高校数学Ⅱ 式と証明 2020. 03. 24 検索用コード 400で割ったときの余りが0であるから無視してよい. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 下線部は, \ 下位5桁が00000であるから無視してよい. (1)\ \ 400=20^2\, であることに着目し, \ \bm{19=20-1として二項展開する. } \\[. 2zh] \phantom{(1)}\ \ 下線部の項はすべて20^2\, を含むので, \ 下線部は400で割り切れる. \\[. 2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局, \ それ以外の部分を400で割ったときの余りを求めることになる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 計算すると-519となるが, \ 余りを答えるときは以下の点に注意が必要である. 2zh] \phantom{(1)}\ \ 整数の割り算において, \ 整数aを整数bで割ったときの商をq, \ 余りをrとする. 2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき, \ \bm{a=bq+r\)}\ が成り立つ. ="" \\[. 2zh]="" \phantom{(1)}\="" \="" つまり, \="" b="400で割ったときの余りrは, \" 0\leqq="" r<400を満たす整数で答えなければならない. ="" よって, \="" -\, 519="400(-\, 1)-119だからといって余りを-119と答えるのは誤りである. " r<400を満たすように整数qを調整すると, \="" \bm{-\, 519="400(-\, 2)+281}\, となる. " \\[1zh]="" (2)\="" \bm{下位5桁は100000で割ったときの余り}のことであるから, \="" 本質的に(1)と同じである. ="" 100000="10^5であることに着目し, \" \bm{99="100-1として二項展開する. }" 100^3="1000000であるから, \" 下線部は下位5桁に影響しない. ="" それ以外の部分を実際に計算し, \="" 下位5桁を答えればよい. ="" \\[. 2zh]<="" div="">
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 二項定理はアルファベットや変な記号がたくさん出てきてよくわかんない! というあなた。 確かに二項定理はぱっと見だと寄り付きにくいですが、それは公式を文字だけで覚えようとしているから。「意味」を考えれば、当たり前の式として理解し、覚えることができます。 この記事では、二項定理を証明し、意味を説明してから、実際の問題を解いてみます。さらに応用編として、二項定理の有名な公式を証明したあとに、大学受験レベルの問題の解き方も解説します。 二項定理は一度慣れてしまえば、パズルのようで面白い単元です。ぜひマスターしてください!
他にも,つぎのように組合せ的に理解することもできます. 二項定理の応用 二項定理は非常に汎用性が高く実に様々な分野で応用されます.数学の別の定理を証明するために使われたり,数学の問題を解くために利用することもできます. 剰余 累乗数のあまりを求める問題に応用できる場合があります. 例題 $31^{30}$ を $900$ で割ったあまりを求めよ. $$31^{30}=(30+1)^{30}={}_{30} \mathrm{C} _0 30^0+\underline{{}_{30} \mathrm{C} _{1} 30^1+ {}_{30} \mathrm{C} _{2} 30^2+\cdots +{}_{30} \mathrm{C} _{30} 30^{30}}$$ 下線部の各項はすべて $900$ の倍数です.したがって,$31^{30}$ を $900$ で割ったあまりは,${}_{30} \mathrm{C} _0 30^0=1$ となります. 不等式 不等式の証明に利用できる場合があります. 例題 $n$ を自然数とするとき,$3^n >n^2$ を示せ. $n=1$ のとき,$3>1$ なので,成り立ちます. $n\ge 2$ とします.このとき, $$3^n=(1+2)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k 2^k > {}_n \mathrm{C} _2 2^2=2(n^2-n) \ge n^2$$ よって,自然数 $n$ に対して,$3^n >n^2$ が成り立ちます. 示すべき不等式の左辺と右辺は $n$ の指数関数と $n$ の多項式で,比較しにくい形になっています.そこで,二項定理を用いて,$n$ の指数関数を $n$ の多項式で表すことによって,多項式同士の評価に持ち込んでいるのです. その他 サイト内でもよく二項定理を用いているので,ぜひ参考にしてみてください. ・ →フェルマーの小定理の証明 ・ →包除原理の意味と証明 ・ →整数係数多項式の一般論
正解です ! 間違っています ! Q2 (6x 2 +1) n を展開したときのx 4 の係数はどれか? Q3 11の107乗の下3ケタは何か? Q4 (x+y+2) 10 を展開したときx 7 yの係数はいくらか Subscribe to see your results 二項定理係数計算クイズ%%total%% 問中%%score%% 問正解でした! 解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが 演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。 オススメの参考書を厳選しました <高校数学> 上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも… <大学数学> 上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大… さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。 上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた… この記事を書いている人 上野竜生 上野竜生です。文系科目が平均以下なのに現役で京都大学に合格。数学を中心としたブログを書いています。よろしくお願いします。 執筆記事一覧 投稿ナビゲーション
数学的帰納法による証明: (i) $n=1$ のとき,明らかに等式は成り立つ. (ii) $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{n-k}y^{k}$ が成り立つと仮定して, $$(x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1} \mathrm{C} _k\ x^{n+1-k}y^{k}$$ が成り立つことを示す.
