数学IAIIB 2020. 07. 31 ここでは剰余の定理と恒等式に関する問題について説明します。 割り算の基本は「割られる式」「割る式」「商」「余り」の関係式です。 この関係式から導かれるのが「剰余の定理」です。 大学入試では,剰余の定理と恒等式の考え方を利用する問題が出題されることがよくあります。 様々な問題を解くことで,数学力をアップさせましょう。 剰余の定理 ヒロ まずは剰余の定理を知ることから始めよう。 剰余の定理 多項式 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。 ヒロ 剰余の定理の証明をしておこう。 【証明】 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの商を $Q(x)$,余りを $r$ とおくと, \begin{align*} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align*} と表すことができる。$x=a$ を代入すると \begin{align*} &f(a)=(a-a)Q(a)+r \\[4pt]&r=f(a) \end{align*} よって,$f(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である。
剰余の定理(重要問題)①/ブリリアンス数学 - YouTube
ただし,負の整数 −M を正の整数 m で割ったときの商を整数 −q ,余りを整数 r とするとき, r は
−M=m(−q)+r (0≦r タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★ 整式の割り算の余りの問題について扱います.入試でも頻出です. 剰余の定理の言及もします. 整式の割り算の余りの求め方
整式の割り算は過去の範囲で既習済みのはずですが,今回は割り算の余りに注目します. ポイント
整式 $P(x)$ を $D(x)$ で割るとき,商を $Q(x)$,余りを $R(x)$ とおいて
$P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$
を立式する.普通 $Q(x)$ が正体不明だが,$D(x)=0$ となるような $x$ を代入して $R(x)$ の情報を得る. ※ 上の恒等式は (割られる数) $=$ (割る数) $\times$ (商) $+$ (余り) という構造です. ※ $P(x)$ は polynomial, $D(x)$ は divisor, $Q(x)$ は quotient, $R(x)$ は remainder が由来です. 上の構造式を毎回設定して解けばいいので,下に紹介する 剰余の定理は存在を知らなくても大きな問題にはなりません. 剰余の定理
剰余の定理(remainder theorem)とは,整式を1次式で割ったときの余りに関する定理です. Ⅰ 整式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割るとき,余りは $P(\alpha)$ である. Ⅱ 整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割るとき,余りは $P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ である. ※ Ⅱ は Ⅰ の一般化です. 証明
例題と練習問題
例題
(1) 整式 $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めよ. (2) 整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $7$,$x+9$ で割ると余りが $2$ である.$P(x)$ を $(x-1)(x+9)$ で割った余りを求めよ. 講義
剰余の定理をダイレクトでは使わず,知らなくてもいいように答案を書いてみます. (2)は頻出の問題で,$(x-1)(x+9)$ ( $2$ 次式)で割った余りは $1$ 次式となるので,求める余りを $\color{red}{ax+b}$ とおきます. 整式の割り算の余り(剰余の定理) | おいしい数学. 解答
(1)
$x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの商を $Q(x)$ 余りを $r$ とすると
$x^{4}-3x^{2}+x+7=(x-2)Q(x)+r$
両辺に $x=2$ を代入すると
$5=r$
余りは $\boldsymbol{5}$
※ 実際に割り算を実行して求めてもいいですが計算が大変です. (2)
$P(x)$ を $x-1$ で割ったときの商を $Q_{1}(x)$,$x+9$ で割ったときの商を $Q_{2}(x)$,$(x-1)(x+9)$ で割ったときの商を $Q_{3}(x)$ 余りを $ax+b$ とすると
$\begin{cases}P(x)=(x-1)Q_{1}(x)+7 \\ P(x)=(x+9)Q_{2}(x)+2 \\ P(x)=(x-1)(x+9)Q_{3}(x)+ax+b\end{cases}$
1行目と3行目に $x=1$ を代入すると
$P(1)=7=a+b$
2行目と3行目に $x=-9$ を代入すると
$P(-9)=2=-9a+b$
解くと
$a=\dfrac{1}{2}$,$b=\dfrac{13}{2}$
求める余りは $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{13}{2}}$
練習問題
練習
整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $9$,$(x+2)^{2}$ で割ると余りが $20x+17$ である.$P(x)$ を $(x+2)(x-2)$ で割ったときと,$(x+2)^{2}(x-2)$ で割ったときの余りをそれぞれ求めよ. 練習の解答 剰余の定理を利用する問題
