二項定理~○○の係数を求める問題を中心に~ | 数学の偏差値を上げて合格を目指す 数学が苦手な高校生(大学受験生)から数学検定1級を目指す人など,数学を含む試験に合格するための対策を公開 更新日: 2020年12月27日 公開日: 2017年7月4日 上野竜生です。二項定理を使う問題は山ほど登場します。なので理解しておきましょう。 二項定理とは です。 なお,\( \displaystyle {}_nC_k=\frac{n! }{k! (n-k)! } \)でn! =n(n-1)・・・3・2・1です。 二項定理の例題 例題1 :\((a+b)^n\)を展開したときの\(a^3b^{n-3}\)の係数はいくらか? これは単純ですね。二項定理より\( \displaystyle _{n}C_{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \)です。 例題2 :\( (2x-3y)^6 \)を展開したときの\(x^3y^3\)の係数はいくらか? 例題1と同様に考えます。a=2x, b=-3yとすると\(a^3b^3\)の係数は\( _{6}C_{3}=20 \)です。ただし, \(a^3b^3\)の係数ではなく\(x^3y^3\)の係数であることに注意 します。 \(20a^3b^3=20(2x)^3(-3y)^3=-4320x^3y^3\)なので 答えは-4320となります。 例題3 :\( \displaystyle \left(x^2+\frac{1}{x} \right)^7 \)を展開したときの\(x^2\)の係数はいくらか? \( \displaystyle (x^2)^3\left(\frac{1}{x}\right)^4=x^2 \)であることに注意しましょう。よって\( _{7}C_{3}=35\)です。\( _{7}C_{2}=21\)と勘違いしないようにしましょう。 とここまでは基本です。 例題4 : 11の77乗の下2ケタは何か? 11=10+1とし,\((10+1)^{77}\)を二項定理で展開します。このとき, \(10^{77}, 10^{76}, \cdots, 10^2\)は100の倍数で下2桁には関係ないので\(10^1\)以下を考えるだけでOKです。\(10^1\)の係数は77,定数項(\(10^0\))の係数は1なので 77×10+1=771 下2桁は71となります。 このタイプではある程度パターン化できます。まず下1桁は1で確定,下から2番目はn乗のnの一の位になります。 101のn乗や102のn乗など出題者側もいろいろパターンは変えられるので例題4のやり方をマスターしておきましょう。 多項定理 例題5 :\( (a+b+c)^8 \)を展開したときの\( a^3b^2c^3\)の係数はいくらか?
誰かを選ぶか選ばないか 次に説明するのは、こちらの公式です。 これも文字で理解するというより、日本語で考えていきましょう。 n人のクラスの中から、k人のクラス委員を選抜するとします。 このクラスの生徒の一人、Aくんを選ぶ・選ばないで選抜の仕方を分けてみると、 ①Aくんを選び、残りの(n-1)人の中から(k-1)人選ぶ ②Aくんを選ばず、残りの(n-1)人の中からk人選ぶ となります。 ①はn-1Ck-1 通り ②はn-1Ck 通り あり、①と②が同時に起こることはありえないので、 「n人のクラスの中から、k人のクラス委員を選抜する」方法は①+②通りある、 つまり、 ということがわかります! 委員と委員長を選ぶ方法は2つある 次はこちら。 これもクラス委員の例をつかって考えてみましょう。 「n人のクラスからk人のクラス委員を選び、その中から1人委員長を選ぶ」 ときのことを考えます。 まず、文字通り「n人のクラスからk人のクラス委員を選び、さらにその中から1人委員長を選ぶ」方法は、 nCk…n人の中からk人選ぶ × k…k人の中から1人選ぶ =k nCk 通り あることがわかります。 ですが、もう一つ選び方があるのはわかりますか? 「n人の中から先に委員長を選び、残りのn-1人の中からクラス委員k-1人を決める」方法です。 このとき、 n …n人の中から委員長を1人選ぶ n-1Ck-1…n-1人の中からクラス委員k-1人を決める =n n-1Ck-1 通り となります。 この2つやり方は委員長を先に選ぶか後に選ぶかという点が違うだけで、「n人のクラスからk人のクラス委員を選び、その中から1人委員長を選んでいる」ことは同じ。 つまり、 よって がわかります。 二項定理を使って問題を解いてみよう! では、最後に二項定理を用いた大学受験レベルの問題を解いてみましょう!
