在庫切れや受付を停止している場合は申し込みできません。 ※ファスト寄付ではポイントの使用や併用はできません。 オンラインワンストップ申請とは? ふるさと納税をした後に確定申告をしなくても寄付金控除が受けられる「ふるさと納税ワンストップ特例制度」の「申請書」を、Webサイト経由で自治体に送付することができます。(対応自治体のみ) 今までの手続き これからの手続き 自治体ごとに、初回のオンラインワンストップ申請時は、別途本人確認書類の郵送が必要です。 決済完了後(自治体が入金を確認後)に届く【オンラインワンストップ申請のお願いメール】、または【マイページ】より、ダウンロード申請を行ってください。 ご注意ください 自治体ごとに、初回のオンラインワンストップ申請時は、別途本人確認書類の郵送が必要となります。申請時の案内に従って郵送の手続きを行ってください。 A市・初回オンライン申請 オンラインでの申請 + 本人確認書類を郵送 A市・2回目以降の申請 オンライン申請のみで OK! ※1 ふるさとチョイスの会員登録をせずに申し込んだ場合は、都度本人確認書類の郵送が必要です。 確定申告時に必要となる、「寄附金受領証明書」をダウンロードできるサービスです。 決済完了後(自治体が入金を確認後)に届く【寄附金受領証明書ダウンロードのお願いメール】、または【マイページ】より、ダウンロード申請を行ってください。 決済完了後、 申請ページからお手続き ご用意ができ次第 ※1 メールで 寄附金受領証明書をお届け 万一紛失しても 大丈夫!
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