それでは、剰余の定理を利用する問題に挑戦してみましょう。
3. 1 例題1
【解答】
\( P(x) \) が\( x+3 \) で割り切れるので、剰余の定理より
\( P(-3)=0 \)
すなわち \( 3a-b=0 \ \cdots ① \)
\( P(x) \) が\( x-1 \) で割ると3余るので、剰余の定理より
\( P(1)=3 \)
すなわち \( a+b=-25 \ \cdots ② \)
①,②を連立して解くと
\( \displaystyle \color{red}{ a = – \frac{45}{4}, \ b = – \frac{75}{4} \ \cdots 【答】} \)
3. 2 例題2
\( x^2 – 3x – 4 = (x-4)(x+1) \) なので、\( P(x) \) を \( (x-4)(x+1) \) で割ったときの余りを考えればよい。
また、 2 次式で割ったときの余りは1 次式以下になる ( これ重要なポイントです )。
よって、余りは \( \color{red}{ ax+b} \) とおける。
この2つの方針で考えていきます。
\( P(x) \) を \( x^2 – 3x – 4 \),すなわち\( (x-4)(x+1) \) で割ったときの商を \( Q(x) \),余りを \( ax+b \) とすると
\( \color{red}{ P(x) = (x-4)(x+1) Q(x) + ax + b} \)
条件から、剰余の定理より
\( P(4) = 10 \)
すなわち \( 4a+b=10 \ \cdots ① \)
また、条件から、剰余の定理より
\( P(-1) = 5 \)
すなわち \( -a+b=5 \ \cdots ② \)
\( a=1, \ b=6 \)
よって、求める余りは \( \color{red}{ x+6 \ \cdots 【答】} \)
今回の例題2ように、 剰余の定理の問題の基本は「まず割り算の等式をたてる」ことです 。
4. 剰余の定理まとめ
さいごに今回の内容をもう一度整理します。
剰余の定理まとめ
整式 \( P(x) \) を1次式 \( (a- \alpha) \) で割ったときの余りは \( \color{red}{ P(\alpha)} \)
・剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができる。
・剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理。
以上が剰余の定理についての解説です。
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菅野 宇太郎(すがの うたろう)先生
プロフィール
大学卒業後、株式会社レッド・エンタテインメントに入社。主にコンシューマゲームの制作を担当。 またTVアニメ、小説などの媒体の制作も行う。 代表作:「機動新撰組 萌えよ剣」「ロボットポンコッツ」「格闘料理伝説ビストロレシピ」など がある。その後、ゲーム開発会社にてアクションゲーム、シミュレーションゲームの開発に携わる。代表作:「必殺裏稼業」「街ingメーカーDS」などがある。
メッセージ
自身を成長させるには自身で経験を積むしかありません。 その経験をどう積ませるかの"きっかけ"を与えるのが講師の役割です!みなさんの成長をしっかりとサポートします!がんばりましょう! 通信制高校 専門学校 同時入学. この分野を開講している学習センター いまや高等専修学校は、全日制高校とは一線を画す、中卒者を受け入れる進路先として注目されています。なりたい職業が決まっており、その分野を早くから勉強したいと望む生徒、不登校や引きこもりなどの問題を抱える生徒、さらには中学校卒業してすぐの生徒のみならず、高校中退者の再入学の受け入れ機関としてなど、高等専修学校が担う役割はますます大きくなっています。 全国にどのくらいの数がある?学んでいる生徒数は? 文部科学省の2019年度(令和元年度)版「学校基本調査」によると、高等専修学校(専修学校高等課程)の数は408校、生徒数は35, 089人となっています。 また、平成30年度版「専修学校各種学校調査統計資料」より、分野別在籍者数をみると、生徒数が最も多いのは「医療分野」で10, 280人、次が「商業実務分野」8, 587人、以下「衛生分野」4, 954人、「工業分野」4, 872人と続きます。こうしてみると、高等専修学校の4人に1人以上が「医療分野」を学ぶ生徒であることがわかります。 ●高等専修学校の生徒数(分野別) 2018年 工業 4, 872 農業 67 医療 10, 280 衛生 4, 954 教育・社会福祉 1, 095 商業実務 8, 587 服飾・家政 2, 377 文化・教養 4, 046 計 36, 278 ※引用:平成30年度専修学校教育白書(公益社団法人東京都専修学校各種学校協会) どんなことが学べるの? 高等専修学校では、専門的な知識・技術を身に付けるため、座学よりも実習・実務に関する授業の割合が多くなります。また、めざす業界で即戦力として活躍することを目的として、多岐にわたる資格取得、検定試験合格も目指します。下記に分野別に学べる内容・目指す就職先をまとめました。 ●どんなことを学べるか・どんな仕事を目指せるか(分野別) 学べること、めざす業界 工業 自動車整備、電気工事、ガス溶接技能、アーク溶接技能、建築土木関連、情報処理 農業 農業従事者 医療 准看護師 衛生 理容師、美容師、調理師、製菓、製パン 教育・社会福祉 ホームヘルパー、介護福祉士、特別養護老人ホームなどの福祉施設、病院 商業実務 一般企業事務職、営業職 服飾・家政 ファッション販売、アパレルメーカー 文化・教養 芸能プロダクション、音楽事務所、ダンススタジオ 高校中退者や全日制や通信制からの転入学・編入学を受け入れてくれる?【数学Ⅱb】剰余の定理と恒等式【東海大・東京女子大・明治薬科大】 | 大学入試数学の考え方と解法
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