二項定理の多項式の係数を求めるには? 二項定理の問題でよく出てくるのが、係数を求める問題。 ですが、上で説明した二項定理の意味がわかっていれば、すぐに答えが出せるはずです。 【問題1】(x+y)⁵の展開式における、次の項の係数を求めよ。 ①x³y² ②x⁴y 【解答1】 ①5つの(x+y)のうち3つでxを選択するので、5C3=10 よって、10 ②5つの(x+y)のうち4つでxを選択するので、5C4=5 よって、5 【問題2】(a-2b)⁶の展開式における、次の項の係数を求めよ。 ①a⁴b² ②ab⁵ 【解答2】 この問題で気をつけなければならないのが、bの係数が「-2」であること。 の式に当てはめて考えてみましょう。 ①x=a, y=-2b、n=6を☆に代入して考えると、 a⁴b²の項は、 6C4a⁴(-2b)² =15×4a⁴b² =60a⁴b² よって、求める係数は60。 ここで気をつけなければならないのは、単純に6C4ではないということです。 もともとの文字に係数がついている場合、その文字をかけるたびに係数もかけられるので、最終的に求める係数は [組み合わせの数]×[もともとの文字についていた係数を求められた回数だけ乗したもの] となります。 今回の場合は、 組み合わせの数=6C4 もともとの文字についていた係数= -2 求められた回数=2 なので、求める係数は 6C4×(-2)²=60 なのです! ② ①と同様に考えて、 6C1×(-2)⁵ = -192 よって、求める係数は-192 二項定理の分母が文字の分数を含む多項式で、定数項を求めるには? さて、少し応用問題です。 以下の多項式の、定数項を求めてください。 少し複雑ですが、「xと1/xで定数を作るには、xを何回選べばいいか」と考えればわかりやすいのではないでしょうか。 以上より、xと1/xは同じ数だけ掛け合わせると、お互いに打ち消し合い定数が生まれます。 つまり、6つの(x-1/x)からxと1/xのどちらを掛けるか選ぶとき、お互いに打ち消し合うには xを3回 1/xを3回 掛ければいいのです! 6つの中から3つ選ぶ方法は 6C3 = 20通り あります。 つまり、 が20個あるということ。よって、定数項は1×20 = 20です。 二項定理の有名な公式を解説! ここでは、大学受験で使える二項定理の有名な公式を3つ説明します。 「何かを選ぶということは、他を選ばなかったということ」 まずはこちらの公式。 文字のままだとわかりにくい方は、数字を入れてみてください。 6C4 = 6C2 5C3 = 5C2 8C7 = 8C1 などなど。イメージがつかめたでしょうか。 この公式は、「何かを選ぶということは、他を選ばなかったということ」を理解出来れば納得することができるでしょう。 「旅行に行く人を6人中から4人選ぶ」方法は「旅行に行かない2人を選ぶ」方法と同じだけあるし、 「5人中2人選んで委員にする」方法は「委員にならない3人を選ぶ」方法と同じだけありますよね。 つまり、 [n個の選択肢からk個を選ぶ] = [n個の選択肢からn-k個を選ぶ] よって、 なのです!
}{4! 2! 1! }=105 \) (イ)は\( \displaystyle \frac{7! }{2! 5! 0!