二項定理は非常に汎用性が高く,いろいろなところで登場します. ⇨予備知識 二項定理とは $(x+y)^2$ を展開すると,$(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$ となります. また,$(x+y)^3$ を展開すると,$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ となります.このあたりは多くの人が公式として覚えているはずです.では,指数をさらに大きくして,$(x+y)^4, (x+y)^5,... $ の展開は一般にどうなるでしょうか. 一般の自然数 $n$ について,$(x+y)^n$ の展開の結果を表すのが 二項定理 です. 二項定理: $$\large (x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{n-k}y^{k}$$ ここで,$n$ は自然数で,$x, y$ はどのような数でもよいです.定数でも変数でも構いません. たとえば,$n=4$ のときは, $$(x+y)^4= \sum_{k=0}^4 {}_4 \mathrm{C} _k x^{4-k}y^{k}={}_4 \mathrm{C} _0 x^4+{}_4 \mathrm{C} _1 x^3y+{}_4 \mathrm{C} _2 x^2y^2+{}_4 \mathrm{C} _3 xy^3+{}_4 \mathrm{C} _4 y^4$$ ここで,二項係数の公式 ${}_n \mathrm{C} _k=\frac{n! }{k! (n-k)! }$ を用いると, $$=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$$ と求められます. 注意 ・二項係数について,${}_n \mathrm{C} _k={}_n \mathrm{C} _{n-k}$ が成り立つので,$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{k}y^{n-k}$ と書いても同じことです.これはつまり,$x$ と $y$ について対称性があるということですが,左辺の $(x+y)^n$ は対称式なので,右辺も対称式になることは明らかです. ・和は $0$ から $n$ までとっていることに気をつけて下さい. ($1$ からではない!) したがって,右辺は $n+1$ 項の和という形になっています. 二項定理の証明 二項定理は数学的帰納法を用いて証明することができます.
住宅ローン契約を変更するとき 婚姻中に借り入れた住宅ローン契約が、夫婦の連帯債務であったり、一方が他方の連帯保証人になっていることもあります。 こうした契約を残したまま離婚することは望ましくありませんので、離婚に合わせて住宅ローン契約を変更する手続きを銀行側とすすめていくことがあります。そうしたとき、銀行側から住宅ローン契約の変更等を審査するために離婚協議書の提出を求めてくることがあります。 離婚することになり、借りている住宅ローン契約の変更を銀行に相談しています。そうしたところ、銀行側から、審査のために離婚協議書の提出を求められました。どのような離婚協議書を作成したら良いでしょうか?
住まいの情報を配信しているSumai-pro編集部です。 離婚成立前に奥様が別居先を住宅ローンで購入することを難しくしていた"裏ルール"がフラット35では撤廃されたこと についてです。 少しプライベートな内容に触れる記事です。 それでも、住宅ローンの相談しても"裏ルール"のせいで断念されていた方、 また他の銀行も"裏ルール"の早期撤廃になることを願いこの記事公開します。 "裏ルール"別居目的で奥様名義の住宅ローンは組めない。 奥様の名義で住宅ローンを組むということはよくあります。 "裏ルール"が適用されるのは奥様が別居を目的とした住宅ローンは利用できない。と言うものでした。(未だ撤廃されていない金融機関もありますが、、) とある奥様のお話 Sumai-proに掲載いただいている不動産会社に奥様よりお問い合わせがありました。 【相談内容】 ・ご主人名義の家はあるが、私(奥様)名義のマンションが欲しい。 ・共働きだが住宅ローンはご主人様だけ ・ご主人名義の自宅とは車で20分程度の距離のマンション 不動産会社の担当者はお客様へ物件の提案と併せて、とある都市銀行に担当者に相談したところ根掘り葉掘り聞いてくるよう指示しました。 銀行から聞いてくるよう言われた内容は ・別に家が必要な理由は? ・ご主人様が連帯保証人なってくれるのか? ・別居なのか? ・離婚を考えているのか? ・離婚成立しているのか? ・離婚調停中ではないのか? ・離婚成立した場合、養育費などはどうなりそうか? 住宅ローン契約の変更に銀行から離婚協議書を求められた. あまりにもプライベートな内容だったので、不動産会社の担当者はふみこんだ聞き取りをすることを十分に詫びたうえで の3点だけをお聞きしたところ ・連帯保証人のつながりをもつのは嫌 ・別居がしたい ・離婚は考えてはいるが落ち着いてから相手方と話がしたい という回答が返ってきました。 とある都市銀行担当者に内容を伝えると 「離婚を助長する住宅ローンは貸し出しできない。」 と回答が返ってきたそうです。 なら、 聞き取り依頼するなよと思いながらも、一つの疑問があったのでお聞きしたそうです。 不動産会社の担当者: 「ご主人様が別居目的とする場合はどうなる?」 銀行の担当者: 「相応の理由があれば、セカンドハウスローンです。」 不動産会社の担当者: 「その場合、連帯保証人は・・」 銀行の担当者: 「いらないでしょうね。」 不動産会社の担当者・銀行の担当者:「・・・・」 結果奥様は住宅ローンは組めなかったそうで、その後は不動産会社の担当者も連絡を取っていないそうです。 もし、まだ住宅ローンを組めないと思っているならば不幸なことです。 フラット35なら組めるようになっています。 "裏ルール"は男尊女卑??