他にも,つぎのように組合せ的に理解することもできます. 二項定理の応用 二項定理は非常に汎用性が高く実に様々な分野で応用されます.数学の別の定理を証明するために使われたり,数学の問題を解くために利用することもできます. 剰余 累乗数のあまりを求める問題に応用できる場合があります. 例題 $31^{30}$ を $900$ で割ったあまりを求めよ. $$31^{30}=(30+1)^{30}={}_{30} \mathrm{C} _0 30^0+\underline{{}_{30} \mathrm{C} _{1} 30^1+ {}_{30} \mathrm{C} _{2} 30^2+\cdots +{}_{30} \mathrm{C} _{30} 30^{30}}$$ 下線部の各項はすべて $900$ の倍数です.したがって,$31^{30}$ を $900$ で割ったあまりは,${}_{30} \mathrm{C} _0 30^0=1$ となります. 不等式 不等式の証明に利用できる場合があります. 例題 $n$ を自然数とするとき,$3^n >n^2$ を示せ. $n=1$ のとき,$3>1$ なので,成り立ちます. $n\ge 2$ とします.このとき, $$3^n=(1+2)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k 2^k > {}_n \mathrm{C} _2 2^2=2(n^2-n) \ge n^2$$ よって,自然数 $n$ に対して,$3^n >n^2$ が成り立ちます. 示すべき不等式の左辺と右辺は $n$ の指数関数と $n$ の多項式で,比較しにくい形になっています.そこで,二項定理を用いて,$n$ の指数関数を $n$ の多項式で表すことによって,多項式同士の評価に持ち込んでいるのです. その他 サイト内でもよく二項定理を用いているので,ぜひ参考にしてみてください. ・ →フェルマーの小定理の証明 ・ →包除原理の意味と証明 ・ →整数係数多項式の一般論
意外と店頭でブルーの取り扱いがなくて、ネットで買えてよかったですo(^▽^)o綺麗なブルーで大満足 出典: 楽天みんなのレビュー インパクト大!スタイリッシュなボックスロゴ 大きくあしらわれたボックスロゴが存在感たっぷり。速乾性のある生地を使用し、さらりとした肌触りで毎日着たくなる一枚です。 ITEM ザ・ノース・フェイス ショートスリーブカラードビッグロゴティー(キッズ) 素材:綿65%、ポリエステル35% サイズ:100〜150cm ▼for Dad ITEM ザ・ノース・フェイス ショートスリーブカラードビッグロゴティー(メンズ) 素材:ポリエステル72%、綿28% サイズ:S〜XXL 主人用です。このブランドを愛用しているので購入しました。肌触りも良さそうですね。 出典: 楽天みんなのレビュー クールな後ろ姿に! コーデが締まるバックプリント 背中に大きくロゴがプリントされた、かっこよさの引き立つデザイン。ベビーサイズには着脱しやすいよう肩ボタンがついているのもポイント。ベビーから大人までカラーもサイズも豊富なので、親子・兄弟・姉妹でリンクコーデが楽しめます。 ITEM ザ・ノース・フェイス ショートスリーブスクエアロゴティー(キッズ/ベビー) 素材:綿65%、ポリエステル35% サイズ:80〜150cm リピ お揃いで子供たち3人に着させてお出かけしました(//∇//)とても可愛くもありかっこよくもあり良かったですがヽ(*´∀`)ノ 出典: 楽天みんなのレビュー ▼for Dad ITEM ザ・ノース・フェイス ショートスリーブスクエアロゴジャカードティー(メンズ) 素材:綿38%、ポリエステル36%、ナイロン26% サイズ:M〜XL ▼for Mom ITEM ザ・ノース・フェイス ショートスリーブスクエアロゴジャカードティー(レディース) 素材:綿38%、ポリエステル36%、ナイロン26% サイズ:S〜L アクティブな子供にぴったり! ノースフェイス Tシャツ M S/S シンプルドーム THE NORTH FACE :nf0a5a3o:Sears - 通販 - Yahoo!ショッピング. アウトドアで着たいUVケア機能付きTシャツ 出典:PIXTA キャンプやハイキングなど、強い日差しの下でも元気に遊びまわる子どもたち。だからこそ、UVケア機能は必須です。ここでは、UPF15-30、紫外線遮蔽率85%以上のUVケア機能付きのTシャツを紹介します。 カラフルロゴで遊び心満載! フロントのカラフルな配色のロゴグラフィックは、笑顔溢れる子供たちにぴったり。ポリエステルニット生地を使用し、乾きやすく、それでいてしなやかな着心地。野外の強い日差しの下でも安心です。 ITEM ザ・ノース・フェイス ショートスリーブTNFロゴティー(キッズ) 素材:ポリエステル100% サイズ:100〜150cm カモ柄ロゴで大人っぽく!
有害な紫外線を遮断するUVガード機能が備わっている為、夏の海水浴シーンや屋外でのスポーツシーンにも対応して着られるレディースTシャツです。更に汗を吸収して拡散させ、ベタつき感を感じさせない着心地を長く保ってくれます。左胸や背面の肩部分にさりげなくロゴをつけているのも特徴です。サイズの種類も多いのでご自身の体格に合わせてサイズ感良く着こなせます。 ノースフェイスの人気&おすすめTシャツ:⑥ [ザ・ノース・フェイス] ショートスリーブウォーターサイドドルマンティー S/S Waterside Dolman Tee レディース ホワイト 日本 L (日本サイズL相当) ノースフェイスのショートスリーブウォーターサイドドルマンティーは、ゆったりとしたサイズ感で気軽に着こなし出来るレディース用半袖Tシャツです。 Tシャツのおすすめポイントは? 伸縮性の高いポリエステルの極細糸を採用して作られている為、水や汗で濡れたとしても乾きが早い特徴があります。着用中の静電気を抑制する為、静電ケア機能も搭載されています。スポーツや水辺でのアウトドアレジャーなどに適しています。 ノースフェイスの人気&おすすめTシャツ:⑦ [ザ・ノース・フェイス] ショートスリーブGTDメランジクルー S/S GTD Melange Crew レディース コズミックブルー 日本 M (日本サイズM相当) ノースフェイスのショートスリーブGTDメランジクルーは、吸汗速乾性の高いフレッシュドライ素材を採用している為、長時間のアウトドアレジャーやスポーツ環境でも汗のベタつき感を抑制し、快適な肌触りを維持しながら着られるレディース用半袖Tシャツです。 Tシャツのおすすめポイントは? 静電気を抑える機能や有害な紫外線をカットするUV加工も施されています。抗菌防臭機能のポリジン加工も生地に施されている為、雑菌の繁殖を防いで汗臭さを感じずに着られます。3種類の色から選択できてサイズも多いので体型に合わせてサイズ感良く着られます。 ノースフェイスの人気&おすすめキッズTシャツ7選 ここからはノースフェイスのおしゃれなキッズ用Tシャツをご紹介していきますので、お好みのデザインや機能が搭載されたTシャツを見つけてみてください。 ノースフェイスの人気&おすすめTシャツ:① [ザ・ノース・フェイス] ショートスリーブスモールロゴティー S/S Small Logo Tee キッズ ラズベリーソルベ 日本 120 (日本サイズ120 相当) メンズキッズ用のショートスリーブスモールロゴティーは、汗を吸収して素早く拡散させられるポリエステル生地のみで作られた半袖Tシャツです。 Tシャツのおすすめポイントは?
フロント左にはノースフェイスのブランドロゴを小さくプリントしています。着用中の静電気を抑える為、静電気防止の加工も施されています。ラズベリーソルベ、ミックスグレー、アーバンネイビーの3色から選択できます。スポーツを行う際に着用したり、日常でも気軽に着用できるキッズTシャツです。 ノースフェイスの人気&おすすめTシャツ:② [ザ・ノース・フェイス] ショートスリーブカラフルロゴティー S/S Colorful Logo Tee ボーイズ ホワイト 日本 140 (日本サイズ140 相当) 色彩豊かなロゴがプリントされているショートスリーブカラフルロゴティーはノースフェイスのキッズ用半袖Tシャツです。 Tシャツのおすすめポイントは? 汗を吸って乾きやすいポリエステル素材にコットンを組み合わせた素材を採用している為、心地良い感触を保ちながら着られます。着用時の静電気の不快感を軽減する為に静電ケア設計を採用していたり、屋外スポーツ最中も紫外線を遮断するUV加工が施されていたりと小さなお子様が安心して着られる機能が搭載されています。カラーバリエーションも多数ありますので、コーデに適した色から選択できます。 ノースフェイスの人気&おすすめTシャツ:③ [ザ・ノース・フェイス] ショートスリーブボーダーティー S/S Border Tee ボーイズ ビンテーシホワイト 日本 140 (日本サイズ140 相当) メンズキッズ用のショートスリーブボーダーティーは、柔らかな風合いのボーダーデザインを採用した人気の半袖Tシャツです。 Tシャツのおすすめポイントは? 素材には心地よい肌触りのオーガニックコットンを採用している為、普段使いでも快適に着られるTシャツです。胸元にはノースフェイスのブランドロゴワッペンをつけてアクセントにしています。紫外線から子供の肌を守る為、UVケア機能も搭載されています。 ノースフェイスの人気&おすすめTシャツ:④ [ザ・ノース・フェイス] ショートスリーブキャンピングティー S/S Camping Tee キッズ ターキッシュブルー 日本 120 (日本サイズ120 相当) キャンプ道具を積んでいるトラックのイラストをフロント中央にプリントした可愛らしいデザインのショートスリーブキャンピングティーは、メンズ、レディース共に着用できる半袖Tシャツです。 Tシャツのおすすめポイントは?
ポリエステルの耐久性や吸汗速乾性、コットンの吸湿性や肌触りの良さを組み合わせた混紡生地で作られている為、汗をかきやすい真夏の季節にも適しているTシャツです。静電気を抑えたり、紫外線を遮断する機能も採用されている為、小さなお子様に安心して着せられます。 ノースフェイスの人気&おすすめTシャツ:⑤ ノースフェイス THE NORTH FACE キッズ Kid's S/S Smooth Cotton Tee 半袖 Tシャツ トライバルプリント / 130サイズ ノースフェイスのスムースコットンティーは、肌触りの良いコットン素材をメイン生地にして、吸汗速乾性の高いポリエステル生地を混紡したキッズ用の半袖Tシャツです。 Tシャツのおすすめポイントは? 小さなお子様が着脱しやすいよう左肩部分にドットボタンを付けていたり、子供らしいジグサグのカラフルな柄を採用していたりと、普段使いで使いやすいTシャツです。 ノースフェイスの人気&おすすめTシャツ:⑥ THE NORTH FACE(ノースフェイス) ドット Tシャツ(70-80) 70, RSローズレッド ノースフェイスのドットTシャツは、水玉模様の可愛らしいデザインを採用した小さな女の子によく似合うレディース用半袖Tシャツになります。 Tシャツのおすすめポイントは? 速乾性の高い生地を採用しているので、汗をかきやすい環境下や季節で快適に着られるTシャツです。左肩部分にはノースフェイスのブランド文字をプリントしてワンポイントにしています。 ノースフェイスの人気&おすすめTシャツ:⑦ ノースフェイス THE NORTH FACE S/S Reflective Tee 半袖 Tシャツ キッズ リフレクター ミックスグレー / 110サイズ ノースフェイスのリフレクティブティーは、フロント中央部分に光に反射するリフレクタープリントが施されているキッズ用の半袖Tシャツになります。 Tシャツのおすすめポイントは? しなやかさを持ち、汗を素早く吸収して拡散させるポリエステルをメイン素材にしていて、コットンを混紡しています。サイズバリエーション豊富なTシャツなので、子供の体格に応じたサイズ感の良いTシャツから選択できます。90サイズのみ着脱しやすくする為、左肩部分にドットボタンを配備しています。 ノースフェイスTシャツについてのまとめ いかがでしたでしょうか?メンズ、レディース、キッズのおすすめノースフェイス製Tシャツを種類多くご紹介してきた中で、少しでも欲しいと感じた商品がありましたら購入して、スポーツやアウトドアや普段使いで着用してみてください。 シャツについて気になる方はこちらもチェック!